從多個角度認識問題 尋找解決問題的突破口

蔡曉紅

(江蘇省錫東高級中學 214000)

一、從多個角度認識同一問題

在解析幾何中，同學們往往被復雜的運算搞得暈頭轉向，做不到底.圍繞解析幾何題如何優化過程，減小運算量，正確解出結果 ，常常是我們解題時首先面對的問題，為了便于敘述，請看以下幾個例子.

例1 已知圓C:x2+(y-1)2=5，A為圓C與x軸負半軸的交點，過A作圓C的弦AB，記線段AB的中點為M，若OA=OM，則直線AB的斜率為____.

由OA=OM可得

當k=-2時，直線AB與圓C相切，故舍去.

綜上所述：k=2

求出tanα=2，即直線AB的斜率為2.

解法三(平面幾何角度)設D為圓與x軸正半軸的交點，連接DM.由OA=OM=OD得DM⊥AM又CM⊥AM.三點D,C,M共線，因為直線DM的斜率為-1/2，故直線的AB斜率為2.

小結：解法一是通法，學生很容易想到，思路清晰，但是運算較繁；解法二利用方程思想，通過解三角形的方法也較容易求出tanα=2:解法三，充分挖掘圖形的幾何特征，根據平面幾何性質快速求得結果，大大減少了數的運算.

例2 (2016年江蘇高考題)在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2，4).

(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；

解(1)、(2)略.

(3)解題目標：建立有關t的不等量關系.

由上述幾個例子可以得到：題中涉及圓的有關問題，常常可以利用圓的幾何特征來解決問題，效果較好.

二、對問題善于分析轉化，回歸本原

圓是高中數學解析幾何中的基礎部分，也是發展學習能力的重要內容，自然也成為了各類命題和課堂教學的必選內容和重點. 在夯實基礎后,幫助學生分析這類題的結構特點,并對解題方法加以指導,會達到事半功倍的效果.

例3 已知圓M：(x-1)2+(y-1)2=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點．若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC=60°，求點A橫坐標的取值范圍．

解法1 (考慮極端位置)過A(a，b)作AD，AE，分別與圓M相切于D，E兩點，因為∠DAE≥∠BAC，所以要使圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC=60°，只要使∠DAE≥60°.

∵AM平分∠DAE，∴只要30°≤∠DAM<90°.

又a+b-6=0，解得1≤a≤5，即a的取值范圍是[1,5]．

解法2 分析(直線與圓的方程的應用)從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，故可確定點A的橫坐標x0的取值范圍．

解答由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，故問題轉化為在直線上找到一點，使它到點M的距離為4．設A(x0，6-x0)，∵M(1，1)，∴(x0-1)2+(5-x0)2=16,∴x0=1或5.∴點A的橫坐標x0的取值范圍是[1，5].故答案為[1，5].

解法3 (圓的幾何性質)

問題轉化為在直線上找到一點，使它到點M的距離為4,以下解法與解法2同.

變：已知圓C:(x-2)2+y2=1，點P在直線l:x+y+1=0上，若過點P存在直線m與圓C交于A、B兩點，且點A為PB的中點，則點P橫坐標x0的取值范圍是____．

分析要求點P橫坐標x0的取值范圍，就要想辦法得到有關橫坐標x0的不等式，因為A是PB的中點，所以本題切入點為：PA=AB當AB是圓的直徑時，則圓心到直線的距離等于3倍的半徑，因而圓心C到直線l的距離小于等于3,CP≤3?|PC|2≤9?(x-2)2+(x+1)2≤9即x2-x-2≤0,∴-1≤x≤2.

三、以形助數，數形結合

數形結合就是根據數與形的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合思想通過“以形助數，以數輔形”，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合，也是學生智慧的反映.

解析畫出分段函數的圖象如圖，令f(x)=f(1)，得x=-3,1,3.

所以f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3，+∞)．

小結：當涉及的問題是有關不等式或方程的解，這類題型的突破點是利用數形結合，求出對應方程的解，結合圖形能較快得到問題的答案.