強(qiáng)U--富足半群上的同余

韓雪梅, 李剛

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

令S為半群,E(S)是S的冪等元集合且U?E(S),S上的格林關(guān)系為

文中不加說(shuō)明的U均指冪等元半格。

2 強(qiáng)U--富足半群上的同余及性質(zhì)

(2)(ab)*=(a*b)*，特別地,b=u∈U,(au)*=a*u;

(3)(ab)+=(ab+)+，特別地,a=u∈U,(ub)+=ub+。

(3)同(2)的證明。

引理2.2 若S為強(qiáng)U-右-富足半群,則

={(a,b)∈S×S|?u∈U,(ua)*=(ub)*}

根據(jù)對(duì)偶性得

引理2.3 若S為強(qiáng)U-左-富足半群,則

={(a,b)∈S×S|?u∈U,(au)+=(bu)+}

由引理2.2和2.3得：

={(a,b)∈S×S|?u∈U,(ua)*=(ub)*,(au)+=(bu)+}

記

其中

再證γ是同態(tài)映射。對(duì)?u,v∈U,有

則得γ是同態(tài)映射。

綜上知γ是同構(gòu)映射。

以下結(jié)論是本節(jié)的主要結(jié)果:

引理2.8 若S為強(qiáng)U-右-富足半群,則下列條件等價(jià)

對(duì)偶地有：

引理2.9 若S為強(qiáng)U-左-富足半群,則下列條件等價(jià)

(1)對(duì)?a∈S有a*=a+;

(4)U是S的中心。

a+=(a*a)+=a*a+,

a*=(aa+)*=a*a+,

從而有a*=a+。

au=(au)*(au)=a*uau=ua*au=uau,

ua=(ua)*(ua)=ua*ua=ua*au=uau,

從而得au=ua,故U是S的中心。

根據(jù)對(duì)偶性有: