應(yīng)急救災(zāi)三方博弈模型的均衡分析

馬娜

(青島科技大學(xué)高密校區(qū)，山東 濰坊 261500)

地震、火山、泥石流等大規(guī)模的自然災(zāi)害，給人們的生命安全及物質(zhì)財(cái)產(chǎn)造成巨大的損失與危害。而這種大型自然災(zāi)害往往都具有地域性特征，稱之為區(qū)域性巨災(zāi)，其爆發(fā)的突然性及強(qiáng)大的破壞性，使得地方政府不可能獨(dú)自完成大量的應(yīng)急救災(zāi)工作。所以在整個(gè)應(yīng)急救災(zāi)過(guò)程中，中央政府的援助以及災(zāi)民群體的自救作用是不能忽略的。因此，受災(zāi)群眾，地方政府，中央政府三方之間良好的合作及高效溝通對(duì)提高救災(zāi)效率非常重要。

當(dāng)前在通過(guò)博弈理論研究應(yīng)急救災(zāi)過(guò)程中，根據(jù)參與方的數(shù)量主要分為兩方或者是三方。當(dāng)參與方為兩方時(shí)，在應(yīng)急管理論的博弈理論研究方面，基本思路是把應(yīng)急救災(zāi)過(guò)程參與方主體分為兩類，通過(guò)研究?jī)煞街g的行為關(guān)系建立博弈模型，然后采用各種方法對(duì)該模型進(jìn)行分析。如陳安等[1-3]將應(yīng)急管理的參與者分為主體和客體兩類建立博弈模型，并通過(guò)貝葉斯后驗(yàn)概率對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)。李建勇等[4]針對(duì)突發(fā)事件的結(jié)構(gòu)化描述方法，在研究突發(fā)事件的輿情傳播問(wèn)題時(shí)建立了傳播主體的決策行為和博弈關(guān)系的結(jié)構(gòu)化描述框架，運(yùn)用演化博弈論方法分別對(duì)社會(huì)公眾之間以及社會(huì)公眾與政府部門之間的博弈關(guān)系進(jìn)行了研究。在具體的突發(fā)事件中(比如醫(yī)學(xué)、工程事故等)直接利用博弈論來(lái)進(jìn)行實(shí)踐研究方面，郭麗麗[5]以火災(zāi)事故應(yīng)急救援為例，從應(yīng)急管理資源的屬性及應(yīng)急管理的特點(diǎn)入手,分析了在突發(fā)事件應(yīng)急管理的資源配置中“危機(jī)事件”與“危機(jī)管理者”之間的動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程，達(dá)到了資源優(yōu)化配置的目的。王長(zhǎng)峰等[6]從復(fù)雜動(dòng)態(tài)環(huán)境下重大性工程非常規(guī)突發(fā)事件應(yīng)急管理系統(tǒng)角度出發(fā)，以博弈論為框架，建立應(yīng)急管理子系統(tǒng)之間的動(dòng)態(tài)博弈模型，找出針對(duì)各組織實(shí)體的最佳應(yīng)對(duì)策略。

以上研究絕大部分是圍繞兩方參與者展開，當(dāng)應(yīng)急管理中參與者為三方時(shí)，如王茹等[7]建立了政府、銀行與企業(yè)三者之間的博弈模型，運(yùn)用復(fù)制動(dòng)態(tài)方程分析了三者之間的演化博弈過(guò)程，并分別提出了相應(yīng)的策略。對(duì)于中央政府、地方政府、受災(zāi)群眾三方應(yīng)急救災(zāi)博弈模型，張昊宇等[8]在其論文中以汶川地震為例，指出在區(qū)域性巨災(zāi)的應(yīng)急救災(zāi)過(guò)程中，地方政府的救災(zāi)行為受中央政府的影響，而受災(zāi)群眾的救災(zāi)行為受到中央政府和地方政府的影響，因此建立應(yīng)急救災(zāi)過(guò)程中的三方博弈模型，利用后向歸納法求解模型均衡解，并對(duì)博弈的均衡點(diǎn)進(jìn)行研究。

對(duì)于三方博弈理論的研究，均衡解的存在與否是個(gè)關(guān)鍵，所具備的條件關(guān)系到應(yīng)急救災(zāi)的成功，而三方之間的應(yīng)急救災(zāi)過(guò)程并不是相互獨(dú)立的事件，所以救災(zāi)成功的概率意義的分析也是至關(guān)重要的。因此，本研究針對(duì)區(qū)域性大型災(zāi)害應(yīng)急救災(zāi)的特征，建立中央政府、地方政府、受災(zāi)群眾的三方博弈模型。通過(guò)三方之間相互作用因素的分析，建立救災(zāi)成功的概率函數(shù)，得出救災(zāi)成功后以及救災(zāi)失敗時(shí)的實(shí)際收益。通過(guò)三方救災(zāi)成功后的期望收益分析，建立參與者決策模型。最后，證明三方博弈模型存在均衡狀態(tài)，并求解出最優(yōu)的均衡解。

1 三方之間相互作用因素的分析

本文假定區(qū)域性巨災(zāi)發(fā)生后，中央政府、地方政府和受災(zāi)群眾三方參與救災(zāi)。考慮到災(zāi)難發(fā)生后，中央政府迅速做出反應(yīng)，處于災(zāi)害發(fā)生地的地方政府行動(dòng)還有一定的遲緩，而受災(zāi)群眾的努力程度則會(huì)受中央政府和地方政府的影響。因此，在救災(zāi)投入的成本上，中央政府、地方政府和受災(zāi)群眾之間存在三方博弈。

區(qū)域性巨災(zāi)發(fā)生后，中央政府會(huì)派遣專家小組對(duì)受災(zāi)地區(qū)進(jìn)行災(zāi)情評(píng)估，確定救災(zāi)成功時(shí)應(yīng)付出的最小成本，記為r。設(shè)中央政府、地方政府和受災(zāi)群眾救災(zāi)時(shí)的投入成本分別是r1,r2,r3，則救災(zāi)成功的一個(gè)必要條件是

r1+r2+r3≥r。

(1)

(2)

那么救災(zāi)失敗的概率為1-P(A)。

若救災(zāi)不成功，假設(shè)收益為0，Π1(r1,r2,r3),Π2(r1,r2,r3),Π3(r1,r2,r3)分別表示救災(zāi)成功后中央政府、地方政府、受災(zāi)群眾的收益，則中央政府、地方政府、受災(zāi)群眾的實(shí)際收益見表1～2。

表1 救災(zāi)成功后的實(shí)際收益Table 1 Real benefits of success

表2 救災(zāi)失敗時(shí)的實(shí)際效益Table 2 Real benefits of failure

這里I是救災(zāi)不成功中央政府對(duì)地方的懲罰變量。只要投入救災(zāi)，盡管救災(zāi)不成功，也要把損失降到最低，這對(duì)三方而言也是一種收益。

2 博弈模型的建立

2.1 模型假設(shè)

設(shè)E1，E2，E3分別表示中央政府、地方政府、受災(zāi)群眾參與救災(zāi)后的期望收益，則

(3)

假設(shè)1 當(dāng)中央政府、地方政府和受災(zāi)群眾救災(zāi)時(shí)的投入成本分別是r1,r2,r3時(shí)，期望收益最大。

假設(shè)2E1≥0，E2≥0，E3≥0；另外，設(shè)E=E1+E2+E3，則E有最大值。

2.2 參與者決策模型

期望收益E1，E2，E3，E有最大值，且

r1+r2+r3=r。

(4)

3 均衡分析與求解

3.1 均衡解存在性分析

為了方便討論，假設(shè)收益Π1(r1,r2,r3),Π2(r1,r2,r3),Π3(r1,r2,r3) 為救災(zāi)成功后經(jīng)過(guò)評(píng)估的值，所以這三個(gè)函數(shù)為常數(shù)值。

因?yàn)槿骄幸欢ㄊ杖耄S著r1,r2,r3的增大，中央政府、地方政府、受災(zāi)群眾投入r1,r2,r3的概率α(r1),β(r2),γ(r3)是下降的，即得：

結(jié)論1α′(r1)<0,β′(r2)<0,γ′(r3)<0。

隨著投入的增加，救災(zāi)成功概率表現(xiàn)出邊際效益遞減的性質(zhì)，從而得：

結(jié)論2α″(r1)<0,β″(r2)<0,γ″(r3)<0，于是假定α(r1),β(r2),γ(r3)已知。

由于期望收益最大，根據(jù)中央政府、地方政府和受災(zāi)群眾參與救災(zāi)行動(dòng)的先后次序，以及后行動(dòng)的參與人能夠觀察前面參與者行動(dòng)的“逆向歸納法”做出決策，對(duì)參與者決策模型式(4)進(jìn)行分析，即驗(yàn)證期望收益E1，E2，E3，E有最大值，且存在均衡解。

定理1 在結(jié)論1和結(jié)論2的條件下，參與者決策博弈模型成立且存在均衡解。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

由結(jié)論1和結(jié)論2可知，式(6)，式(8)和式(10)均小于0，即

因此，期望收益E1，E2，E3有最大值。由納什均衡可知，地方政府和受災(zāi)群眾的子博弈存在均衡狀態(tài)，且該三方博弈的均衡解也存在。證畢。

因?yàn)橛杉僭O(shè)2：E1≥0，E2≥0，E3≥0，所以中央政府、地方政府和受災(zāi)群眾的期望收益達(dá)到最大，但是地方政府救災(zāi)投入的成本和受災(zāi)群眾自救投入的成本有一個(gè)界。則我們有下面條件：

式中，M2為地方政府的最大投入成本，M3為受災(zāi)群眾的最大投入成本。

因此，由式(6)和式(8)得到的r2和r3雖然是E2、E3取最大值時(shí)的駐點(diǎn)，也可能會(huì)出現(xiàn)r2>M2或者r3>M3的情景。

所以，E取最大值的必要條件是

(11)

而且，當(dāng)r2→M2時(shí)，β(r2)取最小值；r3→M3時(shí)，γ(r3)取最小值。考慮到受災(zāi)群眾的救災(zāi)行為是機(jī)會(huì)主義行為，因此0

3.2 模型均衡解求解

經(jīng)過(guò)中央政府專家評(píng)估地方政府財(cái)政收入和受災(zāi)群眾的收入后，假定M2,M3分別是地方政府和受災(zāi)群眾救災(zāi)投入的最高成本。如果要求地方政府投入超過(guò)M2或者受災(zāi)群眾投入超過(guò)M3，則認(rèn)為地方政府或受災(zāi)群眾的投入概率為0。同時(shí)注意到在救災(zāi)行為中，中央政府是迅速做出響應(yīng)，從而作如下假定：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

如果r2由式(16)確定，r3由式(17)確定，則有逆推法，r1應(yīng)該為

(18)

4 結(jié)論

本研究在博弈理論中構(gòu)建三方期望收益的博弈模型，通過(guò)對(duì)三方之間相互因素的分析，得出博弈三方的概率函數(shù)是關(guān)于投入成本的一元函數(shù)。由納什均衡，證明出三方博弈存在均衡狀態(tài)，且均衡解存在。因?yàn)橹醒胝⒌胤秸褪転?zāi)群眾的救災(zāi)投入使三者的期望收益最大，同時(shí)地方政府救災(zāi)投入的成本和受災(zāi)群眾自救投入的成本有一定的界。所以得出三方收益期望的必要條件，并通過(guò)此必要條件找出最優(yōu)解，即為所建模型的均衡解。