基于冪次變換的自適應超聲醫學圖像去噪算法

王紹波，梁振

1. 安徽醫科大學附屬安慶醫院 設備科，安徽 安慶 246003；2. 安徽醫科大學 生物醫學工程系，安徽 合肥 230032

引言

超聲醫學因其具有對人體無損害、成本低、使用方便、能夠實時顯示器官等眾多優點而成為一種重要的輔助診斷方法[1-4]。超聲醫學圖像由于成像原理所致，在成像過程中產生斑點噪聲，斑點噪聲在一定程度上制約了超聲圖像的診斷效果[5-6]。為了改善超聲醫學圖像的質量，近年來，出現了去除斑點噪聲的方法。例如：基于頻域的濾波及基于空間域的濾波，這兩類方法要么完全在頻域進行處理，要么完全在空間域進行處理，不能同時兼顧空間特性和頻域特性。小波變換作為一種高效的時頻域信號分析工具，克服了上面兩種方法的限制。首先，Guo等[7]第一次提出了基于小波的噪聲抑制方法，接著Donoho等[8]提出了軟閾值算法對一維信號進行除噪。之后有各種小波去噪方法的提出[9-14]，大都是圍繞閾值的選取及小波系數的去留問題做出相關處理，最后再進行軟閾值或硬閾值修改小波系數。軟閾值方法得到地小波系數連續性好，但是由于小波系數的減小，易引起邊界模糊。硬閾值算法可以較好地保留圖像邊緣等局部特征，但得到地小波系數連續性差，可能引起重構信號的振蕩，使圖像出現振鈴、偽吉布斯效應等視覺失真（產生偽像），在醫學診斷中這是不允許的，因此尋求一種更好地保留小波系數連續性并使小波系數盡可能地接近原系數是有必要地。

綜上所述，本文提出了一種基于冪次變換的閾值去噪算法，該算法主要是對大于閾值的小波系數進行冪次變換，使處理后的小波系數盡可能地接近原始小波系數，這樣更好地保留了圖像的細節信息，減小了去噪引起的誤差。

1 方法

1.1 去噪思想

小波去噪方法的高效性主要得益小波變換系數的集中性。在小波域中，對應邊緣的高頻分量的能量集中在少數小波系數上，而噪聲一般能量比較分散，因此，在小波域中可以從幅度上將信號的小波系數同噪聲的小波系數分開：噪聲主要為絕對值較小的小波系數，高頻信號主要為絕對值較大的小波系數，因此，可通過選定閾值來區分信號和噪聲。

1.2 冪次變換算法

在進行本文算法的推導之前，首先，要理解軟閾值及線性小波去噪模型，具體模型如a與b所示。

a. 軟閾值算法(Soft Threshold Algorithm，STA)函數公式表示為：

式(1)中，δ各層對應的閾值，W表示帶噪聲的小波系數，Ws表示閾值處理后的小波系數，下同。

b. 線性加權算法(The Linear Weighted Algorithm，LWA)模型[15-17]：

式(2)中，Wl表示閾值處理后的小波系數，Wmax為各層小波系數絕對值的最大值，下同。

通過公式可以看出，式(2)是對軟閾值算法進行了線性加權，使小波系數一定程度上接近了原系數，但小波系數越小與原小波系數的差值越大，為此尋求一種非線性增大小波系數的方法是有必要的，通過各種數學函數性質可知，冪次變換算法（Power Transform Algorithm，PTA）具有這種優勢。冪次函數的基本形式為：

因本文研究的小波系數絕對值全為大于等于0的值，所以我們只考慮γ為正常數的情況，γ＞0是冪次函數具有如下性質：① 性質1：它的圖像點都過（0,0）和（1,1）點；② 性質 2 ：在x∈ [0,∞ )時，冪次函數單調遞增。

圖1 冪次變換

由圖1可看出，1＞γ＞0時，正滿足了閾值處理后小波系數越小增大幅度越大的要求，這說明冪次變換適合修改小波系數。由冪次變換的性質1知，在x∈[0 1]內，x=0時，s=0，x=1，s=1，這一性質可以方便地確定變換后的最大值與最小值。為了能夠將冪次變換用于修改小波系數，應當將小波系數的絕對值變為[0 1]范圍內，即：

其中

由式(5)知，W1∈[0 1]，這樣，便可將冪次變換引入到小波變換中，同時，還要滿足在W1=1時，W2=1+δ/(Wmax-δ)，為此，假設變換后的小波系數為：

式中，γ值對小波去噪的效果至關重要，小波系數經過冪次變換后，不能超過去噪前小波系數的值，不然會增加去噪后圖像的誤差。為此，冪次變換應滿足以下條件，

對W3及W4進行一次及二次求導有：

由c＞0,1＞γ＞0，(γ-1)＜0，是逐漸減小的，因此只有一個交點時應有≥1（因為橫坐標縱坐標均為小波系數），有γ≥(Wmax-δ)/Wmax。由c＞0，1＞γ＞0，(γ-1)＜0，W1γ-2＞0知，且交點在W1=1，所以應為拐點，此時將(9)式代入，得

將c、γ代入（1）式，由a 得最終處理后的小波系數為：

本文算法的具體過程如下：① 對噪聲圖像進行對數變換，使斑點噪聲變為加性噪聲；② 對對數圖像進行二次小波分解；③ 對高頻小波系數按照式(15)進行處理；④ 對處理后的小波系數進行小波逆變換和指數變換得到去噪后的圖像，各種算法原理比較與見圖2。

圖2 各種算法原理比較圖

2 實驗仿真及討論

實驗仿真在Matlab7.0環境下編程實現，為證明本文算法的有效性，本文以均方根誤差及邊緣保留評價系數為評價標準，其中均方根誤差定義為：

式中，fi表示原圖像像素值，為去噪后圖像的像素值。N表示圖像的像素點的總個數，下同。

邊緣保留評價參數e定義為：

圖3 噪聲方差為0.01時各種算法處理的結果

圖4 噪聲方差為0.01時各種算法處理后的高頻系數圖像

由圖3、圖4可知，噪聲方差為0.01時，PTA處理后的高頻系數保留最好，LWA算法次之。并且軟閾值算法由于小波系數的減小，造成超聲醫學圖像明顯變暗，LWA算法雖然增大了小波系數，但小波系數越小其增加的幅度越小，高頻邊緣沒有得到有效地恢復，PTA有效地增大了高頻小波系數，使其更好地接近原小波系數值，視覺效果最好。分別對采集自PHILIPS IE33彩超機，S5-1探頭所得五幅不同的心臟圖像添加不同方差的斑點噪聲后，運用軟閾值算法、線性加權閾值算法和本文算法處理的結果比較，如表1、表2所示。

分別對采集自MIDRAY彩超機，C5-2探頭所得五幅不同腹部圖像添加不同方差的斑點噪聲后，運用軟閾值算法、線性加權閾值算法和本文算法處理的結果比較，如表3、表4所示。

表1 各種算法處理后的均方根誤差

表2 各種算法處理后的邊緣保留評價系數

表3 各種算法處理后的均方根誤差

表4 各種算法處理后的邊緣保留評價系數

通過分析表1、表3可知，噪聲越小，PTA算法處理后的均方根誤差越小，LWA算法次之，STA算法均方根誤差最大，但隨著噪聲的增大，PTA算法均方根誤差變化最快，LWA次之，STA算法變化最慢，噪聲增加到一定程度后，STA算法處理后的均方根誤差最小。造成這種現象的原因可以通過小波去噪思想加以解釋，小波去噪是通過小波系數的大小來區分噪聲和信號的，即大于閾值的小波系數為信號信息，小于閾值的小波系數為噪聲，然而，高頻細節信息和噪聲的小波系數沒有絕對的分界線，高頻細節信息越小與噪聲越難區分。在這里本文選用的統一閾值算法，認為大于閾值的小波系數為有用信號，小于閾值的小波系數為噪聲。理論上，通過本文算法，處理后的圖像更接近與原圖像，但事實上，在統一閾值算法中，大于閾值的小波系數中包含有噪聲小波系數，隨著噪聲的增大，保留的小波系數中噪聲增加，通過PTA算法改變小波系數的同時，增大了噪聲，噪聲均方根誤差的增大。通過分析表2、表4，可知，PTA算法高頻細節信息保留最好，LWA算法次之，STA算法最少。

3 結論

本文提出了一種基于冪次變換的自適應超聲醫學圖像去噪算法。該算法成功地將冪次變換引入到小波閾值去噪中，并對冪次變換的系數c、γ求解進行了推導，成功地實現了冪次變換的自適應去噪算法。理論上，從該算法的推導可以看出，本文算法處理后的小波系數更接近于原小波系數的值，優于軟閾值算法及線性加權算法，但由于高頻細節信號和噪聲沒有絕對的分界線，選用統一閾值算法在保留的小波系數中含有一定的噪聲，隨著噪聲方差的增加，保留的小波系數中噪聲含量會相應地增加，在增大小波系數的同時也增大了噪聲系數，一定程度上增加了均方根誤差。通過上述討論可知，在噪聲方差較小時，保留的小波系數中噪聲系數較少，本文算法效果最好；高頻細節信息越豐富，噪聲越大，有用信號和噪聲難以區分，造成過多的噪聲信號得以保留，本文算法在增大有用信號的同時也增大了噪聲系數，因而增加了均方根誤差，本文算法去噪效果反而不如軟閾值算法及線性加權算法。從邊緣保留評系數來看，本文算法對邊緣保留效果是最好的。