運用貝葉斯方法的混合異方差模型的參數(shù)估計

朱 瑩，陳 萍

（南京理工大學(xué)理學(xué)院，南京 210094）

在一開始，描述股票價格波動等金融現(xiàn)象最常用的模型是隨機游動模型。隨著時間的發(fā)展，隨機游動模型在應(yīng)用中逐步暴露它的局限性：它無法解釋金融變量波動的集聚性特征，因為股價或者其他類似金融產(chǎn)品的變化率不僅隨時間t變化，而且常常在某一時段出現(xiàn)偏高或偏低的情況。1982年，Engle［1］提出了 ARCH模型（自回歸條件異方差模型），并將其運用到英國通貨膨脹特征的描述中。后來，Bollerslev［2］將這一模型進行推廣，提出的GARCH模型（廣義自回歸條件異方差模型）被認為是最能集中反映方差變化特點而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時間序列分析的模型，該模型同時被廣泛應(yīng)用于驗證金融理論中的規(guī)律描述以及金融市場的預(yù)測和決策中。非線性時間序列還往往呈現(xiàn)多峰、異常點、極端值等現(xiàn)象，這時單一的異方差模型很難給出精確的預(yù)測結(jié)果，而混合模型能很好地捕捉波動的聚集性以及金融數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的高峰厚尾和極端值的統(tǒng)計特征。基于此，本文建立混合異方差模型［3］來對經(jīng)濟領(lǐng)域中出現(xiàn)的復(fù)雜現(xiàn)象進行有效的分析研究。

1 混合正態(tài)異方差模型

Ft-1表示直到t時刻的信息，

εt的條件分布由K個分布組成

Φ（·）是高斯分布，πk表示分布的概率，稱之為混合正態(tài)異方差模型。εt是由以概率 π1，π2，…，πK的K個條件分布組成的，且：

不過 ＝0并不意味著對稱分布，只有當(dāng)μK均為0才會發(fā)生。

從計量經(jīng)濟學(xué)的角度來看，混合正態(tài)分布是具有吸引力的，因為它的創(chuàng)新項εt是由K個條件方差方程組成的。因此，沒有路徑依賴問題，所以似然函數(shù)的估計是可能的，請注意，要有一個弱平穩(wěn)的總體方差過程，只需要一個條件方差過程弱平穩(wěn)即可。只要其他K-1個條件方差過程概率不太高，就被看作是爆炸性的。更正式的說，模型弱平穩(wěn)條件［4］是

當(dāng)改變有限混合分布中的順序時，模型的似然性不變。如果需要對這些參數(shù)進行財務(wù)解釋的話，可對參數(shù)增加π1≥π2≥…πK的限制。

1.1 混合正態(tài)異方差模型下的資產(chǎn)收益

假設(shè)股票價格St過程服從：

其中：εt／Ft-1～D（0，）；St是 t時刻股票價格；表示t時刻對數(shù)收益的條件方差；γt表示平均校正因子，它可以保證收益率的條件期望：

其中μt可以理解為預(yù)期的總回報率。式（8）中εt的條件矩母函數(shù)為：

Ψt（u）表示條件累積量生成函數(shù)（即條件矩母函數(shù)的對數(shù)），所以有：

1.2 風(fēng)險中性狀態(tài)下的混合正態(tài)異方差模型下的資產(chǎn)收益

Rt的條件分布一旦給定，就可以直接代入數(shù)據(jù)。但最終目標(biāo)是期權(quán)定價，則需要進一步計算。進行期權(quán)定價，需要一個等價鞅測度（EMM）。在這個測度下的預(yù)期總收益率等于無風(fēng)險利率，即貼現(xiàn)后的收益為鞅。

在目前情況下，市場是不完整的，因此不存在恒定波動率BSM模型中獨特的等價鞅測度。可以通過采用Nadom-Nikodym導(dǎo)數(shù)的規(guī)范來指定等價鞅測度。因此，期權(quán)價格由于Nadom-Nikodym導(dǎo)數(shù)的選擇又是獨特的。因為原始的測度和轉(zhuǎn)變之后的測度必須有相同的空集，才能保證2種測度等價。在分布上加上上標(biāo)Q來與原始分布進行區(qū)分，稱之為風(fēng)險中性測度Q下的分布或者簡稱為風(fēng)險中性測度。

給定一個序列｛υt｝，定義 Nadom-Nikodym導(dǎo)數(shù)為：

Nadom-Nikodym導(dǎo)數(shù)定義的測度Q是等價鞅測度，那么式（11）可以改寫為：

2 混合正態(tài)異方差模型下的貝葉斯參數(shù)估計

馬爾科夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法己經(jīng)成為一種主要的貝葉斯計算方法。一方面是由于它處理復(fù)雜問題的效率非常高，另一方面是由于它的編程相對容易。在貝葉斯分析應(yīng)用中，最為廣泛的MCMC［5］方法主要有Gibbs抽樣方法和Metroplis-Hastings（簡稱MH）方法等。MCMC的研究為推廣貝葉斯方法的應(yīng)用開辟了廣闊的前景，成為近幾年時間序列分析以及計量經(jīng)濟學(xué)的重要研究課題之一。

根據(jù)式（17）的要求，模型的收益被規(guī)定為：

其中，T時刻觀察值的似然函數(shù)［6］可以表示為：

式中：ξ表示 υ，πk，μk，θk，k＝1，…，K組成的參數(shù)；R＝（R1，R2，…，RT）′表示收益向量；φ（Rt／μk＋ρt（v），θk）表示均值是 μk＋ρt（v），方差為依賴于θk＝（ωk，αk，βk）的

由于似然函數(shù)形式的復(fù)雜性，直接進行參數(shù)估計非常困難。考慮給每個觀察值引入一個狀態(tài)變量 Gt∈｛1，2，…，k｝，如果 Rt屬于分布 K，則該狀態(tài)變量就取值K。假設(shè)狀態(tài)變量與給出的概率分布獨立，那么Gt＝K的概率等于πk，可以寫成：

因為和的形式消失了，所以比式（23）便于計算。由于Gt沒有被觀察，可以把它作為模型的額外參數(shù)。盡管現(xiàn)在模型包含了更多的參數(shù)，但通過MCMC方法進行推斷將會更加簡單。

下面采用MCMC方法，用Gibbs抽樣的方法，通過從參數(shù)的后驗條件分布中抽樣來得到后驗分布的抽樣。

聯(lián)合后驗分布為：

φ（υ）φ（μ）φ（θ）φ（π）為先驗分布，并且假設(shè)它們獨立，且K已知，采用Gibbs抽樣如下：

1）φ（GT／υ，μ，θ，π，R）抽取 GT

由于GT之間相互獨立，條件后驗密度可以表示為：

因此，｛GT｝可以看作多項分布，我們可以從下面的多項分布中抽取GT：

抽取GT時，可以先從均勻分布U［0，1］上隨機抽取U，根據(jù)抽取U的利用多項分布得到相應(yīng)的k，則完成GT的抽取。

2）φ（π／GT，υ，μ，θ，R）抽取 π

π的完全條件后驗密度 φ（π／GT，υ，μ，θ，R）中，π的大小僅與GT有關(guān)，即：

xk是Gt＝K的次數(shù)，π的先驗分布φ（π）選擇為Dirichlet分布，則其全條件后驗分布服從Dirichlet（a1，…，ak）分布，ak＝ak0＋xk。

3）φ（μ／GT，υ，π，θ，R）抽取 μ

記 ~μ＝（μ1，…，μK-1）′，則條件分布 φ（μ／GT，υ，π，θ，R）服從多元正態(tài)分布，并且如果抽取了 ~μ，則μK可以從公式（7）中取得。

條件分布是均值為-A-1b，協(xié)方差矩陣為A-1的高斯分布：

4）φ（θ／GT，υ，μ，π，R）抽取 θ

假定θk之間獨立，即：

5）φ（υ／GT，θ，μ，π，R）抽取 υ

υ的條件后驗分布不屬于任何已知的分布族，由于υ是向量，可以在均勻分布U（0，1）中繪制一個觀察值并找到υ的條件后驗分布的對應(yīng)分位數(shù)。

為了計算期權(quán)價格，首先需要去預(yù)測在Q測度下的收益密度，對于給定的樣本R1，R2，…，RT，模型的一步超前預(yù)測密度RT＋1為：

直到這里描述的預(yù)測密度是收益密度，為了獲得預(yù)測期權(quán)價格，需要期權(quán)交易到期日的價格密度，這種預(yù)測的價格密度是通過將預(yù)測的收益匯總到n個到期日為止，對于歐式期權(quán)［7］來說：

3 實證分析

2004年1月2日，上交所編制發(fā)布了上證50指數(shù)［8］。它主要由上海證券市場中具有較大規(guī)模和較好流動性的50支最具代表性的股票組成樣本股。2005年2月23日，上證50ETF（華夏上證50ETF上市。它是基于上證50指數(shù)的交易型開放式指數(shù)基金。2015年2月9日，上海證券交易所正式推出了上證50ETF期權(quán)。它是上證50ETF為標(biāo)的物的股指期權(quán)，是我國證券市場的第1個股指期權(quán)產(chǎn)品，填補了我國證券交易所期權(quán)產(chǎn)品的一大空白。本文選取上證50ETF 2017年1月3日—2017年12月29日242個交易日的日收益率數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，并且對2018年1月2日至31日的1 567份看漲期權(quán)進行期權(quán)定價誤差的分析。

在混合正態(tài)模型中，有限混合分布中的個數(shù)還沒有固定，事實上發(fā)現(xiàn)當(dāng)K＝3時，它的概率非常小，趨近于零，可以忽略不計，因此K＝2被認為是最優(yōu)的。本文利用stata和EViews軟件進行估計［9］得到的參數(shù)估計結(jié)果見表1。

表1 參數(shù)估計結(jié)果

根據(jù)看漲期權(quán)的在值程度和剩余期限t分別將樣本數(shù)據(jù)分類，見表2。

從表3中數(shù)據(jù)可以觀察出模型的定價誤差都不是很大，從剩余期限角度來看，剩余期限小于60天比天數(shù)大于60天的定價誤差都要小，從在值程度的角度來看，深度實值期權(quán)的定價誤差要更小一些。

表2 上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)

表3 標(biāo)準(zhǔn)均方根誤差

4 結(jié)束語

本文將混合正態(tài)異方差模型應(yīng)用到期權(quán)定價中，提供了在一般框架下的資產(chǎn)收益以及如何獲得適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險中性狀態(tài)下的資產(chǎn)收益的方法。此外，在貝葉斯框架中進行參數(shù)估計，使我們能夠在考慮了參數(shù)的不確定性的情況下計算出預(yù)測的價格密度，從而推導(dǎo)出期權(quán)定價。實證結(jié)果表明：該模型對收益率數(shù)據(jù)可以進行有效的統(tǒng)計分析，預(yù)測出的期權(quán)價格與實際情況相比效果也比較好，值得進一步深入研究和推廣。