波形鋼腹板曲線結合梁彎扭效應的解析解推導及參數分析

李運生， 陳留劍， 劉 蓓， 楊 斌, 陳 鐵, 張彥玲

(1. 石家莊鐵道大學 土木工程學院， 河北 石家莊 050043;2. 中國鐵路總公司 工程管理中心, 北京 100844)

城際高鐵橋梁需要減小建筑高度、降低振動和噪音，而且可能會因為線路的要求設計為平面曲線。波形鋼腹板結合梁具有自重輕、腹板抗剪強度大、預應力效率高等優點，且由于波形鋼腹板良好的三維撓曲特性，非常適合應用于城際高鐵曲線橋。

目前，國內外對波形鋼腹板結合梁的抗彎性能[1-3]和純扭性能[4-6]已有較多研究。李宏江[7]、丁勇[8]、楊丙文[9-10]等對波形鋼腹板-混凝土結合梁的彎扭性能進行了報道，但研究對象均為直線梁。在波形鋼腹板曲線結合梁方面，Hu[11]采用Ansys軟件分析連續曲線波形鋼腹板結合梁的剪力滯效應，并對有效分布寬度進行了研究；曹建軍[12]采用有限元對波形鋼腹板的抗彎穩定性能進行了分析；Sung等[13]對一座波形鋼腹板曲線結合梁橋進行現場靜載試驗和動力測試，并實施長期監控，給出了橋梁狀態的安全閾值。這些報道都采用的是有限元分析和現場試驗的研究方法。

在理論分析方面，宮思維[14]根據薄壁桿件結構力學及曲線橋梁的分析方法，推導了波形鋼腹板組合曲梁的彎曲正應力公式；仝波[15]結合波形鋼腹板箱梁的特點，考慮豎向撓曲、腹板剪切和扭轉，推導了波形鋼腹板曲線梁橋的彎扭耦合效應表達式，但以上報道在分析中均未考慮截面剪力滯和畸變變形與彎曲性能、剪切性能及剛性扭轉之間的綜合影響。

本文將在以上文獻的研究基礎上，更加全面地考慮如下因素，包括梁軸曲率、剪力滯效應、腹板剪切變形、約束扭轉和畸變變形，采用能量變分法計算截面的豎向撓曲應變能、腹板剪切應變能、約束扭轉應變能和畸變應變能，得到波形鋼腹板曲線結合梁在各種外荷載下的彈性控制微分方程和各種彎扭荷載效應的解析解，并進行相關的參數分析。

1 彈性階段波形鋼腹板簡支曲線結合梁彎扭效應的控制微分方程

本文在推導過程中采用的基本假定包括：

(1) 曲線結合梁處于彈性工作階段，變形由彎曲、扭轉、剪力滯和畸變組成；

(2) 豎向彎曲變形為主要變形，只在豎向彎曲中計入剪力滯效應；

(3) 在彎曲應變能計算中忽略波形鋼腹板的軸向剛度，假設彎矩只由混凝土頂、底板承擔，波形鋼腹板只承擔剪力[7]，但在約束扭轉翹曲應變能計算中考慮波形鋼腹板折減后的縱向翹曲剛度；

(4) 正應力和剪應力均沿壁厚均勻分布；

(5) 不計次要變形扭轉翹曲和畸變翹曲之間的應變能耦聯。

1.1 彎曲應變能

本文在推導過程中采用的平面示意圖及截面形式，見圖1。

假設梁的豎向撓度為w(x)，截面轉角為θ(x)，翼緣板的縱向位移函數為u(x,y)，則

u(x,y)=-zu(b)θ(x)+f(y)ξ(x)

( 1 )

式中：ξ(x)為翼緣板剪切轉角的最大差值；下標u、b分別為混凝土頂板和底板的相應特性(以下同),zu為截面形心到頂板形心的距離,zb為截面形心到底板形心的距離；f(y)為剪力滯翹曲形函數，假定翼板縱向位移沿橫向為三次拋物線。

為保證由于截面的翹曲位移產生的正應力構成軸力自平衡，在全截面加一均勻的軸向位移(根據假定3，不考慮腹板)，f(y)表達式為

( 2 )

考慮初曲率的影響，可得上、下混凝土翼緣的縱向正應力為

( 3 )

式中：φ(x)為曲梁繞x軸的扭轉角；Ec為混凝土彈性模量；R為曲線半徑，曲率中心在圖1中y軸正方向一側。

則上、下混凝土翼緣的彎曲剪力滯翹曲應變能為

( 4 )

將式( 3 )代入式( 4 )，忽略波形鋼腹板的彎曲應變能，可得彎曲總應變能為

( 5 )

1.2 約束扭轉翹曲應變能

假設約束扭轉時箱梁的縱向翹曲位移與自由扭轉時存在相似的規律變化。定義扭轉翹曲廣義位移為β′(x)，并考慮梁軸曲率的影響，則曲線箱梁的截面翹曲位移為

( 6 )

采用換算截面，將鋼腹板換算成混凝土材料，假定換算之后的腹板高度不變，則等效厚度為[7]

( 7 )

式中：Eg為波形鋼腹板鋼材的實際彈性模量；Ee為其有效彈性模量；a、c、θ、e、tg、p見圖2。

對于剛性扭轉，假定截面周邊不變形，則換算截面的約束扭轉翹曲正應力為

( 8 )

當扭轉極點取截面扭轉中心，曲線坐標積分起點取廣義扇性坐標零點時，廣義慣性靜矩為零，此時有

( 9 )

令扭轉翹曲雙力矩為

(10)

則由翹曲正應力產生的剛性扭轉翹曲應變能為

(11)

1.3 剪切應變能

剪切應變能包括由剪滯翹曲剪應變產生的翼板剪切應變能、波形鋼腹板剪切應變能和約束扭轉剪切應變能。

1.3.1 剪力滯翹曲剪切應變能

根據式( 1 )，可得翼板剪滯翹曲剪應變為

(12)

則剪滯翹曲剪切應變能為上、下混凝土翼板剪切應變能之和

Vq1=Vq1u+Vq1b=

(13)

1.3.2 鋼腹板剪切應變能

考慮剪切變形時，箱梁腹板的剪應變可表示為η(x)=w′(x)-θ(x)，則相應的應變勢能為

(14)

1.3.3 約束扭轉剪切應變能

在扭矩作用下，箱梁截面上各點的約束扭轉總剪應變為

(15)

則橫截面上總扭矩為

T=∮τsρtds=∮Gγsρtds

(16)

故式(16)可表示為

T=Td+Tw=GcId(φ′+θ/R)+

Gc(Iρ-Id)(φ′-β′)

(17)

則約束扭轉剪切應變能為

(18)

由式(11)、式(13)和式(18)可得總剪切應變能Vq為

Vq=Vq1+Vq2+Vq3=

(19)

1.4 畸變應變能

在曲線結合梁中，畸變應變能包括畸變翹曲應變能Uj1、框架橫向彎曲應變能Uj2和由梁軸曲率引起的畸變附加應變能Uj3。根據文獻[7]，以圖1中角點2的畸變角γ2為畸變未知量，假定沿橋縱向不考慮波形鋼腹板的抵抗翹曲作用，則畸變翹曲應變能Uj1為[7]

(20)

框架橫向彎曲應變能Uj2為[7]

(21)

下面計算由梁軸曲率引起的畸變附加應變能Uj3，定義箱梁內腹板翹曲時在自身平面內的附加畸變豎向撓度為v1，畸變轉角為ν=2v1/a4，則畸變角γ2=2ν，見圖3。

對于水平曲線箱梁，橫截面上繞y軸的彎矩My與畸變轉角的附加曲率ν/R有耦合，從而引起畸變附加應變能Uj3為

(22)

由此可得波形鋼腹板曲線結合梁畸變總應變能為

Uj=Uj1+Uj2+Uj3=

(23)

1.5 外力勢能

設曲率承受沿梁軸的豎向分布荷載q(x)和分布扭矩m(x)，分布扭矩可通過荷載分解得到其畸變荷載分量，其中頂板受到的畸變荷載為Pdw(x)=m(x)/(2h)(h為頂、底板中心線間距)。因此，扭矩m(x)除在截面內引起扭轉角φ以外，其畸變荷載分量還會產生獨立的畸變荷載勢能，因此曲線梁的外力勢能可表示為

(24)

1.6 波形鋼腹板曲線結合梁彎扭控制微分方程

由式( 5 )、式(11)、式(19)、式(23)、式(24)，可得到波形鋼腹板曲線組合箱梁在彎扭作用下的總勢能為

(25)

根據最小勢能原理，令式(25)一階變分為0，可得

(26)

Gc(Iρ-Id)(φ″-β″)-m=0

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

且得到邊界條件為

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

由式(26)～式(38)可以看出，根據本文的假設，彎曲變形和扭轉變形存在相互耦合，而剪切變形和畸變變形則相對獨立。

2 波形鋼腹板曲線組合彎扭控制微分方程的求解

本文擬求解的結構為簡支波形鋼腹板曲線結合梁，其控制微分方程可采用伽遼金法求解。基本未知數及其邊界條件為：當簡支曲梁兩端設抗扭支座，且只有兩個端橫隔板時，跨中撓度w(x)、扭轉角φ(x)和畸變角函數γ2(x)均在支座處為0，在跨中達到最大，其形函數可采用正弦函數，即w(x)=w0sin(πx/l)、φ(x)=φ0sin(πx/l)、γ2(x)=γ20sin(πx/l)(φ0、γ20為各變量在跨中的峰值)；扭轉翹曲廣義位移函數β′(x)與扭轉角的一階導數φ′(x)具有相似特性，也可設β(x)=β0sin(πx/l)(β0為跨中峰值)；截面轉角θ(x)和翼板剪切轉角的最大差值函數ξ(x)則在兩端支座處達到最大，均布荷載下θ(x)在跨中為0，ξ(x)在跨中值極小[16]，則二者的形函數可采用余弦函數表示，即θ(x)=θ0cos(πx/l)、ξ(x)=ξ0cos(πx/l)(θ0、ξ0為各變量在支座處的峰值)。

根據文獻[17]，令

將以上基本未知數的形函數代入式(26)～式(29)，將式(30)代入式(26)，并表示成矩陣形式，可得

K·Δ=P

(39)

展開后，為

(40)

則可求得位移項(θ0、φ0、ξ0、β0)為

Δ=P·K-1

(41)

將跨中撓度和梁端轉角的形函數代入式(30)，可得跨中撓度w0為

(42)

由于畸變角γ20獨立存在，可直接得出

(43)

3 算例驗證

采用本文推導的結果對文獻[15]中的算例進行計算：某波形鋼腹板簡支曲線結合梁曲率半徑為60 m，計算跨徑為20.45 m，圓心角為20.37 °，設置端橫隔板和中橫隔板。波形鋼腹板厚度為10 mm，采用1 600型波形鋼腹板，截面尺寸見圖4。為了簡便計算，荷載只考慮梁自重，換算成均布荷載為76.4 kN/m，未加載扭矩。

表1 計算結果

為了對理論結果進行驗證，本文采用ANSYS軟件對該算例建立了有限元模型，其中混凝土板采用Solid45實體單元，鋼腹板采用Shell63殼單元，頂板和腹板、腹板和底板在連接處共用節點，不考慮相對滑移。曲線梁兩端各設兩個鉸支座，其中梁左端曲線內側約束豎、縱向位移(x和z方向)，外側約束豎、縱、橫向位移(即x、y、z方向)；梁右端放松x縱向約束，其它與左端相同。有限元模型見圖5。

由有限元模型得到的跨中撓度(圖1中點1、3的中點)為8.33 mm，扭轉角為0.011 2 °(根據組合箱梁截面幾何特性，扭轉角可由式φ=arctan(Δw/b)計算得到，其中Δw為曲線外側和內側最大撓度差；b為組合梁橫截面中腹板之間的間距，二者的單位均為m)，跨中截面上翼緣(圖1中角點1)正應力為1.622 MPa，下翼緣(圖1中角點2)為2.174 MPa，與理論結果比較吻合。文獻[15]的理論推導中未考慮剪力滯效應，其跨中撓度理論值為7.737 mm；在本文中，若不考慮剪力滯效應，跨中撓度值為7.7 mm，與文獻[15]結果吻合，可見考慮剪力滯效應時與有限元結果更接近。

4 圓心角和曲線半徑對波形鋼腹板曲線結合梁彎扭效應的影響

以第3節算例為原型，保持截面尺寸和跨度不變，改變圓心角的大小，同時曲線半徑隨之減小。圓心角取12.22°,15.27°,20.37°,30.53°，對應的曲線半徑分別為100,80,60,40 m，在自重均布荷載下，得到跨中撓度、扭轉角及廣義翹曲位移β′隨圓心角的變化曲線見圖6。

由圖6可知：

(1) 跨度不變時，曲線梁的跨中豎向撓度和扭轉角均隨圓心角的增大和曲線半徑的減小而逐漸增大，說明其扭轉效應增加，由于截面扭轉變形導致的附加撓度增大；

(2) 扭轉角與豎向撓度的比值隨圓心角的增大而增大，反映了扭轉效應的增強和彎曲效應的減弱。在跨度不變的情況下，圓心角是表征曲梁彎扭效應的一個重要指標；

(3) 扭率φ′和廣義翹曲位移β′分別反映了自由扭轉和約束扭轉時翹曲位移的大小，二者的比值隨圓心角的增大逐漸增大(見圖6(d))，說明圓心角越大，約束扭轉和自由扭轉所引起的翹曲位移的差別越大。

跨中畸變角、剪力滯附加彎矩和應力比隨圓心角的變化，見圖7。

由圖7可知：

(1) 跨度不變時，由于曲線梁扭轉效應隨圓心角的增大而增大，故其畸變角也隨之增大，且幾乎呈線性增長；

(2) 跨度不變時，剪滯附加彎矩隨圓心角的增大變化很小，說明圓心角的增長對彎曲效應影響不大；

(3) 應力比隨著圓心角的增大而增大，且變化曲線基本上呈線性變化。

5 結論

(1) 本文采用能量變分法推導了波形鋼腹板簡支曲線結合梁在彎扭作用下的控制微分方程，采用伽遼金法求解可簡化求解過程，得到其彎扭效應的峰值解；

(2) 波形鋼腹板簡支曲線結合梁的彎曲變形和扭轉變形存在相互耦合，而剪切變形和畸變變形則相對獨立。剪力滯效應可使曲梁的撓度增大；

(3) 跨度不變時，跨中豎向撓度、扭轉角和畸變角均隨圓心角的增大而增大，剪滯附加彎矩基本不變。扭彎應力比隨圓心角的增大線性增加，說明扭轉效應增強，彎曲效應減弱，且約束扭轉和自由扭轉所引起的翹曲位移的差別逐漸增大。