關于圖乘法的一種特殊情況

趙盛琳

摘 要：本文討論了用圖乘法計算結構位移的一種特殊情況，有一個彎矩圖是反對稱，另一個彎矩圖是線性圖線的時候，計算中容易出現的錯誤，從公式推導指出正確的處理方法。

關鍵詞：圖乘法; 形心坐標; 計算公式

中圖分類號：？U442? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-3315（2019）12-141-001

在材料力學或者結構力學一般用能量法來計算結構位移，使用比較多的是單位載荷法，在滿足一些特殊條件下（軸線為直線，等截面梁或者剛架而且抗彎剛度為常量，兩個彎矩圖中至少有一個為線性函數），計算莫爾積分可以用圖乘法，在大部分有圖乘法介紹的教材里，圖乘法公式的推導所用的示意圖都是所考慮的區間里有一個彎矩圖是全部在軸線一側的一條曲線，另一個彎矩圖是線性圖線，推導過程中用到了平面圖形的形心坐標計算公式，而且計算結果有正負號的問題，兩個彎矩圖在軸線同側的時候，結果取正值，兩個彎矩圖在軸線異側的時候，結果取負值。因此圖乘法給人的感覺就是計算中彎矩圖面積是帶正負號的。然而在遇到以下情況的時候很容易犯錯。

有的時候我們會遇到有一個彎矩圖在考慮的區間內是反對稱的，而另一個彎矩圖是線性圖線，教材里沒有硬性規定彎矩圖必須在軸線同側才能用圖乘法，只要滿足使用圖乘法的三個條件（軸線為直線，等截面梁或者剛架而且抗彎剛度為常量，M（x）及[M]（x）中至少有一個為關于x的線性函數），就算M（x）有正有負（即彎矩圖分布在軸線兩側），圖乘法的公式依然能用。

圖乘法計算積分的公式[l]M（x）[M]（x）dx=[ω][M]c，其中[ω]代表M（x）圖的面積，[Mc]是[M]（x）圖中與M（x）圖的形心對應的縱坐標。

當M（x）圖反對稱，則其圖形的形心顯然在軸線中點處，但彎矩圖面積[ω]因為考慮反對稱圖形的正負號，加起來為零，所以不管[M]c是多少，最后結果就是零，但這顯然是錯誤的。

由平面圖形形心坐標計算公式Xc=[AxdAA]，可得[AxdA]=A·xc，也就是材料力學平面圖形的性質里的靜矩，在這公式里，坐標x和xc都是代數量，可正可負可零，而面積A或者面積微元dA都取大小，即取絕對值。因此圖乘法計算公式用到平面圖形形心坐標計算公式，公式里所寫的平面圖形面積應采用絕對值來計算，而不是自帶正負號。

當然，圖乘法最后結果是帶正負號的，實際上計算結果的大小可以用整個區間的彎矩圖M（x）（非線性的兩塊反對稱的圖形總面積）乘上線性彎矩圖[M]（x）橫坐標中點的縱坐標[M]（[12]），結果的正負號分兩段來看比較清楚，由于M（x）反對稱，關于軸線兩側的圖形形心坐標位置對稱，[M]（x）以軸線中點分成兩部分，絕對值大的一側決定最后結果，若[M]（x）此圖線與M（x）同側結果取正值，異側則結果取負值。

參考文獻：

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