分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

王鵬飛

(重慶市鳳鳴山中學(xué) 400036)

一直以來，分類討論都是一種非常關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想，而且，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到各種各樣的分類問題，比如：數(shù)的分類，平面圖形的分類，立體圖形的分類等等.并且，很多時(shí)候，學(xué)生都需要通過分類討論來解決數(shù)學(xué)問題.這就表明，分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)的解題中占據(jù)著至關(guān)重要的地位，教師必須注重分類討論的思想的滲透和講解.而分類討論，實(shí)際上，指的就是，分別歸類，然后，再進(jìn)行討論.分類的過程從本質(zhì)上來說，就是對(duì)事物共性的抽象過程.因此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生掌握分類、確定分類的標(biāo)準(zhǔn)、認(rèn)識(shí)和區(qū)分不同事物的不同屬性的方法.而且，分類討論的思想，實(shí)現(xiàn)了歸類整理的思想，它能夠揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在規(guī)侓.所以，學(xué)生如果掌握了分類討論的能力，相應(yīng)地，也就會(huì)掌握總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.這是對(duì)學(xué)生思維概括性的提升，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).本文結(jié)合筆者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用進(jìn)行了以下幾點(diǎn)探討：

一、設(shè)置分類的標(biāo)準(zhǔn)

要想使用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題，首先，就要滿足兩個(gè)條件，一個(gè)是要能夠深刻地了解和掌握分類討論思想的概念，也就是說，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：分類討論的思想僅僅能夠在一些分解的題目中應(yīng)用，并不是所有的數(shù)學(xué)練習(xí)題目都可以應(yīng)用分類的思路的.另一個(gè)是，要詳細(xì)且嚴(yán)密地研究數(shù)學(xué)題目的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用條件.首先，教師要帶領(lǐng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)題目的數(shù)據(jù)和運(yùn)算條件.其次，要注意討論的方向不能超過分類的界限.最后，教師要為學(xué)生統(tǒng)一好分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，從而避免出現(xiàn)討論層次亂套的問題出現(xiàn)，摒棄錯(cuò)誤計(jì)算發(fā)生的概率.同時(shí)，很多的運(yùn)算步驟和數(shù)學(xué)題目都是需要數(shù)學(xué)公式的正確運(yùn)用才能夠得出正確的答案.所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)公式進(jìn)行分類，從而提升掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)公式解決數(shù)學(xué)問題的能力和效率.

比如：在講解有關(guān)數(shù)列的知識(shí)時(shí)，筆者就為學(xué)生提供了這樣一道練習(xí)題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn=21n-n2，那么，它的通項(xiàng)公式an是什么？在這道題目中，需要分類討論的就是n的情況和條件.并且，學(xué)生只有能夠分析出n=1和n≥2,n∈N*這兩者情況，學(xué)生才能夠完整地做出這道題目，也就是說，學(xué)生必須要掌握單獨(dú)解決特殊的個(gè)體屬性的能力.同時(shí)，這也設(shè)置分類的標(biāo)準(zhǔn)的重要過程.學(xué)生只有掌握了這種規(guī)律，才能夠分段表述an.可見，設(shè)置分類的標(biāo)準(zhǔn)，掌握分類的思想，在解答數(shù)學(xué)題目時(shí)，是非常關(guān)鍵的.只有學(xué)生具備了分類的思想，學(xué)生才能夠全面地解決一道數(shù)學(xué)題，而學(xué)生的解題效率才會(huì)不斷提高.

二、確認(rèn)分類的形式

在解答數(shù)學(xué)題目的過程中，在確認(rèn)好數(shù)學(xué)題目所需要的定理和公式之后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生具體分析和研究數(shù)學(xué)題目的內(nèi)容，以此確立分類的形式.并且，分類討論思想在綜合性的數(shù)學(xué)大題中的應(yīng)用概率非常高，而數(shù)學(xué)大題常常會(huì)被分解成不同的問題，這時(shí)候，就需要學(xué)生的自身的解題經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，教師要帶領(lǐng)學(xué)生細(xì)讀題目，使學(xué)生能夠找出綜合性題目中隱藏的不同定理的應(yīng)用的可能性.而且，教師要幫助學(xué)生樹立自信心，使學(xué)生能夠相信自己的邏輯能力和思考能力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類.此外，教師要為學(xué)生提供分類的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生能夠不被數(shù)學(xué)題目中的未知量的數(shù)量干擾.

比如有這樣一道題目：若是不等式mx2+mx+2>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，那么，實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么？這道題目，實(shí)際上就是對(duì)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)的考查，在確定分類標(biāo)準(zhǔn)的過程中，要想解決這道題，就要對(duì)m進(jìn)行分類討論.但是，很多學(xué)生只要看到“二次”出現(xiàn)，就會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)或者二次方程的問題，這是由學(xué)生的定式思維所引發(fā)的，因此，為了強(qiáng)化學(xué)生的解題能力，筆者就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)問題的形式，讓學(xué)生深入分析問題，從而明確這是關(guān)于準(zhǔn)二次不等式的問題.學(xué)生經(jīng)過這樣的分析之后，就能夠明確，必須要用分類的思想，才能夠解答這個(gè)的問題.可見，確認(rèn)分類的形式，對(duì)于提高學(xué)生的解題能力來說，是非常重要的.

三、加深討論的深度

為了突出分類討論思想在解答數(shù)學(xué)問題中的優(yōu)勢(shì)，教師就要采取小組合作教學(xué)的模式，組織實(shí)踐和討論課堂，從而盡量減少學(xué)生在分類過程中會(huì)出現(xiàn)的誤區(qū).并且，團(tuán)隊(duì)的力量是非常強(qiáng)大的.一個(gè)人不管怎么認(rèn)真，如果碰到大量的數(shù)學(xué)問題，出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率也會(huì)不斷上升.因此，教師就要將學(xué)生分成不同的討論小組，從而使學(xué)生在團(tuán)體活動(dòng)中養(yǎng)成良好的分類討論的習(xí)慣.同時(shí)，教師要發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，為學(xué)生規(guī)定練習(xí)題目，讓學(xué)生以小組為單位分別進(jìn)行解題練習(xí).在小組合作討論的形式中，不僅能夠使每個(gè)人都表達(dá)出自己的想法，還能夠提高學(xué)生的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).此外，教師要為學(xué)生規(guī)定討論的時(shí)間，讓學(xué)生在限定的時(shí)間內(nèi)，完成數(shù)學(xué)問題的解答.只有在這樣的形式下，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和效果才會(huì)不斷提高.

比如在講解有關(guān)二次函數(shù)的最值問題時(shí)，筆者為學(xué)生提供了這樣一個(gè)題目：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)是(b,0)，b∈R，求曲線y2=2x上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值c.并且，筆者將學(xué)生分成了不同的小組，從而讓學(xué)生深入討論這個(gè)問題.學(xué)生在討論的過程中，就能夠明白要想求出正確的答案，就必須將b進(jìn)行分類.同時(shí)，大部分小組得出了正確的答案.可見，加深學(xué)生之間的討論，不僅能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還能夠增強(qiáng)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的能力.

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一定要注重分類討論的思想的作用，并且，從學(xué)生的興趣和數(shù)學(xué)能力出發(fā)，為學(xué)生提供高效的數(shù)學(xué)題目，鍛煉學(xué)生利用分類討論的思想解答數(shù)學(xué)問題的能力.