例談初中生數(shù)學(xué)解題思路受阻后的反思策略

摘 要：學(xué)生在例題學(xué)習(xí)或獨(dú)立作業(yè)時(shí)，常因各種原因?qū)е滤悸肥茏琛Ｒ虼耍接懡忸}思路受阻后的反思策略，對(duì)于提高學(xué)生解題能力及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力就顯得至關(guān)重要，下面結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劤踔猩诮忸}思路受阻后的反思策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；思路；反思

一、 從順推和逆推兩個(gè)維度總結(jié)熟記一些普適性的思考規(guī)律

當(dāng)學(xué)生解題思路受阻時(shí)，直接的原因就是因?yàn)榭吹筋}目的某個(gè)條件，或者是多個(gè)條件組合后無(wú)法進(jìn)一步地進(jìn)行推理，或者不善于從結(jié)論出發(fā)多途徑地去追溯所需的條件，進(jìn)而找到順推和逆推的中途點(diǎn)，從而解決問(wèn)題。因而教師可從以下兩方面去幫助學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)。

（一） 總結(jié)熟記一些由條件推向結(jié)論的常見(jiàn)模式

請(qǐng)看下例：

例1：（1）如圖1，在△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，猜想EF和BE、CF有何關(guān)系？說(shuō)明理由。

（2）如圖2，若將（1）中的“BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB”改為“BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他條件不變，則EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：（1）這兩個(gè)小題共同的解法都是根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和平行線(xiàn)性質(zhì)推出△BEO和△CFO都是等腰三角形的結(jié)論，再根據(jù)BE=OE，CF=OF得出EF與BE、CF之間的關(guān)系。而初學(xué)時(shí)學(xué)生思維受阻的原因基本上都是沒(méi)有想到上述兩個(gè)條件組合將產(chǎn)生兩個(gè)等腰三角形，從而再向前推進(jìn)證得結(jié)論。

（2）當(dāng)在教師或同學(xué)的啟發(fā)下，學(xué)生們知道該題的解題思路后，教師應(yīng)順勢(shì)幫助學(xué)生反思總結(jié)出這樣一個(gè)條件組合的規(guī)律：當(dāng)一道題目的已知條件中同時(shí)出現(xiàn)了角的平分線(xiàn)和這個(gè)角的一邊的平行直線(xiàn)時(shí)，一定要先挖出隱含在圖形中的等腰三角形（有時(shí)還得添輔助線(xiàn)畫(huà)出等腰三角形）。并且要提醒學(xué)生，總結(jié)出的規(guī)律要時(shí)時(shí)加以利用，并不斷完善。隨著今后的學(xué)習(xí)，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)那條平行線(xiàn)不僅可以是角的一邊的平行線(xiàn)，還可以是角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)。

其實(shí)數(shù)學(xué)中，這種由條件組合推向結(jié)論的模式有很多，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。如在四個(gè)代數(shù)式a+b，ab，a-b，a2+b2中，若有兩個(gè)代數(shù)式的值已知，便可以利用完全平方公式求得另兩個(gè)代數(shù)式的值。又如有這樣一個(gè)基本圖形：如果兩個(gè)頂角相等的等腰三角形具有公共的頂角的頂點(diǎn)，當(dāng)把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)時(shí)，則會(huì)形成一組全等的三角形。即如圖3所示，若△ABC與△ADE都是等腰三角形，且它們的頂角∠BAC=∠DAE，則可得到△ABD≌△ACE。

（二） 總結(jié)熟記一些由結(jié)論追溯條件的常見(jiàn)模式

如下例：

例2：完成下列題組

（1）如圖4，已知：直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）和A（0，3），點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△ABP為等腰三角形，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（2）如圖5，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=4，DC=3，AD=6。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線(xiàn)DA的方向，在射線(xiàn)DA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線(xiàn)段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）。問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)△BPQ是等腰三角形？

（3）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=45。點(diǎn)P、Q分別是AC、BA邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=BQ=x。若△APQ為等腰三角形時(shí)，求x的值；

（4）如圖7，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，△DEF≌△ABC，移動(dòng)△DEF，在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E始終在BC邊上（點(diǎn)E不經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)），且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于點(diǎn)M。若△AEM為等腰三角形，求BE的長(zhǎng)。

分析：第（1）題中△ABP兩個(gè)頂點(diǎn)A和B是定點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)P可到線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)或分別以A、B為圓心以線(xiàn)段AB為半徑的兩個(gè)圓上去找，找到點(diǎn)P后再進(jìn)行列式或列方程求解。

第（2）題中△BPQ的三個(gè)頂點(diǎn)中，只有一個(gè)頂點(diǎn)B是定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q都是動(dòng)點(diǎn)，顯然（1）中的方法不適用。這時(shí)可考慮將△BPQ三邊或三邊的平方字母化，即將△BPQ三邊或三邊的平方用同一個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)：PQ2=t2+32，BQ2=（4-t）2，BP2=（4-2t）2+32，然后分三種情況：PQ=BQ或BP=BQ或PB=PQ分類(lèi)列方程即可求解。

第（3）題中顯然（1）（2）的方法都較難實(shí)現(xiàn)，但題目中sinA=45，可以認(rèn)為∠A是一個(gè)特殊角，若△APQ為等腰三角形，則夾∠A的兩邊之比一定為1∶1或5∶6，而邊AP和AQ很容易用同一個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)，這就使問(wèn)題得到輕松解決。

第（4）題中，顯然（1）（2）的方法都不適用，盡管sin∠AEM=sinB=45，可推出若△AEM要為等腰三角形，則夾∠AEM的兩邊之比為1∶1或5∶6，但邊AE和EM很難用同一個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)。于是可考慮從等腰三角形兩底角相等帶來(lái)的新的關(guān)系去求解。由∠B=∠DEF=∠C，易推得∠CEM=∠BAE。由∠AME>∠C，可知∠AME>∠AEF，若∠EAM=∠AME，則AE=EM時(shí)，可推得△ABE≌△ECM，易知BE=1，當(dāng)AM=EM時(shí)，可知∠MAE=∠MEA=∠C，可推得△CAE∽△CBA，進(jìn)而可求得BE的長(zhǎng)。

上述題組，一般學(xué)生解題思路都會(huì)受阻，此時(shí)教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下列動(dòng)點(diǎn)形成等腰三角形的由結(jié)論追溯條件的思考規(guī)律：

1. 變中抓不變，分析三角形幾個(gè)頂點(diǎn)定，幾個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)，哪些邊角定，哪些邊角變，有沒(méi)有特殊角（如30°、45°、60°或某個(gè)三角函數(shù)值已知的角度）；

2. 若三角形兩個(gè)頂點(diǎn)定，一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)，則動(dòng)的頂點(diǎn)可到兩定點(diǎn)連線(xiàn)段的中垂線(xiàn)或以?xún)啥c(diǎn)為圓心以?xún)啥c(diǎn)連線(xiàn)段為半徑的兩個(gè)圓上找，找到以后再列式或列方程求解；

3. 若用2的方法較繁或三角形中至少有兩個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)，則考慮將三邊長(zhǎng)度字母化，即將三邊用同一個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)，然后分類(lèi)討論列方程求解；

4. 若從邊的關(guān)系很難將三角形三邊用同一未知數(shù)表示出來(lái)，則從角的關(guān)系去突破，先看看有沒(méi)有特殊角，若有，則利用特殊角帶來(lái)的等腰三角形兩夾邊的比值列方程求解（如等腰三角形底角為30度，則夾這個(gè)角的兩邊之比為1∶3）。

5. 若無(wú)特殊角，則利用等腰三角形兩底角相等帶來(lái)的新的關(guān)系（如相似、全等、平行、新的等腰三角形等等）求解。（當(dāng)然，此規(guī)律要在實(shí)踐中加以完善）

二、 從特殊到一般找到突破口

數(shù)學(xué)中有一類(lèi)題依據(jù)一般條件很難找到思路，如一些規(guī)律探索題，這時(shí)可啟發(fā)學(xué)生退到一些簡(jiǎn)單的特殊情形，通過(guò)特殊情形的解決，尋找規(guī)律，實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決。如下例題：

例3：如圖8，已知直線(xiàn)l：y=-x-1，雙曲線(xiàn)y=1x，在l上取一點(diǎn)A1，過(guò)A1作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)B1，過(guò)B1作y軸的垂線(xiàn)交l于點(diǎn)A2，請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：過(guò)A2作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)B2，過(guò)B2作y軸的垂線(xiàn)交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1=2，試求出a2013的值。

分析：這個(gè)問(wèn)題很難直接找到解題思路，可退到簡(jiǎn)單的特殊情形，通過(guò)計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a1=2時(shí)，a2=-32，a3=-13，a4=2，a5=-32，于是可知a1至a2013的值是三個(gè)三個(gè)循環(huán)出現(xiàn)的，于是問(wèn)題得到了解決。

三、 把問(wèn)題映射到另一數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去

把問(wèn)題映射到另一數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去，在初中數(shù)學(xué)中更多地體現(xiàn)為用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題。如下例：

例4：求代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值。

分析：這個(gè)問(wèn)題利用常規(guī)的代數(shù)方法求解很困難，但若學(xué)生習(xí)慣于用數(shù)形結(jié)合思想去思考問(wèn)題，由a2+b2容易想到直角邊為a和b的直角三角形的斜邊。于是可構(gòu)造幾何圖形來(lái)求解。

如圖9所示，作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)x2+4+（12-x）2+9的最小值。

數(shù)學(xué)中很多的代數(shù)問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)造圖形來(lái)解決。同樣圖形的諸如形狀，大小和位置關(guān)系的確定問(wèn)題也常需要用代數(shù)的方法來(lái)解決。

四、 類(lèi)比聯(lián)想出思路

當(dāng)解題陷入困境時(shí)，有時(shí)可對(duì)問(wèn)題做整體的觀察和分析，然后進(jìn)行新舊知識(shí)和題目的聯(lián)想分析來(lái)解決問(wèn)題。例如：

例5：求出函數(shù)y=x+4x（x>0）的最小值。

此題用不等式的性質(zhì)可以解決，但初中學(xué)生不熟悉。而當(dāng)學(xué)生利用常規(guī)的函數(shù)最值模型和構(gòu)造幾何圖形無(wú)法求解時(shí)，教師要啟發(fā)學(xué)生反思回顧初中哪幾類(lèi)代數(shù)式模型是可以求最小值的。同時(shí)與學(xué)生回顧用配方法求二次函數(shù)y=x2+4x+5的過(guò)程。然后啟發(fā)學(xué)生用配方法求出函數(shù)y=x+4x的最小值。

總之，如果學(xué)生在解題時(shí)思路受阻，教師要反思原因，在查漏補(bǔ)缺的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題、理清解題思路，更要善于反思和總結(jié)出一些普適性的順推和逆推規(guī)律。同時(shí)要善于化繁為簡(jiǎn)，多角度地作類(lèi)比聯(lián)想分析。這樣就能從根本上提高學(xué)生的解題能力及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫維剛.談全班55%學(xué)生怎樣考上清華北大，1999（9）.

[2]何運(yùn)法.解題思路受阻時(shí)的應(yīng)對(duì)策略，2005（6）.

作者簡(jiǎn)介：

陳立順，浙江省江山市，浙江省江山市城南中學(xué)。