基于相對熵的區間Pythagorean模糊多屬性AQM決策方法及其應用

李 娜， 高雷阜， 王 磊

(1.遼寧工程技術大學 基礎教學部，遼寧 葫蘆島 125105；2. 遼寧工程技術大學 理學院，遼寧 阜新 123000)

0 引言

多屬性決策(MADM)是指具有多個屬性的有限方案排序和選擇問題，其理論與方法在經濟、管理、工程和軍事等諸多領域具有廣泛的應用[1]。趙萌等[2]利用相對熵替代經典TOPSIS方法中距離，將其應用到MADM領域，Navarrete等[3]提出了一種AQM(Alternative queuing method)決策方法。由于受客觀環境的復雜性、決策者的專業水平以及知識結構等因素的影響，決策者難以給出精確的屬性值信息，往往用模糊數(FS)[4]，直覺模糊數(IFS)[5]或者區間直覺模糊數(IVIFS)[6]表示。IVIFS是對IFS的擴展，在模糊不確定信息的表達和處理方面更具有實用性。王堅強[7]給出了一種權系數信息不完全確定的區間直覺模糊決策方法，徐澤水[8]提出新的IVIFS的得分函數和精確函數，并應用到區間直覺模糊MADM領域，衛貴武[9]將經典的TOPSIS決策方法擴展到區間直覺模糊環境，高建偉等[10]基于前景理論給出了一種區間直覺模糊決策方法，邵良杉等[11]在區間直覺模糊信息下提出了雙向投影決策方法。

考慮到實際決策過程中，受到環境的復雜和人的認知等因素的影響，決策者可能給出方案滿足和不滿足一個屬性的程度之和大于1 的情況，例如：評價軟件開發項目，對于技術可行性這個屬性，決策者給出具有這個屬性的程度為0.5，而不具有這個屬性的程度可能為0.6，由于，直覺模糊數無法描述，但0.52+0.62=0.61<1為此，Yager提出了Pythagorean模糊集[12,13]其特點是隸屬度與非隸屬度之和可以大于1，但隸屬度與非隸屬的平方和小于等于1，可見Pythagorean模糊集是對直覺模糊集的一種擴展，因此，在處理模糊性和不確定性信息方面具有更強的表現能力。在Pythagorean模糊環境下，Zhang等[14]提出一種擴展的TOPSIS決策方法，Garg[15]提出了基于Einstein集結算子的MADM方法，Ren等[16]提出了Pythagorean模糊TODIM多屬性決策方法，Zhang[17]提出了Pythagorean模糊層次QUALIFLEX決策方法，劉衛鋒等[18]提出了一些廣義Pythagorean模糊信息集結算子(PFOWA算子、GPFOWA算子、PFOWG算子、GPFOWG算子)并將其應用到的MADM領域。正如IVIFN是對IFN的擴展，區間Pythagorean模糊數(IVPFN)是對Pythagorean模糊數的擴展。Peng等[19]提出了擴展的區間Pythagorean模糊ELECTRE決策方法，Liang等[20]利用偏差最大化方法確定屬性權重，并提出了基于區間Pythagorean模糊加權平均算子的決策方法。

以上文獻研究表明，區間Pythagorean模糊MADM問題研究還有待完善。鑒于此，本文研究屬性值為IVPFN，屬性權重不完全確定的MADM問題。將相對熵與IVPFN結合，給出一種新的與理想方案的相對滿意度，進而確定屬性權重。提出一種新的IVPFN得分函數，據此確定每一個屬性下方案間的優序關系及0-1優先關系矩陣，結合屬性權重和AQM (Alternative Queuing Method)方法計算各方案的綜合度，給出排序結果。最后，將此方法應用于軟件開發項目的選擇。

1 區間Pythagorean模糊數及相對熵

1.1 區間Pythagorean模糊數

1.2 相對熵

相對熵可以描述兩個系統的差別，設A,B為兩個系統，它們的狀態為xi和yi(i=1,2,…,l)，則兩個系統之間相對熵[21](Kullback-Leibler距離)為

M(A(xi),B(xi))

(1)

相對熵不滿足對稱性，它不是兩個系統間的真正距離。然而，將相對熵視為兩個系統間的距離可以解決TOPSIS法無法克服兩方案中垂線上點的排序問題[2]。在(1)式的基礎上，下面給出IVPFN的相對熵。

(2)

2 基于相對熵的區間Pythagorean模糊信息下AQM決策方法

2.1 決策問題描述

2.2 屬性權重的確定

實際決策過程中，往往屬性權重信息不完全已知。 借鑒TOPSIS思想，如果某個方案與正理想方案區別越小(或者與負理想方案區別越大)，則相應的權重就應該越大，反之則越小。由(2)式相對熵可視為兩者之間的距離，因此，依據方案與區間Pythagorean模糊正理想方案的相對熵越小相應權重越大的思想來確定屬性權重。

(3)

(4)

(5)

和

(6)

分別為方案Yi與Y+和Y-的加權相對熵。

H(Yi,Y+)反映了方案Yi與正理想方案Y+的差別，H(Yi,Y-)反映了方案Yi與負理想方案Y-的差別。由TOPSIS思想，某方案與正理想方案的相對熵越小，則該方案越優。記

(7)

為方案Yi的相對滿意度。

相對滿意度越大的方案應賦予越大的權重，反之亦然。為此，建立如下多目標優化模型

max (ξ1(ω),ξ2(ω),…,ξm(ω))

(8)

Ω為屬性權重信息不完全的數學表達式集合。根據多目標優化理論，模型(8)可轉化為如下單目標優化模型

(9)

模型(9)為有約束的非線性優化模型，由于目標函數的特點，傳統的混合懲罰函數法或可行方向法均很難獲得非劣解，可采用軟件Matlab 7.0或Lingo 9.0求解獲得權重。

2.3 區間Pythagorean模糊信息下的AQM決策方法

AQM方法是Navarrete等于1979年提出的一種決策方法，其核心思想是利用0-1優先關系矩陣給出方案的排序[22]。

在確定方案集{Y1,Y2,…,Ym}在每一屬性下的0-1優先關系矩陣前，需要給出任意方案Yi與Yj的序。猶豫度也是IVPFN的重要指標，已有的IVPFN的得分函數[19]沒有考慮猶豫度的影響，為此考慮猶豫度對排序的影響，提出一種新的IVPFN得分函數。

(10)

(11)

利用式(11)得分函數，可構造方案間的0-1優先關系矩陣D=(dij)m×m，如果Yi?Yj，那么dij=1，且dji=0；如果Yi≈Yj，那么dij=dji=1；如果Yi與Yj不能比較，那么dij=dji=0。 于是，區間Pythagorean模糊信息下AQM決策步驟如下：

步驟3依據式(2)至式(9)確定屬性權重ω=(ω1,ω2,…,ωn)T。

步驟4計算每一屬性下方案Yi優于Yj、Yj優于Yi以及Yi與Yj無差別的權重：

對于方案Yi與Yj，在第k(k=1,2,…,n)個屬性下，令(Yi?Yj)k表示方案Yi優于Yj，令(YiYj)k表示方案Yj優于Yi，令(Yi≈Yj)k表示方案Yi與Yj無差異。由下式計算方案Yi優于Yj的權重：

(12)

類似的方法可計算方案Yj優于Yi的權重ω(YiYj)和方案Yi與Yj無差異的權重ω(Yi≈Yj)。

步驟5計算所有方案對(Yi,Yj)的總體指示值

(13)

其中，σ表示Yi與Yj的重要度，且σ∈[0,1]。

步驟6給定閾值ε>1，計算方案{Y1,Y2,…,Ym}在所有屬性下的總序關系

(14)

由式(14)得到所有屬性下方案間的合成0-1優先關系矩陣D=(dij)m×m。

步驟7根據合成0-1優先關系矩陣D=(dij)m×m計算每個方案Yi(i=1,2,…,m)的綜合度

λi=ρi-θi

(15)

其中，ρi為D=(dij)m×m的第i行元素為1的個數，θi為第i行元素為0的個數。綜合度λi的值越大，方案Yi(i=1,2,…,m)越優，依據λi得到所有方案的排序，從而得到最佳方案。

3 實例分析

步驟1區間Pythagorean模糊決策矩陣如表1所示。

表1 區間Pythagorean模糊決策矩陣

表2 得分函數矩陣

步驟2利用式(11)計算得分函數矩陣，如表2所示。

根據表2計算屬性Gj下方案{Y1,Y2,…,Y5}間的0-1優先關系矩陣Dj=(dkl)5×5(j=1,2,…,4),結果如下：

步驟3利用表1的數據，構建形如式(9)模型，利用軟件Matlab 7.0求得屬性權重ω=(0.30,0.22,0.25,0.23)T。

步驟4利用式(12)計算方案Yi優于Yj的權重ω(Yi?Yj)，以及權重ω(YiYj)和ω(Yi≈Yj)，結果如表3所示：

表3 方案間的序及對應的權重

步驟5利用式(13)計算所有方案對(Yi,Yj)的總體指示值(取σ=0.5)，如表4所示：

表4 σ=0.5時的總體指示值

步驟6利用式(14)計算(取ε=1.11)所有方案間的合成0-1優先關系矩陣D=(dij)5×5。

步驟7根據式(15)計算每個方案的綜合度：λ1=5,λ2=-1,λ3=3,λ4=1,λ5=-3,由此可知，λ1>λ3>λ4>λ2>λ5,即方案排序結果為：Y1?Y3?Y4?Y2?Y5，表明電子郵件開發項目Y1為最佳選擇。

為了分析決策過程中參數重要度σ和閾值ε對決策結果的影響，分別取(σ,ε)=(0,1.1),(0.2,1.1),(0.4,1.4),(0.6,1.6),(0.8,1.8),(1.0,2.0),通過計算方案的綜合度，并將綜合度和排序結果列入表5，如表5所示。

表5 6種參數組合下各方案的綜合度和排序結果

由此可知：

(1)按照文獻[20]中的區間Pythagorean模糊加權平均算子(IVPF-WAA)，假設屬性權重為ω=(0.30,0.20,0.25,0.23)T，并利用得分函數得到排序結果：Y1?Y3?Y4?Y2?Y5, 與表5中當參數(σ,ε)=(0,1.1),(0.2,1.1),(0.4,1.4)時完全一致，說明本文的決策方法是合理可行的；

(2)按照文獻[19]中的ELECTRE方法,得到的排序結果：Y1?Y3?Y4?Y5?Y2，與本文的排序結果略有不同，但最佳選擇都是項目Y1。其原因，文獻[19]是在屬性權重信息完全未知情形下，利用距離測度構建偏差最大化模型求解權重，而本文是在屬性權重信息不完全已知情形下，利用相對熵測度構建相對滿意度最大化模型求解權重，同時也說明參數(σ,ε)的變化對決策結果具有重要影響。

4 結論

本文研究了屬性權重不完全確定的區間Pythagorean模糊多屬性決策問題，提出了IVPFN的相對熵、區間Pythagorean模糊正理想方案及區間Pythagorean模糊負理想方案的概念，依據方案與區間Pythagorean模糊正理想的相對熵越小權重越大的原則，建立了基于方案相對滿意度優化模型，以此獲得屬性權重；接著，提出了一種新的IVPFN得分函數，據此獲得了方案間的序關系以及每一個屬性下方案間的0-1優先關系矩陣，進一步，對經典AQM決策方法進行擴展得到方案間的合成0-1優先關系矩陣，依據方案的綜合度獲得了方案的排序結果。最后用實例說明了該方法的有效性和可行性。