線矢力各向同性分析與其在機構構型綜合中的應用

許允斗 郭金偉 王志峰 陳 陽 姚建濤 趙永生

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室， 秦皇島 066004； 2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室， 秦皇島 066004； 3.首都航天機械有限公司， 北京 100076)

0 引言

線矢力是指被約束在方向、位置固定的直線上的矢量[1]，它是力螺旋的一種特殊形式，在基于螺旋理論的少自由度并聯機構自由度分析[2-3]及構型綜合[4-6]中發揮了重要的作用，在六自由度并聯機構的奇異位形分析[7-9]及各向同性六自由度并聯機器人的設計[10]方面也有一定的應用。除此之外，尚無線矢力在并聯機構其他方面的應用研究報道。機構的承載能力也直接與線矢力相關，如3-PRRR三自由度移動并聯機構[11]3條支撐分支輸入運動副對動平臺施加的3個驅動線矢力(輸入運動副所產生的約束線矢力)之間的各向同性[12]決定了機構的承載性能(P為移動副，R為轉動副)。因此，線矢力的各向同性是其重要的性能指標。

然而，現有文獻對線矢力各向同性的研究較少，文獻[10,13-15]研究如何布置各測量分支使得并聯機構六維力傳感器達到力和力矩各向同性，該類型傳感器每個測量分支向測量平臺施加一個沿著分支軸線的約束線矢力，所以每個測量分支實際上相當于一個線矢力。除此之外，尚無其他對線矢力自身各向同性性能進行分析的報道。文獻[16-18]對三自由度移動并聯機構的構型綜合進行了研究，并已得到了很多新構型。但這些文獻的對象均為非冗余驅動三自由度移動并聯機構，即輸入運動副數目等于自由度數，目前對有冗余驅動三自由度移動并聯機構尚未見報道。然而，冗余驅動在承載能力的提高方面[19-21]起到了至關重要的作用，如國內外幾種典型的大型農業機械[22-23]均采用冗余驅動并聯機構以有效地提高其承載能力，所以冗余驅動三自由度移動并聯機構具有良好的應用前景。

此外，現有文獻綜合三自由度移動并聯機構時并未考慮機構的承載性能，即不考慮由各輸入運動副引起的驅動線矢力之間的幾何關系。因此，本文結合線矢力的各向同性分析，對冗余驅動三自由度移動并聯機構進行構型綜合時，先考慮各驅動線矢力的幾何關系，以得到承載能力各向同性的冗余驅動三自由度移動并聯機構。

1 線矢力各向同性分析

本文分析僅當線矢力相交于一點的情況。在交點處建立一個參考坐標系OXYZ，設相交于一點的n條線矢力在該坐標系的Plücker坐標為

(1)

式中 (ai,bi,ci)T——第i條線矢力的方向矢量

一般情況下，為滿足各向同性，各線矢力在空間應呈對稱分布，則可設n條線矢力均勻分布在一錐面上，如圖1所示。n條線矢力的Plücker坐標可寫為

(2)

其中

α=2π/n

式中θ——線矢力所在錐面的錐頂角的一半

α——各相鄰線矢力在水平面投影的夾角

由于各線矢力均通過坐標原點，線矩始終為零，故將其省略。

圖1 線矢力在空間上的分布Fig.1 Spatial distribution of line vector forces

將各線矢力的Plücker坐標寫成矩陣形式

(3)

為了使各線矢力滿足各向同性，則矩陣M的條件數應等于1，即矩陣M的最大奇異值和最小奇異值的比值為1。由矩陣分析理論可知，矩陣M的奇異值恰好等于MMT矩陣特征值的開方，MMT可表示為

(4)

經分析可知，該矩陣前(n-3)個特征值為零，故要求MMT矩陣的最后3個特征值相同，結合MMT特征矩陣的行列式，可以求得使MMT矩陣滿足最后3個特征值相同時錐頂角的一半θ為54.736°。比如，當線矢力數目為4時，即n=4，則α=π/4，故4個線矢力組成的矩陣為

(5)

此時該矩陣3個奇異值均為1.154 7，故4條線矢力滿足各向同性，如圖2所示。

圖2 4條線矢力滿足各向同性時的分布Fig.2 Distribution of four isotropic line vector forces

當線矢力分布在一平面內時，此時是空間情況的一種特殊情形，即當圓錐頂點在底面時，則圓錐上均勻分布的線矢力處于一平面內，此時它們也滿足各向同性條件。如空間線矢力數目為4時，投影到平面恰好為分布在兩條坐標軸上的4條線矢力，顯然滿足各向同性條件。

2 冗余驅動三自由度移動并聯機構構型綜合

2.1 基于螺旋理論的約束綜合法基礎

根據反螺旋理論[1]可知，支鏈末端施加給動平臺的結構約束力螺旋，與該支鏈的所有運動副的運動螺旋互易。機構末端約束力螺旋系為所有支鏈結構約束力螺旋組成的螺旋系，該約束力螺旋系決定機構的自由度。由文獻[4-6,24]可知，并聯機構型綜合過程為首先根據機構要求的末端運動螺旋系求出其末端約束力螺旋系，然后構造支鏈約束力螺旋系，求出支鏈運動螺旋系構造支鏈機械結構，最后配置這些支鏈機械結構形成符合要求的并聯機構。

2.2 基于螺旋理論的約束綜合法冗余驅動三自由度移動并聯機構構型綜合

關于少自由度并聯機構構型綜合的研究，一般情況下當得到并聯機構構型后，需添加驅動副，并判斷所添加驅動副是否合理[25-26]。為了得到滿足預期承載能力要求的機構，本文先考慮驅動副的類型與布置。此時，就需要考慮各驅動副產生的驅動力螺旋的幾何關系，還需考慮驅動力螺旋與約束力螺旋之間的關系。驅動力螺旋是指支鏈的驅動運動副施加給動平臺的力螺旋，它與該支鏈中除驅動副外其他所有運動副互易。

這里只構造冗余驅動數目為1的對稱冗余驅動三自由度移動并聯機構，即驅動副數目為4，4個驅動副對稱分布在4條支鏈中。則每個分支施加給動平臺的約束力螺旋可以是1、2或3個約束力偶，驅動副施加給動平臺的驅動力螺旋是一個線矢力，這里將結合前面得到的線矢力各向同性條件使4條支鏈施加給動平臺的4個驅動線矢力達到各向同性，即構造各向同性冗余驅動三自由度移動并聯機構。

首先根據支鏈施加動平臺的約束力偶和驅動線矢力構造支鏈除驅動副外的其他運動副組成的運動鏈，該運動鏈的運動螺旋系與分支約束力偶和驅動線矢力均互易；然后構造與約束力偶互易且與驅動線矢力不互易的驅動副。

表1滿足支鏈約束力偶和驅動線矢力要求的典型運動鏈
Tab.1Typicalkinematicchainssatisfiedexpectedrequirementofconstraintcouplesandactuationforce

圖3 典型各向同性冗余驅動三自由度移動并聯機構構型(1)Fig.3 Typical isotropic redundantly actuated 3-DOF translational parallel mechanisms(1)

圖4 典型各向同性冗余驅動三自由度移動并聯機構構型(2)Fig.4 Typical isotropic redundantly actuated 3-DOF translational parallel mechanisms(2)

3 冗余驅動三自由度移動并聯機構承載能力分析

(6)

圖機構的結構簡圖Fig.5 Structural diagram of PM

設動平臺中心O在參考坐標系VXYZ坐標為(x,y,z)T，各支與動平臺連接點bi(i=1,2,3,4)在參考坐標系VXYZ下坐標分別為

(7)

設各支鏈與定平臺的連接點為ai，由于支鏈自身的結構約束，可知ai與bi坐標在各自支鏈移動副軸線ri上的投影相等，則可得到ai坐標在ri上的投影值為

(8)

令各支鏈驅動P副的輸入為qi，則可得

(9)

式中a0——初始位置各支鏈連接定平臺的鉸鏈點沿P副軸線的位移

對式(9)兩邊求時間的導數，可得輸入速度與動平臺速度之間的關系為

(10)

式中J——將動平臺速度映射到輸入速度的速度雅可比矩陣

由虛功原理[27]可得外力與各支鏈驅動力之間的關系為

(11)

式中F——外力

τi——支鏈i提供的驅動力

假設各驅動副的承載能力極限值均為τmax，則可求得該機構在X、Y和Z主方向的承載能力極限值均為2.309 4τmax[28]，而且JT是一個常數陣，表明該機構在運動過程中始終是滿足承載能力各向同性的。由此表明，在構型綜合時考慮了驅動線矢力的各向同性，綜合得到的機構也是滿足承載能力各向同性的。因此，也一定程度上驗證了關于線矢力各向同性的分析以及對冗余驅動三自由度移動并聯機構的綜合理論是正確的。

4 線矢力各向同性在其他并聯機構構型綜合的應用分析

5 結論

(1)對線矢力各向同性的條件進行了深入分析，得出當線矢力均勻分布在錐頂角為109.472°的錐面上時，恒滿足各向同性條件。

(2)先考慮4條支鏈驅動副產生的驅動線矢力的布置，即使其滿足各向同性，得到了數種典型的各向同性冗余驅動三自由度移動并聯機構，這些并聯機構的力雅可比矩陣為常數陣，機構運動過程中在各個主方向的承載能力一致。

(3)提出的構型綜合方法先考慮了驅動副的布置，不但可使機構滿足給定的任務要求，而且不必再選擇機構的輸入運動副，更不涉及輸入運動副選擇合理性的判斷，為并聯機構構型綜合提供了一種新的嘗試。