基于彈性摩擦模型的機器人免力矩傳感器拖動示教方法

張 鐵 洪景東 劉曉剛

(1.華南理工大學機械與汽車工程學院， 廣州 510641; 2.桂林航天工業學院廣西高校機器人與焊接重點實驗室， 桂林 541004)

0 引言

目前，工業機器人一般采用示教器進行示教，通過編程的方法規劃復雜的運動軌跡。為了縮短機器人示教時間并實現其定位和復雜軌跡的生成，可以采用手動引導機器人運動的方式，即拖動示教。拖動示教對于操作者來說，機器人的使用將變得更為方便，也可以輕松避開環境障礙。工業機器人的拖動示教通常使用力傳感器來實現，然而傳感器價格昂貴，在工業應用中推廣存在困難，所以在免力矩傳感器下實現拖動示教是優選方法。

基于機器人動力學模型和運動狀態估計機器人關節所受的外力是實現拖動示教的一種常用方法，其中最簡單的方法就是將模型計算得到的理論力矩和機器人返回的實際力矩進行求差得到外力的估計值[1]。文獻[2-3]則采用基于機器人廣義動量的干擾觀測器，在沒有使用關節加速度的情況下估計關節外力。文獻[4]提出一種將動力學方程和遞歸最小二乘法相結合的外力估計方法，并與基于廣義動量的估計方法進行比較。

免力矩傳感器拖動示教的難點在于對關節摩擦的準確辨識，特別是關節在低速運動和靜止狀態下的關節摩擦力。當機器人處于高速運動時，由于關節摩擦的非線性較低，一般采用庫倫+粘性摩擦的靜態模型進行建模[5]。當關節處于低速狀態時，摩擦環節的非線性變得突出，并對機器人的運動控制帶來較大的影響[6-7]，其中包括由于摩擦形式的轉變而導致的Stribeck效應[8]。庫倫+粘性摩擦模型未考慮到Stribeck效應，且在角速度為零時存在不連續性，不適用于關節在低速和靜止狀態下的關節摩擦辨識。Leuven模型[9]和GMS模型[10-11]既考慮到Stribeck效應，又考慮了關節在靜止狀態下的預滑動位移和摩擦記憶等特性，是兩個全面、精細的模型。但由于模型結構復雜且參數較多，具有很高的辨識難度。文獻[12]采用一種彈性摩擦模型，該模型既能簡單描述關節的動態摩擦現象，又極大地減少了需要辨識的模型參數。

除了關節摩擦的非線性外，關節內部的傳動機構等也會給關節的運動引入更加復雜的摩擦[13]。關節內部的減速器機構、軸承、輸入和輸出軸等都存在摩擦，既有粘性摩擦，又存在干性摩擦，這使得關節在靜止狀態下的摩擦變得更加復雜，導致在拖動示教中，操作者往往需要更大的外力才能由靜止狀態起動關節[14]。為了解決關節在起動階段的困難，文獻[14]對彈性摩擦模型進行修改，采用變參數的方法調整拖動示教在運動和靜止狀態下的控制效果。文獻[15]則通過在摩擦模型中引入振動，利用關節微小的高頻振動減弱關節摩擦的非線性，但振動會對關節引入不穩定性，加快零件磨損。

本文通過在彈性摩擦模型中引入Stribeck摩擦項，提出一種結合彈性摩擦模型的起動規劃方法，利用彈性模型的內在變量判斷關節在靜止狀態下的起動意向，并通過短暫增加對摩擦力的估計值，以增加關節的驅動力矩，使關節可以輕松起動。

1 機器人拖動示教控制方案

為實現免力矩傳感器下的拖動示教，需根據機器人的動力學模型和運動狀態，估計操作者施加在機器人上的關節外力，并將估計的外力轉換為機器人的運動指令。本節采用基于廣義動量的外力估計[2-3]方法，在缺少關節角加速度信息下進行外力估計。使用導納控制方案生成運動指令，并推導了離散狀態下的關節目標位置的更新方程。

1.1 基于廣義動量的外力估計

采用基于廣義動量的外力估計方法，利用機器人的動力學模型和運動狀態，對操作者施加在機器人上的外力進行估計。機器人動力學模型為[4]

(1)

式中q——關節轉角向量

M(q)——慣量矩陣

G(q)——重力項τf——摩擦項

τ——電機輸出力矩

τext——外力矩向量

動力學模型滿足

(2)

通過定義機器人的廣義動量

(3)

結合式(1)、(2)，對式(3)進行求導可得

(4)

建立對p的觀測量，其定義為

(5)

其中

r=K(p-)

(6)

式中r——殘差量K——比例系數

其中上標代表相應變量的觀測值和估計值。由于關節摩擦力的辨識較為重要和困難，本文采用基于彈性摩擦模型的方法得到f，具體將在第3節進行討論，而其他動力項的估計值可參照文獻[5]。假設估計量與實際值相比沒有誤差，結合式(4)、(5)對式(6)進行求導可得

(7)

將式(7)進行拉普拉斯變換可得

(8)

可見R以一階系統的形式對Γext進行跟蹤，在穩態時，有R(0)=Γext(0)，因此可以使用r作為外力矩τext的估計值，即

ext=r

(9)

1.2 機器人導納控制方法

阻抗控制(Impedance control)和導納控制(Admittance control)被廣泛應用于機器人的力控制算法中。在應用中，阻抗控制通過調整電機力矩響應實現阻抗功能，而導納控制則是基于位置規劃實現[16]。相比于阻抗控制，導納控制穩定性高，但靈敏度較低[17]。本節通過導納控制，將關節的估計外力轉換為關節的運動目標指令，并推導離散空間下的更新方程。

在機器人關節空間，完整的阻抗控制可表示為

(10)

式中Kd——系統剛度

Dd——系統阻尼

Md——系統質量

qd——機器人運動的目標關節角

qr——規劃的參考軌跡

(11)

將機器人的導納算法進行離散化，且滿足前提條件

(12)

式中Ts——時間周期

由式(12)可以得到目標軌跡在離散系統下的更新方程為

(13)

將得到的目標跟蹤軌跡qd發送到機器人的伺服驅動器，驅動機器人關節跟蹤目標軌跡，由此實現免力矩傳感器的拖動示教。

2 基于彈性摩擦模型的關節摩擦估計

在第1節的外力估計方法中，外力估計的精度很大程度取決于機器人動力學模型和參數的準確性，其中對關節摩擦力的辨識尤為重要。當關節處于低速狀態時，由于Stribeck效應的影響，關節的摩擦力會顯著上升，這種效應需要在摩擦模型中得到體現。而當關節處于靜止狀態時，關節的微小轉動便可產生較大的摩擦力，即靜態摩擦力，同時伴隨有預滑動滯后等現象[19]。為了能夠辨識出關節在靜止狀態下的摩擦力，本節采用彈性摩擦模型對關節摩擦力進行估計，同時在摩擦模型中引入Stribeck摩擦項，以提高模型在低速運動下的摩擦估計精度。

彈性摩擦模型的示意圖如圖1所示。彈性摩擦模型定義了一個彈性摩擦單元，該單元與關節臂存在彈性連接關系，其剛度為Kc。彈性摩擦單元位置為qc，關節臂位置為q，彈性摩擦單元產生的干性摩擦力為τfc。由于彈性摩擦單元沒有質量，所以在力學上滿足

τfc=(q-qc)Kc

(14)

干性摩擦力τfc具有上下限，定義為τfc∈[-Fc,Fc]，其中Fc相當于關節在轉動狀態下的庫倫摩擦力。當關節處于運動狀態時，τfc恒為Fc。同理，q-qc也相應地有上下限的約束。

圖1 彈性摩擦模型示意圖Fig.1 Schematic of elastic friction model

彈性摩擦模型的摩擦單元在離散狀態下的更新方程為[12]

(15)

其中

(16)

式中α定義了一個收斂速度，表示彈性摩擦元件會自行向關節位置靠攏。Fc、Kc和α共同定義了關節的彈性摩擦模型，簡單地描述了關節的摩擦特性。

通過差分運算可以得到彈性摩擦單元的運動速度為

(17)

(18)

式中Fcc——不考慮Stribeck效應時的庫倫摩擦力

Fcs——關節存在的最大靜摩擦力

Vs——Stribeck速度

γ——經驗參數，用于控制曲線的形狀

式(18)描述了關節的庫倫摩擦力，而對于關節的粘性摩擦力τfs描述為

(19)

式中fs——粘性摩擦系數

由于關節摩擦力等于干性摩擦力和粘性摩擦力之和，故有

F=τfc+τfs

(20)

3 關節摩擦估計的起動規劃

彈性摩擦模型可以對關節在靜止狀態下的摩擦力進行簡單估計，但仍無法描述其他更復雜的非線性特性，如關節在預滑動位移階段的滯回現象等，同時由于關節傳動機構間的擠壓和摩擦等會引入更加復雜的摩擦力，使得關節在靜止狀態下的拖動示教變得異常困難[14-15]，操作者往往需要施以更大的外力才能使關節成功脫離靜止狀態。

為了實現機器人的輕松拖動，本節對關節的起動過程進行規劃。利用彈性摩擦模型的內部變量，判斷關節在靜止階段是否有起動的意向。當檢測到關節的起動意向時，短暫并大幅地增加摩擦估計值。起動規劃算法如圖2所示。

圖2 機器人起動規劃算法Fig.2 Robotic starting planning scheme

起動規劃算法基本流程為：①根據式(14)～(20)計算彈性摩擦模型的摩擦估計值，定義為F。返回彈性模型中摩擦單元的位置qc，并與關節實際位置q做差得到Δqc。②更新Δqth，當關節處于靜止狀態，即時，Δqth不斷下降直到其下限值否則Δqth上升直到其上限值③比較Δqth和|Δqc|的值，當|Δqc|>Δqth時表示關節處于起動階段，此時摩擦估計補償值Δτf為kτFcsign(Δqc(k))，否則為零。④將彈性摩擦估計值F和摩擦估計補償值Δτf求和得到規劃后的關節摩擦估計值f，由此完成對關節摩擦力的估計。

圖3 機器人拖動示教控制方案Fig.3 Robotic dragging teaching control scheme

圖4 機器人實驗平臺Fig.4 Robotic experimental platform

4 免力矩傳感器的機器人拖動示教實驗

4.1 機器人實驗平臺

使用廣州數控RB08型機器人進行拖動示教實驗，系統結構如圖4所示。使用裝載實時控制系統的工控機作為上位機，并采用EtherCat協議進行通信。驅動器的位置參考由上位機計算并發送，電機關節的力矩測量值采用電流控制器的參考值?？刂葡到y以1 000 Hz的頻率進行通訊和控制，即控制周期Ts為1 ms。由機器人的前3個關節進行拖動示教實驗。

4.2 機器人動力學模型

4.2.1關節Stribeck摩擦參數辨識

表1 Stribeck摩擦模型參數Tab.1 Parameters of Stribeck friction model

4.2.2其他動力學參數辨識

機器人的其他動力項參數，如重力、離心力和科氏力等，由于存在耦合現象，只能得到一組最少參數集，且動力學方程一般寫成線性結構[5]

(21)

式中?！P節計算力矩

Hb——與機器人運動狀態相關的矩陣

β——動力學最少參數集

圖5 Stribeck模型擬合曲線Fig.5 Fitting curves of Stribeck model

表2 非摩擦項動力學參數Tab.2 Dynamics parameter set of non-friction term kg·m2

圖6 關節1拖動實驗(采用起動規劃)Fig.6 Drag experiment of joint 1 (using starting planning)

通過辨識到的機器人參數和機器人運動狀態，便可計算出機器人各動力項的估計值，如、f等，通過基于廣義動量的外力估計方法，根據式(1)～(9)便可求得外力估計值ext，其中式(7)中參數K的值在3個關節的實驗中都設為600。

4.2.3機器人拖動實驗

使用彈性摩擦模型和起動規劃算法進行機器人的關節起動實驗，機器人前3個關節的參數設置如表3所示。為提高運動的穩定性，Kc的設定值都小于實測的摩擦剛度，這使得當關節在低速運動時容易自行減速到靜止狀態。按照起動規劃算法，前3個關節的起動拖動實驗如圖6～8所示。只采用式(20)的輸出F作為關節摩擦的估計結果時，其實驗結果如圖9～11所示。對比相同關節在兩次實驗中的結果，關節在起動的瞬間，使用規劃算法產生了較大的估計力矩ext。圖6c在起動過程中產生了31.09 N·m的估計力矩，而圖9c最高為2.521 N·m。圖8c起動階段產生最大力矩為26.05 N·m，而圖11c為5.881 N·m。在使用起動規劃算法時，關節的Δqc在短時間內便可快速上升到最大值。圖6b中Δqc從0上升到最大值需要的時間為47 ms，而在圖9b則需要161 ms，相比減少70.81%。圖8b中，關節起動所需時間為66 ms，而圖11b則需要263 ms，相比減少74.90%。

表3 起動規劃算法參數Tab.3 Parameter of starting planning

圖7 關節2拖動實驗(采用起動規劃)Fig.7 Drag experiment of joint 2 (using starting planning)

圖8 關節3拖動實驗(采用起動規劃)Fig.8 Drag experiment of joint 3 (using starting planning)

圖9 關節1拖動實驗(未采用起動規劃)Fig.9 Drag experiment of joint 1 (without using starting planning)

圖10 關節2拖動實驗(未采用起動規劃)Fig.10 Drag experiment of joint 2 (without using starting planning)

圖11 關節3拖動實驗(未采用起動規劃)Fig.11 Drag experiment of joint 3 (without using starting planning)

圖12 關節3的抗干擾實驗Fig.12 Anti-interference experiment of joint 3

由于本文是在機器人關節空間上實施導納控制，且施力點在最后1個關節末端上，這使得操作者需要通過關節3間接對關節2進行施力拖動，導致關節2拖動效果并沒有關節1和關節3好。基于機器人笛卡爾空間進行導納控制的示教方法可以有效解決這個問題。

起動規劃算法生成的摩擦估計補償是十分短暫的，需要操作者在關節起動階段不斷施加外力才能使得關節進入較高速度的運動狀態，否則關節容易減速并回到靜止狀態。這個特性使得關節在起動階段具有一定的抗干擾能力。通過對機器人關節3進行連續3次輕敲，實驗結果如圖12所示?？梢园l現，雖然在關節起動階段產生了大幅的外力估計值，但由于沒有持續的外力，關節最終收斂回靜止狀態。

5 結論

(1)基于廣義動量的外力估計和導納控制算法，在免力矩傳感器的條件下實現對工業機器人的拖動示教。使用彈性摩擦模型對關節的摩擦值進行估計，通過在彈性摩擦模型中引入Stribeck摩擦項，提高關節在低速時的摩擦估計精度，實現關節在低速和靜止狀態下的關節摩擦估計。

(2)提出了一種機器人起動規劃方法，結合彈性摩擦模型的內在變量，對關節的起動意向進行判斷并增加關節的摩擦估計值，實現關節的輕松起動。起動規劃算法不會對機器人的其他運動階段造成影響。

(3)實驗表明，采用起動規劃可以有效增加關節的外力估計值，規劃后外力估計力矩可達26 N·m以上。使用規劃算法可以縮短關節起動的時間，其中關節1減少70.81%，關節3減少74.90%。同時，機器人的拖動示教方案使得關節在起動階段具有一定的抗干擾能力。