一種運動部分解耦的2R2T并聯(lián)機構運動學與性能分析

葉 偉 李秦川 張克濤

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.倫敦瑪麗女王大學工程與材料學院， 倫敦 E1 4NS)

0 引言

相比于六自由度并聯(lián)機構，少自由度并聯(lián)機構具有工作空間大、制造成本低、控制簡單等優(yōu)點，因此得到了廣泛的研究[1-8]。能輸出兩轉動兩移動(Two rotations and two translations, 2R2T)運動的并聯(lián)機構可用于農(nóng)業(yè)振動篩[9]、外科手術[10]或者配合移動工作臺形成五軸機床[11]。學者們提出了各種方法進行2R2T并聯(lián)機構的構型綜合，包括約束綜合方法[12]，構型演變和李群理論的方法[13-14]，基于GF集理論的方法[15]和運動等效鏈的方法[16]。

大多數(shù)情況下，并聯(lián)機構的運動具有耦合性，即每個自由度方向的運動都需要所有的主動關節(jié)配合驅動，這使得機構運動學模型復雜、難于控制。為解決這個問題，具有運動解耦特點的并聯(lián)機構被廣泛研究。GOGU[17-18]采用線性變換的方法研究了多類運動解耦并聯(lián)機構的綜合。SHARIFZADEH等[19]研究了運動解耦三平動并聯(lián)機構的動力學建模。ZENG等[20]采用螺旋理論的方法，開展了運動解耦并聯(lián)機構的研究。張彥斌等[21]采用螺旋理論，提出了運動解耦2R2T并聯(lián)機構結構綜合的新方法。沈惠平等[22]提出了一類新型位置-姿態(tài)運動解耦的并聯(lián)機構。

目前，運動解耦的2R2T并聯(lián)機構實用構型仍然較少，關于這類機構的運動學及性能分析鮮有報道。本文提出一種運動部分解耦的新型2R2T并聯(lián)機構，采用李群理論分析其自由度，并開展運動學性能相關分析，為其實際應用提供理論基礎。

1 機構簡介與自由度分析

如圖1、2所示，本文提出并聯(lián)機構的動平臺通過4條分支與基座相連。其中，分支2是PRU鏈(P為移動副，R為轉動副，U為虎克鉸)，分支3是PSS鏈(S為球副)，分支1、4可視作共用末端虎克鉸的兩個PRU鏈。機構中所有移動副軸線平行。分支1、2、4處于同一平面，其中所有轉動副軸線平行于虎克鉸的第一轉動軸線，且垂直于移動副軸線。機構中兩個虎克鉸與動平臺連接的轉動軸線重合。

記分支1、2、4中轉動副中心點為A1、A2、A4，虎克鉸中心點為B1、B2，記分支3內與移動副相鄰的球副中心點為A3，與動平臺相鄰的球副中心點為B3。點A1、A2、A3在水平面的投影形成等腰三角形C1C2C3，其中l(wèi)C1C3=lC2C3，C1C2長度為2a，C3到線段C1C2的垂直距離為a。動平臺B1B2B3也為等腰三角形，lB1B3=lB2B3，B1B2長度為b，B3到線段B1B2的垂直距離為b/2。在基座水平面上建立定坐標系oxyz，其中原點o位于C1C2中點，x軸指向點C2，y軸指向點C3，z軸垂直于水平面向上。在動平臺上建立動坐標系puvw，其中原點p與B1點重合，u軸指向點B2，v軸位于動平臺平面且垂直于B1B2，w軸由右手定則決定。

圖1 并聯(lián)機構簡圖Fig.1 Diagram of parallel manipulator

圖2 并聯(lián)機構三維模型Fig.2 3D model of parallel manipulator

采用李群理論[2]分析機構的自由度，注意到分支1和分支4在B1點共用虎克鉸，桿A1B1和A4B1通過復合轉動副連接到虎克鉸的第一轉軸，因此分支1和分支4形成一個局部的PRR-PRR平面閉環(huán)。將分支1和分支4整體考慮，其到動平臺的運動可表示為

L14=({T(z)}{R(A1,y)}{R(B1,y)}∩
{T(z)}{R(A4,y)}{R(B1,y)})∪{R(B1,u)}=
({G(y)}∩{G(y)})∪{R(B1,u)}=
{G(y)}{R(B1,u)}

(1)

式中L14——分支1和分支4整體到動平臺的運動集

{T(z)}——沿z軸方向的移動運動群

{R(A1,y)}——軸線過點A1且平行于向量y的轉動運動群

{G(y)}——垂直于向量y的平面運動群

其余符號類同。

同理，分支2的運動集L2可表示為

L2={T(z)}{R(A2,y)}{R(B2,y)}{R(B2,u)}=
{G(y)}{R(B2,u)}

(2)

因點B1、B2同在u軸上，{R(B1,u)}={R(B2,u)}，故

L2={G(y)}{R(B2,u)}={G(y)}{R(B1,u)}

(3)

由于分支3具有6自由度，其運動集L3是六維李群，可表示為

L3={D}

(4)

根據(jù)李群理論，動平臺的運動是分支運動集的交集，可得

{M}=L14∩L2∩L3=
{G(y)}{R(B1,u)}∩{G(y)}{R(B1,u)}∩{D}=
{G(y)}{R(B1,u)}

(5)

式中 {M}——動平臺運動集式(5)表明，該并聯(lián)機構具有4個自由度，分別是垂直于y軸的2個移動自由度、軸線平行于y軸的轉動自由度和繞u軸的轉動自由度。由于李群描述的是連續(xù)運動，該機構的4個自由度也是連續(xù)的。

在剛化4個移動副(即將對應的運動群移除)之后，仍采用上面的分析步驟可以發(fā)現(xiàn)機構的自由度為零，這說明了4個移動副可作為驅動關節(jié)完全控制動平臺的運動。

該并聯(lián)機構可應用于五軸機床或運動模擬器的開發(fā)。圖3給出了一種五軸機床案例，將主軸頭固定在動平臺上，在基座上配置一個移動工作臺，則刀具與工件可形成五自由度相對運動，可實現(xiàn)任意曲面的五軸加工。該機床的一個顯著優(yōu)點是驅動都是與機架相連的移動副，驅動電機無需跟隨機器運動，可獲得很好的動態(tài)特性。

圖3 五軸機床Fig.3 Five axis machine1.主軸頭 2.工件 3.移動工作臺

2 位置分析

位置分析目的在于建立動平臺位姿輸出參數(shù)與驅動關節(jié)輸入?yún)?shù)間的關系。本文提出的機構中，驅動關節(jié)為各分支中的移動副。由于點o和點p始終在xoz平面內，動坐標系可視為將定坐標系沿向量p=(x，0，z)T平移，再繞y軸轉動角度α，最后繞x軸轉動角度β得來。動平臺的位姿參數(shù)可由兩個位置參數(shù)x、z和兩個姿態(tài)參數(shù)α、β表示。

顯然，當分支1和分支4中移動副位置參數(shù)給定后，點B1位置就已確定，即輸出參數(shù)x和z的值完全由分支1和分支4的輸入?yún)?shù)決定。因此，該機構具有運動部分解耦的特點。

令di(i=1, 2, 3, 4)表示分支i中移動副的位移。根據(jù)前述幾何關系，點Ai在定坐標系中的位置矢量為

(6)

式中d——C1C4的長度

點Bi在動坐標系下的位置矢量為

(7)

式中，上標p表示參考坐標系是動坐標系。

點Bi在定坐標系中的位置矢量為

(8)

其中

(9)

式中R——姿態(tài)變換矩陣

將式(7)代入式(8)，可得

(10)

觀察分支結構，可得約束方程

(11)

式中l(wèi)——連桿AiBi長度

將式(6)、(10)代入式(11)，可得

f1:(x+a)2+(z+d1)2=l2

(12)

f2:(x+bcosα-a)2+(z-bsinα+d2)2=l2

(13)

(14)

f4:(x+a)2+(z-d4+d)2=l2

(15)

位置逆解是在給定動平臺輸出參數(shù)x、z、α、β的條件下，求解驅動關節(jié)輸入?yún)?shù)di(i=1, 2, 3, 4)。根據(jù)式(12)～(15)，可得位置逆解的表達式為

(16)

式中“±”表明每條分支存在兩種反解情況，對應圖1中裝配方式，式中均取“-”號。

位置正解是給定各驅動輸入?yún)?shù)di，求解動平臺輸出參數(shù)x、z、α、β，可按以下步驟進行：

(1)首先，令式(15)減去式(12)，可得到z的解析表達式為

(17)

(2)在z確定之后，通過式(12)可得

(18)

由式(18)可知，在給定d1和d4后，x有兩種情況。在圖1所示的裝配條件下，“±”應取正號。為表達簡單起見，z的具體表達式并未代入式(18)中。

可知，x和z的表達式中僅含輸入變量d1和d4后，證明了輸出參數(shù)x和z的值完全由分支1和分支4的輸入?yún)?shù)決定。

(3)在得到x和z的表達式后，可通過式(13)解出α。將式(13)展開，可得

(19)

(20)

其中

通過式(20)可得

(21)

則α表達式為

α=2arctant1

(22)

分析可知，α僅和輸入?yún)?shù)d1、d2、d4有關。在x和z確定后，對應某一給定的d2，α有兩種可能，分別對應兩種不同的裝配方式。

β=2arctant2

(23)

可知，β和所有的4個輸入?yún)?shù)都有關。在x、z和α確定后，對應某一給定的d3，β同樣有兩種可能。因此，在給定的一組輸入?yún)?shù)d1、d2、d3和d4后，動平臺的位置正解共有8種可能情況，可結合機構的初始裝配條件確定正確的位置正解。通過以上分析發(fā)現(xiàn)，該機構的位置正解可得到解析的表達式，是一個顯著的優(yōu)點。

需要注意的是，在機構的實際應用中，操作端如刀具等可能不便于安裝在本節(jié)所建立的動坐標系原點p(B1)處，但可將刀具安裝在點B1和B2連線上，這樣刀具在y方向上位置仍保持為0。如果刀具安裝在動平臺上的一般位置，則刀具在y方向上將會產(chǎn)生伴隨運動，與輸出參數(shù)x、z、α、β線性相關。無論刀具安裝于何位置，由于動平臺參數(shù)x、z、α、β具有解析的表達式，刀具的位置和姿態(tài)參數(shù)也都可方便地得到。

為驗證位置正反解模型的正確性，給定機構參數(shù)a=160 mm，b=140 mm，桿AiBi長度l=200 mm，d=500 mm。給定一組輸入?yún)?shù)d1=144.64 mm,d2=122.08 mm,d3=105.16 mm,d4=144.64 mm。根據(jù)上述位置正解步驟，可得動平臺輸出參數(shù)如表1所示。

表1 位置正解數(shù)據(jù)Tab.1 Direct position results

表1僅列出了正解中的4組實數(shù)解。取正解的第1組數(shù)據(jù)，代入式(16)中，可得到4個輸入?yún)?shù)的16組逆解結果。其中存在一組數(shù)據(jù)為d1=144.64 mm,d2=122.08 mm,d3=105.16 mm,d4=144.64 mm，與正解數(shù)值計算中給定的4個輸入值一致，驗證了位置正反解的正確性。

3 速度與奇異分析

并聯(lián)機構的奇異位形會帶來機構失控等嚴重后果，應予以分析。速度方程是奇異分析的基礎。對方程(12)～(15)求導，可得機構的速度方程，整理得

(24)

其中

圖5 正解奇異Fig.5 Direct kinematic singularity

式(24)進一步證明了機構在x和z方向的移動自由度僅由分支1和分支4控制，機構具有運動部分解耦的特點。

根據(jù)文獻[23]中的分類方法，可按照雅可比矩陣行列式值的情況，將奇異分為逆解奇異、正解奇異和混合奇異。

(1)逆解奇異

當det(JA)=0且det(JB)≠0時，機構發(fā)生逆解奇異。分析可知，僅當某條分支中桿AiBi垂直于所在分支中移動副軸線時，滿足逆解奇異條件。機構的一種逆解奇異位形如圖4所示。此時，動平臺的自由度瞬時減少。

圖4 逆解奇異Fig.4 Inverse kinematic singularity

(2)正解奇異

當det(JB)=0且det(JA)≠0時，機構發(fā)生正解奇異。分析可知，存在兩種正解奇異情況。

情況1：點A2、B2、B1共線。此時，動平臺繞y軸方向的轉動不受控制。圖5a給出了一種對應的正解奇異位形。

情況2：線A3B3與線B1B2相交。此時，機構繞u軸的轉動不受控制。圖5c給出了一種對應的正解奇異位形。

在位置分析部分給定機構參數(shù)情況下，令z=-250 mm，根據(jù)det(JB)=0，可繪制工作空間內的正解奇異曲面，其中，正解奇異情況1、2分別對應兩個空間曲面，如圖5b所示。

(3)組合奇異

當det(JA)=0且det(JB)=0時，機構發(fā)生混合奇異。圖6給出了其中一種情況。

圖6 組合奇異Fig.6 Combined singularity

4 工作空間

工作空間衡量的是機構末端在各自由度方向的運動能力。由于內部多分支的約束，并聯(lián)機構工作空間通常較小。本文機構的工作空間受關節(jié)運動范圍限制，機構尺度參數(shù)于正解奇異部分給定。限定移動副行程為0 mm≤di≤250 mm，球副轉動范圍限制在50°的錐體內。由于機構驅動關節(jié)均為沿z軸方向的移動副，令z=-250 mm，可得機構的三維工作空間如圖7所示。

圖7 工作空間Fig.7 Workspace

圖8 機構二維工作空間與奇異曲線Fig.8 Two-dimensional workspace and singular curves

需要注意的是，正解奇異可能存在工作空間內部，將工作空間分割成若干部分。為方便觀察，令x分別取-140、-70、0 mm，繪制α和β參數(shù)的二維工作空間和奇異曲線，如圖8所示。可以發(fā)現(xiàn)，機構的正解奇異分布在工作空間邊緣部分，幾乎不影響機構的轉動能力；機構的無奇異轉動空間很大，中間位置(圖8b)兩個方向的轉角范圍分別可達-44°～60°和-35°～52°。

5 性能分析

并聯(lián)機構的運動學性能分析是為了研究機構在工作空間內是否具有良好的操作性能，是機構尺度優(yōu)化設計的基礎。并聯(lián)機構的運動學性能主要包括基于雅可比矩陣的條件數(shù)指標[24]和基于螺旋理論的運動/力傳遞指標[25-26]。由于本文機構具有移動和轉動混合自由度，使用條件數(shù)指標存在量綱不統(tǒng)一、物理意義不清晰的問題[27]，因此，采用運動/力傳遞指標對機構進行性能分析。

5.1 局部傳遞指標

運動/力傳遞方法中分別定義輸入傳遞指標、輸出傳遞指標和局部傳遞指標為

(25)

(26)

Γ=min{λi,ηi} (i=1,2,…,n)

(27)

式中λi——分支i的輸入傳遞指標

ηi——分支i的輸出傳遞指標

Γ——局部傳遞指標

$Ai——分支i的輸入運動螺旋

$Oi——分支i的輸出運動螺旋

$Ti——分支i的傳遞力螺旋

λi、ηi和Γ是與坐標系無關的無量綱指標，取值在0～1之間，Γ越趨近1，表明機構的運動/力傳遞性能越好，而Γ越趨近0，表明機構越靠近奇異位形。

在坐標系oxyz中，令ria(i=1, 2, 3, 4)和rib(i=1, 2, 3)分別表示Ai點和Bi點的位置矢量，分支1的運動螺旋為

(28)

式中 $11——移動副運動螺旋

$12——轉動副運動螺旋

$13——虎克鉸第1轉動運動螺旋

$14——虎克鉸第2轉動運動螺旋

O——零向量

對式(28)求反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

(29)

分支1輸入運動螺旋$A1=$11，傳遞力螺旋$Ti與分支內所有被動螺旋互易積為零，即

$T1°$1j=0 (j=2, 3, 4)

(30)

可求得分支1傳遞力螺旋為

$T1=(rA1B1;r1a×rA1B1)

(31)

式中rA1B1——沿A1B1方向的單位向量

$T1——沿桿A1B1方向的傳遞力螺旋

同理，可得分支2、3、4的傳遞力螺旋分別為

$T2=(rA2B2;r2a×rA2B2)

(32)

$T3=(rA3B3;r3a×rA3B3)

(33)

$T4=(rA4B1;r4a×rA4B1)

(34)

為求分支1傳遞力螺旋$T1對應的輸出運動螺旋，可將分支2、3、4中傳遞力螺旋視為約束螺旋，與機構約束螺旋系組合形成一個秩為5的螺旋系。對該螺旋系求反螺旋，則可得到分支1的輸出運動螺旋$O1。類似地，可以求得分支2、3、4的輸出運動螺旋$O2、$O3和$O4。

將求得的輸入運動螺旋、傳遞力螺旋和輸出運動螺旋代入式(25)～(27)中，可得機構的局部傳遞指標。圖9給出的是在前述機構尺度參數(shù)下，z=-250 mm，x=-70 mm時姿態(tài)工作空間中心區(qū)域的局部傳遞指標分布。對比圖8b和圖9可得，機構的性能分布趨勢與奇異曲線吻合。越靠近奇異位形，機構的性能越差。這也證明了性能分析的正確性。

圖9 局部傳遞指標分布圖 (a=160 mm，l=200 mm)Fig.9 Distribution diagram of local transmission index (a=160 mm，l=200 mm)

5.2 全域傳遞指標

局部傳遞指標可用于機構的尺度優(yōu)化設計，定義工作空間內局部傳遞指標大于0.7的區(qū)域為優(yōu)質傳遞空間，優(yōu)質傳遞空間與整體工作空間的比值為全域傳遞指標

(35)

式中W——機構的整體工作空間

SG——優(yōu)質傳遞空間的面積

S——整體工作空間的面積

σ——全域傳遞指標

顯然σ取值于0到1之間，σ越大，表明機構優(yōu)質傳遞空間越大，機構的性能越好。

以基座尺寸a和連桿長度l為設計變量，計算不同變量對應的σ，并繪制成平面圖(圖10)，則可發(fā)現(xiàn)σ隨機構尺度參數(shù)的變化規(guī)律，從而可以選取性能更優(yōu)的機構尺度參數(shù)。

圖10 全域傳遞指標變化圖Fig.10 Variation of global transmission index

圖9對應機構尺度參數(shù)a=160 mm，l=200 mm，對應圖10中點1，此時，σ=0.47。可在點1左上方取點2，對應a=150 mm，l=210 mm，σ=0.54。顯然，點2尺度參數(shù)對應的機構性能更優(yōu)，繪制該參數(shù)下的局部傳遞指標分布圖如圖11所示。可以發(fā)現(xiàn)，局部傳遞指標大于0.7的部分(白線所圍區(qū)域)相較于圖9得到了擴大，機構性能得到了優(yōu)化。

圖11 局部傳遞指標分布圖 (a=150 mm，l=210 mm)Fig.11 Distribution diagram of local transmission index (a=150 mm，l=210 mm)

6 結論

(1)提出了一種新型并聯(lián)機構，能輸出兩個轉動和兩個移動自由度，可由固定移動副驅動。該機構位置參數(shù)僅由兩條分支決定，具有運動部分解耦的特點，可用于五軸機床或運動模擬器的本體。

(2)該機構存在逆解奇異、正解奇異和組合奇異。正解奇異位于工作空間的邊緣。機構的無奇異轉動空間很大，中間位置兩個方向的轉角范圍分別可達-44°～60°和-35°～52°。

(3)機構的運動/力傳遞性能分布反映了距離奇異位形的遠近。機構在工作空間內具有良好的性能，且可通過尺度設計進一步進行優(yōu)化。