帶初始前置角和末端攻擊角約束的偏置比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)以及剩余飛行時(shí)間估計(jì)

馬帥， 王旭剛， 王中原， 楊靖

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094; 2.中國(guó)兵器工業(yè)第203研究所, 陜西 西安 710065)

0 引言

在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)中，考慮末端攻擊角度約束可顯著提高導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能和毀傷效果，是導(dǎo)引律研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題[1-3]。近年來(lái)，隨著反導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展，使用單枚導(dǎo)彈攻擊配備有密集導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的地面目標(biāo)或海面艦艇時(shí)，導(dǎo)彈突防顯得愈發(fā)困難，而多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊以其特有的優(yōu)勢(shì)能夠極大地提高突防概率。相對(duì)于使用獨(dú)立的單枚導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)，使用多枚導(dǎo)彈同一時(shí)間從不同方向協(xié)同攻擊目標(biāo)是一種更有效的攻擊策略。導(dǎo)彈間的時(shí)間協(xié)同需要每枚導(dǎo)彈的飛行時(shí)間估計(jì)值，估計(jì)值的準(zhǔn)確性將對(duì)導(dǎo)彈間的協(xié)同攻擊產(chǎn)生很大影響。因此，研究考慮末端攻擊角度約束的導(dǎo)引律以及精確的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法具有重要意義[4-9]。

考慮末端攻擊角度約束的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)有很多方法，如偏置比例導(dǎo)引律、基于最優(yōu)控制理論進(jìn)行設(shè)計(jì)、基于滑模控制理論進(jìn)行設(shè)計(jì)等[10]。與其他設(shè)計(jì)方法相比，偏置比例導(dǎo)引律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，所需的信息量少[11]，更易于工程實(shí)現(xiàn)。Kim等[12]最早使用偏置比例導(dǎo)引對(duì)末端攻擊角度約束問(wèn)題進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了一種將剩余飛行距離函數(shù)作為時(shí)變偏置項(xiàng)的導(dǎo)引律。Lee等[1]基于比例導(dǎo)引律和末端攻擊角度誤差反饋設(shè)計(jì)了一種不包含線性近似項(xiàng)的導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律中含剩余飛行時(shí)間項(xiàng)，需對(duì)導(dǎo)彈飛行時(shí)間進(jìn)行精確估計(jì)。高峰等[13]為了增大反坦克導(dǎo)彈命中落角，設(shè)計(jì)了一種基于落角約束的偏置比例導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律同樣包含剩余飛行時(shí)間項(xiàng)。以上3種導(dǎo)引律因需要剩余飛行時(shí)間估計(jì)或者彈目間距等信息，在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)[14]。Zhang等[3]針對(duì)大末端攻擊角度約束問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種偏置比例導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律不需要剩余飛行時(shí)間估計(jì)，且在初始前置角小于π/2 rad時(shí)，能夠滿足任意的末端攻擊角度約束要求，但若導(dǎo)彈受到干擾，導(dǎo)致前置角大于π/2 rad，則該導(dǎo)引律是否適用仍需開(kāi)展分析。Kim等[14]基于兩階段導(dǎo)引方案，提出了一種偏置項(xiàng)成型的導(dǎo)引方法，該方法需要對(duì)偏置項(xiàng)進(jìn)行積分，且該導(dǎo)引律結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不利于實(shí)際應(yīng)用。

針對(duì)剩余飛行時(shí)間估計(jì)問(wèn)題，很多學(xué)者做了相關(guān)研究。Jeon等[5]基于小前置角假設(shè)，給出了比例導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)公式。Lee等[1]在初始視線坐標(biāo)系內(nèi)基于小航向角假設(shè)，推導(dǎo)了帶有誤差反饋比例導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)公式。張春妍等[15]同樣基于小前置角假設(shè)，推導(dǎo)了帶有落角約束偏置比例導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)公式。以上方法均基于小角度假設(shè)，這些方法在用于大前置角時(shí)估算精度不高，且當(dāng)指定的末端攻擊角度增大時(shí)，飛行時(shí)間估計(jì)誤差也會(huì)增大[3]。Dhananjay等[16]針對(duì)比例導(dǎo)引律給出了精確的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法。Cho等[17]基于高斯超幾何函數(shù)同樣給出了純比例導(dǎo)引的剩余飛行時(shí)間解析表達(dá)式。為了精確地估算剩余飛行時(shí)間，Tahk等[18]提出了一種遞歸的飛行時(shí)間計(jì)算方法，該方法首先計(jì)算最小的剩余飛行時(shí)間，然后遞歸地補(bǔ)償由路徑曲率產(chǎn)生的時(shí)間誤差。針對(duì)大前置角下偏置比例導(dǎo)引律剩余飛行時(shí)間估算問(wèn)題，由于難以直接求得解析解，且不能使用小角度近似，文獻(xiàn)[3,19]采用數(shù)值求解方法，基于分段迭代求解思想和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，推導(dǎo)了比例導(dǎo)引律和大攻擊角度約束下帶有末端攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)算法。該算法可根據(jù)自定義小角度的取值來(lái)調(diào)整軌跡分段數(shù)，從而調(diào)整飛行時(shí)間估計(jì)精度和總計(jì)算量，估計(jì)誤差小，誤差收斂快。但該算法在前置角等于π/2 rad時(shí)存在奇點(diǎn)，若導(dǎo)彈受到干擾，導(dǎo)致前置角大于π/2 rad，則如何對(duì)該算法進(jìn)行拓展仍需開(kāi)展研究。

本文針對(duì)導(dǎo)彈飛行過(guò)程中受到外部干擾導(dǎo)致前置角變化較大的問(wèn)題，研究了考慮末端攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)以及剩余飛行時(shí)間估計(jì)問(wèn)題。本文創(chuàng)新點(diǎn)如下：1)設(shè)計(jì)了滿足任意初始航向角和末端攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律(MBPNG_IAC)，并對(duì)該導(dǎo)引律下系統(tǒng)參數(shù)的收斂性給出了證明；2)對(duì)于文獻(xiàn)[3]提出的剩余飛行時(shí)間估計(jì)算法在前置角等于π/2 rad存在奇點(diǎn)問(wèn)題，本文對(duì)該算法進(jìn)行了拓展，使其適用于前置角屬于[-π rad,π rad]的飛行環(huán)境，采用參考文獻(xiàn)[3,19]的方法，給出了本文提出導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)。

1 MBPNG_IAC設(shè)計(jì)

1.1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示：Oxy為慣性坐標(biāo)系，M為導(dǎo)彈位置，T為目標(biāo)位置，R為導(dǎo)彈與目標(biāo)間的距離，v為導(dǎo)彈速度，an為導(dǎo)彈的法向加速度；θ為導(dǎo)彈的航向角，規(guī)定由水平基線逆時(shí)針轉(zhuǎn)到導(dǎo)彈速度方向?yàn)檎籷為彈目視線角，規(guī)定由水平基線逆時(shí)針轉(zhuǎn)到視線方向?yàn)檎沪諡閷?dǎo)彈的前置角，規(guī)定由導(dǎo)彈速度方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到視線方向?yàn)檎沪萪為指定的末端航向角。

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

q=θ+φ.

(4)

在初始時(shí)刻t0時(shí)，各參數(shù)初值為R(t0)=R0，φ(t0)=φ0，q(t0)=q0，θ(t0)=θ0.

記tf為終端時(shí)刻，每一時(shí)刻導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間tg定義為

tg=tf-t.

(5)

tg無(wú)法通過(guò)儀器測(cè)量得到，需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，每一時(shí)刻的剩余飛行時(shí)間估計(jì)值記為g.

1.2 任意初始前置角和末端攻擊角度約束下的偏置比例導(dǎo)引律

針對(duì)導(dǎo)彈飛行過(guò)程中受到外部干擾導(dǎo)致前置角變化較大的問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)的形式為：

1)若α0≥0°，則導(dǎo)引律為

(6)

式中：N為導(dǎo)航系數(shù)，取N≥3；K為常量，取1≤K≤N-1；α為自定義角度，表達(dá)式為

α=(1-N)q+(N-1)θd-φ.

(7)

2)若α0<0°，則導(dǎo)引律為

(8)

將(6)式、(8)式代入(1)式～(4)式，可得

1)若α0≥0°且φ∈(-π/2 rad,π rad]，或α0<0°且φ∈[-π rad,π/2 rad)，則有

(9)

2)若α0≥0°且φ∈[-π rad,-π/2 rad]，或α0<0°且φ∈[π/2 rad,π rad]，則有

(10)

2 使用MBPNG_IAC時(shí)系統(tǒng)參數(shù)收斂性證明

本文提出的MBPNG_IAC根據(jù)α0和φ所屬范圍進(jìn)行切換，本質(zhì)上是兩種導(dǎo)引律形式，即

(11)

(12)

MBPNG_IAC在前置角屬于(-π/2 rad,π/2 rad)時(shí)，采用的導(dǎo)引律(11)式與文獻(xiàn)[3]中提出的適用于大攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律(BPNG_IAC)相同。文獻(xiàn)[20]對(duì)導(dǎo)引律(11)式在前置角屬于(-π/2 rad,π/2 rad)時(shí)進(jìn)行了分析，證明了該導(dǎo)引律下系統(tǒng)參數(shù)的收斂性，證明過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。

引理[10,20]若初始前置角滿足|φ(t0)|<π/2 rad，則使用導(dǎo)引律BPNG_IAC的導(dǎo)引系統(tǒng)從某種意義上來(lái)說(shuō)是有限時(shí)間收斂的，它滿足：

1)對(duì)于t∈[t0,tf]，R(t)≤R(t0)∧R(tf)=0 km；

2)對(duì)于t∈[t0,tf]，|φ(t)|<π/2 rad∧φ(tf)=0 rad；

3)對(duì)于t∈[t0,tf]，|α(t)|≤|α(t0)|∧α(tf)=0°.

對(duì)于本文提出的導(dǎo)引律，只要證明當(dāng)前置角大于π/2 rad時(shí)，前置角能收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)，由上述引理，即可證明使用本文提出的導(dǎo)引律系統(tǒng)參數(shù)也是收斂的。

對(duì)于前置角大于π/2 rad，以下分4種情況對(duì)前置角的收斂性進(jìn)行分析。

1)α0≥0°且φ0∈[π/2 rad,π rad]。

由(9)式可知，當(dāng)φ∈[π/2 rad,φ0]時(shí)，有dα/dt≥0、dφ/dt<0，當(dāng)且僅當(dāng)φ=π/2 rad時(shí)dα/dt=0. 因此，該段內(nèi)α單調(diào)遞增，φ單調(diào)遞減至π/2 rad. 設(shè)ε為無(wú)限趨近于0的正常數(shù)，當(dāng)φ=π/2-ε時(shí)，有

(13)

ε取足夠小，區(qū)間[π/2-ε,π/2 rad]內(nèi)必有dφ/dt<0，該情況下前置角必定單調(diào)收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)。

2)α0≥0°且φ0∈[-π rad,-π/2 rad]。

由(10)式可知，當(dāng)φ∈[φ0,-π/2 rad]時(shí)，有dα/dt≤0、dφ/dt>0，當(dāng)且僅當(dāng)φ=-π/2 rad時(shí)dα/dt=0. 因此，該段內(nèi)α單調(diào)遞減，但仍滿足α≥0，φ單調(diào)遞增至-π/2 rad. 當(dāng)φ=-π/2+ε時(shí)，有

(14)

區(qū)間[-π/2 rad,-π/2+ε]內(nèi)必有dφ/dt>0，該情況下前置角必定單調(diào)收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)。

3)α0<0°且φ0∈[π/2 rad,π rad]。

由(10)式可知，當(dāng)φ∈[π/2 rad,φ0]時(shí)，有dα/dt≥0，dφ/dt<0，當(dāng)且僅當(dāng)φ=π/2 rad時(shí)dα/dt=0. 因此，該段內(nèi)α單調(diào)遞增，但仍滿足α≤0°，φ單調(diào)遞減至π/2 rad. 當(dāng)φ=π/2-ε時(shí)，有

(15)

區(qū)間[π/2-ε,π/2 rad]內(nèi)必有dφ/dt<0，該情況下前置角必定單調(diào)收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)。

4)α0<0°且φ0∈[-π rad,-π/2 rad]。

由(9)式可知，當(dāng)φ∈[φ0,-π/2 rad]時(shí)，有dα/dt≤0，dφ/dt>0，當(dāng)且僅當(dāng)φ=-π/2 rad時(shí)dα/dt=0. 因此，該段內(nèi)α單調(diào)遞減，φ單調(diào)遞增至-π/2 rad. 當(dāng)φ=-π/2+ε時(shí)，有

(16)

區(qū)間[-π/2 rad,-π/2+ε]內(nèi)必有dφ/dt>0，該情況下前置角必定單調(diào)收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)。

綜合上述4種情況及引理可知，初始前置角|φ0|≥π/2 rad時(shí)，前置角φ先單調(diào)收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)，之后一直維持在區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)內(nèi)。因此，使用本文提出的導(dǎo)引律，系統(tǒng)參數(shù)也是收斂的。

對(duì)于上述4種情況，若前置角滿足|φ(t)|≥π/2 rad，則α符號(hào)不變。對(duì)于前置角φ∈(-π/2 rad,π/2 rad)時(shí)，由(9)式、(10)式分析可知，無(wú)論α為正或負(fù)，α均單調(diào)趨近于0°，即對(duì)于前置角φ∈(-π/2 rad,π/2 rad)時(shí)，α符號(hào)仍不變。因此，使用本文提出的導(dǎo)引律，整個(gè)飛行過(guò)程α不變號(hào)，且在飛行末端α收斂至0°，這也是1.2節(jié)只需根據(jù)α0的正負(fù)性來(lái)判定使用哪種導(dǎo)引律的原因。根據(jù)φ和α的變化情況以及(9)式、(10)式可知，彈目間距R在前置角|φ(t)|>π/2 rad時(shí)單調(diào)遞增，在|φ(t)|=π/2 rad時(shí)取極大值，之后|φ(t)|<π/2 rad彈目間距單調(diào)遞減，直至飛行末端收斂至0 km. 由(8)式可知，飛行末端攻擊角度收斂于指定的航向角θd，即該導(dǎo)引律在前置角屬于[-π rad,π rad]時(shí)，能夠滿足任意指定的末端攻擊角度約束要求。

3 使用MBPNG_IAC時(shí)剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法

大攻擊角度約束下的偏置比例導(dǎo)引律不能使用小角度假設(shè)，且解析求解困難。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[3，19]采用分段求解思想，對(duì)前置角的變化區(qū)間進(jìn)行分段，保證每一段內(nèi)前置角的變化量都是小角度，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)每段內(nèi)的微分方程進(jìn)行求解，每段內(nèi)的估計(jì)時(shí)間相加，即可得到總的剩余飛行時(shí)間估計(jì)值。該方法雖適用于大前置角下求解且求解精度較高，但在前置角等于π/2 rad時(shí)存在奇點(diǎn)，無(wú)法對(duì)前置角大于π/2 rad的情況進(jìn)行求解。本節(jié)基于該方法進(jìn)行拓展，得到了一種適用于前置角大于π/2 rad的剩余飛行時(shí)間估計(jì)算法。

定義小角度Ω(Ω>0°)，當(dāng)初始前置角φ0滿足|φ0|>π/2 rad時(shí)，將飛行過(guò)程分為3段，分別記為D1、D2和D3，3段對(duì)應(yīng)的前置角區(qū)間分別為 |φ|>π/2+Ω、π/2-Ω≤|φ|≤π/2+Ω、|φ|<π/2-Ω.

對(duì)于D3段，前置角小于π/2 rad，該段可以采用文獻(xiàn)[3]提出的估計(jì)算法。本節(jié)的重點(diǎn)在于D1段和D2段的剩余飛行時(shí)間估計(jì)。

3.1 剩余飛行時(shí)間估計(jì)算法

第2節(jié)中已經(jīng)提到，本文提出的導(dǎo)引律本質(zhì)上是使用了兩種形式的導(dǎo)引律，即(11)式和(12)式。對(duì)于(11)式導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)，文獻(xiàn)[3]進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，這里基于文獻(xiàn)[3]提出的分段迭代求解思想，首先推導(dǎo)(12)式導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)公式。

由(10)式可得

(17)

式中：B1=(N-1)/K.

將D1段所處時(shí)間區(qū)間[t0,tf]分為m段，即[t0,t1],[t1,t2],…,[tm-2,tm-1],[tm-1,tf]，每一時(shí)間段內(nèi)前置角的變化量均為小角度，即|Δφ|≤Ω. 以第1段[t0,t1]為例，其中t1=t0+Δt1，對(duì)于時(shí)刻t∈[t0,t1]，前置角

φ(t)=φ0+Δφ(t)，

(18)

Δφ(t)為小角度且Δφ0=Δφ(t0)=0. 使用1階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：

tanφ(t)≈tanφ0+Δφ(t)/cos2φ0.

(19)

將(18)式對(duì)α求微分，并代入(17)式、(19)式得

d(Δφ)/dα=-B1(tanφ0+Δφ/cos2φ0)/α-1.

(20)

定義變量u，有

u=(tanφ0+Δφ/cos2φ0)/α，

(21)

u在t0時(shí)刻的值記為u0，u0=u(t0)=tanφ0/α0.

由(20)式、(21)式得

d(αu)/dα=(-B1u-1)/cos2φ0，

(22)

又

(23)

由(22)式和(23)式得

(24)

令B2=-B1/cos2φ0-1、B3=1/cos2φ0，對(duì)(24)式整理得

du/(B2u-B3)=dα/α，

(25)

式中：系數(shù)B2<0. 對(duì)(25)式積分，得

(26)

將(26)式代入(20)式，可得

(27)

式中：B4=sinφ0cosφ0；B5=α0.

由(10)式得

(28)

對(duì)(28)式積分，得

(29)

由(10)式得

(30)

對(duì)1/cosφ在φ0處泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得

1/cosφ≈(1+tanφ0Δφ)/cosφ0.

(31)

將(29)式、(31)式代入(30)式，得

(32)

式中：B6=R0/(Kvcosφ0)；B7=sin2φ0；B8=α0tanφ0.

對(duì)(32)式在區(qū)間[t0,t0+Δt1]上積分，得

(33)

綜上所述可知，使用(12)式導(dǎo)引律時(shí)，每段內(nèi)前置角的變化量、彈目間距值以及飛行時(shí)間估計(jì)值可由(27)式、(29)式和(33)式得到。

為了算法的完整性，直接給出使用(11)式導(dǎo)引律時(shí)每段內(nèi)的參數(shù)估計(jì)表達(dá)式，即

(34)

(35)

(36)

由(27)式、(29)式、(33)式、(34)式、(35)式和(36)式，得到了D1段和D3段內(nèi)每一小分段的參數(shù)估計(jì)表達(dá)式。對(duì)于D2段，有π/2-Ω≤|φ|≤π/2+Ω，當(dāng)|φ|=π/2 rad時(shí)，不能再使用上述分段迭代求解方法。Ω為小角度，因此cos(π/2±Ω)≈cos (π/2)=0. 對(duì)D2段采用小角度近似，(9)式、(10)式可近似為

(37)

對(duì)于D2段，彈目間距R和角度α變化很小，這里近似當(dāng)作常量處理，則該段內(nèi)的飛行時(shí)間估計(jì)值為

(38)

3.2 剩余飛行時(shí)間估計(jì)過(guò)程

1)α0≥0°且φ0∈[π/2 rad,π rad]。

(39)

整理得

(40)

2)α0≥0°且φ0∈[-π rad,-π/2 rad]。

(41)

整理得

(42)

3)α0<0°且φ0∈[π/2 rad,π rad]。

4)α0<0°且φ0∈[-π rad,-π/2 rad]。

綜合上述4種情況可知，當(dāng)|φ|>π/2 rad時(shí)，|Δφ|均從0開(kāi)始單調(diào)遞增。

需要注意的是，飛行過(guò)程由D1段進(jìn)入D2段時(shí)，必然對(duì)應(yīng)某一時(shí)刻的前置角φp滿足π/2 rad<|φp|≤π/2+Ω. 該時(shí)刻參數(shù)可由D1段內(nèi)最后一段迭代得到，取該時(shí)刻參數(shù)αp和Rp，由(38)式估算D2段內(nèi)的飛行時(shí)間。D3段從|φ|=π/2-Ω開(kāi)始，初始參數(shù)仍為αp和Rp，初始前置角為φ=π/2-Ω或φ=-π/2+Ω，繼續(xù)按D1段內(nèi)的迭代方法進(jìn)行求解，直至整個(gè)飛行過(guò)程結(jié)束。D1段和D3段內(nèi)為保證前置角的變化量為小角度，對(duì)飛行過(guò)程進(jìn)行了分段，而D2段作為一個(gè)整體進(jìn)行求解。定義D1段和D3段內(nèi)的分段數(shù)之和為n，總飛行時(shí)間估計(jì)值由各段飛行時(shí)間估計(jì)值求和得到。

4 仿真分析

4.1 MBPNG_IAC的有效性驗(yàn)證

前置角小于π/2 rad時(shí)，本文提出的導(dǎo)引律同文獻(xiàn)[3]中的導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律在不同末端約束角下的有效性已經(jīng)得到了理論證明和仿真驗(yàn)證。因此本節(jié)主要針對(duì)初始前置角大于π/2 rad的飛行環(huán)境，取不同的末端攻擊角度對(duì)本文提出導(dǎo)引律的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

假設(shè)目標(biāo)靜止，坐標(biāo)為(0 km, 0 km)，導(dǎo)彈初始坐標(biāo)為(-10.0 km, 0.5 km)，速度取為常量250 m/s，初始航向角取為150°，末端攻擊角度分別為0°、±60°、±120°和180°. 導(dǎo)航系數(shù)取N=3，系數(shù)取K=2. 考慮到導(dǎo)彈的加速度飽和，最大法向加速度取為5g，g為重力加速度。使用本文提出的導(dǎo)引律進(jìn)行二維仿真分析，仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。

由圖2可知，導(dǎo)彈的初始航向角取為150°時(shí)，對(duì)于不同的末端攻擊角度，導(dǎo)彈均能命中目標(biāo)。圖3中，末端攻擊角度θd為60°、120°和180°時(shí)，加速度指令在0～20 s內(nèi)均達(dá)到了兩次飽和。對(duì)比圖2可知，0～20 s內(nèi)這3種末端攻擊角度情況下的飛行軌跡曲率半徑小，因此需要更多的法向加速度用于改變飛行方向，這與圖3中加速度指令飽和的結(jié)果吻合。由圖3還可知，加速度指令在飛行末端收斂至0. 圖4中，末端航向角均達(dá)到了指定角度。由圖5可知，前置角首先單調(diào)收斂至區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)，之后一直保持在該區(qū)間內(nèi)，這與第2節(jié)中前置角的變化規(guī)律分析結(jié)果吻合。由圖6可知，自定義角α最終收斂至0°，且整個(gè)飛行過(guò)程中α符號(hào)不變。圖7中，因初始前置角大于π/2 rad，彈目間距先單調(diào)遞增至極大值，在極大值附近變化緩慢，之后前置角小于π/2 rad，彈目間距單調(diào)收斂至0 km.

圖8和圖9分別為初始航向角取90°和120°時(shí)的飛行軌跡曲線。由圖8和圖9可知，對(duì)應(yīng)這兩組初始航向角，導(dǎo)彈均能命中目標(biāo)，同樣驗(yàn)證了本文提出導(dǎo)引律的有效性。

4.2 MBPNG_IAC與文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[13]中提出的導(dǎo)引律在前置角大于π/2 rad時(shí)的仿真結(jié)果比較

文獻(xiàn)[3]提出的BPNG_IAC，由于飛行時(shí)間估計(jì)算法的需要，在偏置項(xiàng)中加入了前置角的余弦，使前置角屬于開(kāi)區(qū)間(-π/2 rad,π/2 rad)[3]，該導(dǎo)引律是否適用于前置角大于π/2 rad的情況，仍需開(kāi)展研究。

文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)了帶有末端攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律(BPNG)，對(duì)于攻擊靜止目標(biāo)，以上3篇文獻(xiàn)提出的導(dǎo)引律結(jié)構(gòu)是相同的。該類導(dǎo)引律含剩余飛行時(shí)間估計(jì)，文獻(xiàn)[13]將飛行時(shí)間估計(jì)近似取為彈目間距與導(dǎo)彈速度的比值，得到的導(dǎo)引律用于單枚導(dǎo)彈制導(dǎo)且不考慮攻擊時(shí)間約束時(shí)，對(duì)導(dǎo)彈脫靶量和命中落角精度沒(méi)有明顯影響[13,15]。本文對(duì)文獻(xiàn)[13]提出的偏置比例導(dǎo)引律在前置角大于π/2 rad時(shí)的適用情況進(jìn)行分析。

導(dǎo)彈初始航向角取為150°，末端攻擊角度分別取±60°和±120°. 對(duì)文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[13]以及本文提出的導(dǎo)引律進(jìn)行仿真分析，導(dǎo)彈飛行軌跡如圖10～圖13所示。

圖10為末端攻擊角度θd=60°時(shí)3種導(dǎo)引律對(duì)應(yīng)的飛行軌跡，該情況下，BPNG_IAC失效，而另外兩種導(dǎo)引律均能以期望角度命中目標(biāo)，且BPNG下飛行軌跡較MBPNG_IAC軌跡短。圖11為末端攻擊角度θd=-60°時(shí)3種導(dǎo)引律對(duì)應(yīng)的飛行軌跡，該情況下，BPNG_IAC失效，另外兩種導(dǎo)引律均能以期望角度命中目標(biāo)，且飛行軌跡接近。圖12為末端攻擊角度θd=120°時(shí)3種導(dǎo)引律對(duì)應(yīng)的飛行軌跡，該情況下，3種導(dǎo)引律均能以期望角度命中目標(biāo)，BPNG下飛行軌跡較另外兩種導(dǎo)引律的飛行軌跡長(zhǎng)。圖13為末端攻擊角度約束θd=-120°時(shí)3種導(dǎo)引律對(duì)應(yīng)的飛行軌跡，該情況下，BPNG失效，而另外兩種導(dǎo)引律飛行軌跡完全相同。

綜上所述可知，本文提出的導(dǎo)引律MBPNG_IAC在上述4種情況下均能以預(yù)期攻擊角度命中目標(biāo)，而另外兩種導(dǎo)引律則不能同時(shí)滿足要求。因此，相較于另外兩種導(dǎo)引律，本文提出的導(dǎo)引律更適用于前置角大于π/2 rad的飛行環(huán)境。

4.3 初始前置角大于π/2 rad時(shí)MBPNG_IAC的剩余飛行時(shí)間估計(jì)精度分析

針對(duì)文獻(xiàn)[3]提出的剩余飛行時(shí)間估計(jì)算法在前置角等于π/2 rad存在奇點(diǎn)的問(wèn)題，本文對(duì)該方法進(jìn)行了拓展，使之能夠適用于前置角大于π/2 rad. 使用該估算方法對(duì)本文提出的導(dǎo)引律進(jìn)行剩余飛行時(shí)間估計(jì)，仿真參數(shù)同4.1節(jié)，指定的小角度Ω取10°. 仿真結(jié)果如圖14～圖17所示。

圖14為不同末端攻擊角度下的剩余飛行時(shí)間實(shí)際值與估計(jì)值比較，其中實(shí)線代表實(shí)際值，符號(hào)線代表估計(jì)值。圖15和圖16為對(duì)應(yīng)不同末端約束角下的飛行時(shí)間估計(jì)誤差和誤差百分比。初始航向角取150°：當(dāng)末端攻擊角度取0°時(shí)，最大估計(jì)誤差為0.60 s，誤差百分比為0.88%；當(dāng)末端攻擊角度取60°時(shí)，最大估計(jì)誤差為1.74 s，誤差百分比為2.49%；當(dāng)末端攻擊角度取-60°時(shí)，最大估計(jì)誤差為-0.81 s，誤差百分比為-0.90%；當(dāng)末端攻擊角度取120°時(shí)，最大估計(jì)誤差為3.51 s，誤差百分比為4.17%；當(dāng)末端攻擊角度取-120°時(shí)，最大估計(jì)誤差為-1.07 s，誤差百分比為-1.17%；當(dāng)末端攻擊角度取180°時(shí)，最大估計(jì)誤差為6.81 s，誤差百分比為6.63%.

綜合上述分析可知，該估算方法估計(jì)誤差較小且誤差收斂快，該方法可用于前置角大于π/2 rad時(shí)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)。

圖17為整個(gè)飛行過(guò)程中的飛行軌跡分段數(shù)。在飛行初期分段數(shù)最大，之后逐漸減小直至飛行末端為1. 圖17中，對(duì)應(yīng)8～18 s之間，有一小段分段數(shù)保持不變。該段為第3節(jié)中定義的D2段，由小角度假設(shè)得到且當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)處理，因此D2內(nèi)軌跡的分段數(shù)n在飛行過(guò)程中保持不變。小角度Ω的取值也會(huì)影響飛行軌跡的分段情況，Ω越小，飛行時(shí)間估計(jì)誤差越小，但飛行軌跡的分段數(shù)會(huì)增大，計(jì)算量也會(huì)增加。圖18和圖19為Ω取5°時(shí)的仿真結(jié)果，仿真結(jié)果驗(yàn)證了上述分析。

5 結(jié)論

本文針對(duì)導(dǎo)彈飛行過(guò)程中受到外部干擾導(dǎo)致前置角變化較大的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了滿足任意初始前置角和末端攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律，并且證明了該導(dǎo)引律下系統(tǒng)參數(shù)的收斂性。對(duì)現(xiàn)有分段迭代求解剩余飛行時(shí)間方法進(jìn)行拓展，解決了該方法在前置角等于π/2 rad存在奇點(diǎn)的問(wèn)題，并用該改進(jìn)方法給出了該導(dǎo)引律的剩余飛行時(shí)間估計(jì)。仿真結(jié)果表明:

1)本文提出的導(dǎo)引律能夠滿足任意初始前置角和末端攻擊角度約束下的脫靶量和末端角度要求，與以往研究結(jié)果相比，該導(dǎo)引律在前置角大于π/2 rad時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈的有效控制。

2)本文改進(jìn)的飛行時(shí)間估算方法可用于前置角大于π/2 rad時(shí)的飛行時(shí)間估算，估算精度較高且誤差收斂快。