改進不等時距權(quán)重的灰色殘差組合修正模型及其應(yīng)用

，，，，，

(1. 山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東 濟南 250061； 2. 山東高速泰東公路有限公司，山東 泰安 271000； 3. 交通運輸部公路科學(xué)研究院，北京 100088)

目前，建立智能建筑物沉降預(yù)測模型,分析少數(shù)據(jù)、貧信息及不確定性等問題，是較為實用的方法。例如，灰色理論[1]、人工魚群算法[2]、回歸分析模型[3]、小波分析法[4]及概率預(yù)報法[5]等預(yù)測模型已在不同工程領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。其中，應(yīng)用最廣的是灰色理論預(yù)測模型，該模型對部分信息已知，部分信息未知的復(fù)雜灰色系統(tǒng)具有獨特的預(yù)測優(yōu)勢，其優(yōu)點是少數(shù)據(jù)建模。但是，通常的灰色預(yù)測模型只適應(yīng)于嚴格的等時間間隔序列[6]，這給工程的應(yīng)用帶來諸多不便。為擴大灰色模型的應(yīng)用范圍，很多學(xué)者開展了非等間隔時距的研究工作。一般的，傳統(tǒng)不等時距灰色模型(traditional unequal time-interval gray model，TUTGM)對原始數(shù)據(jù)的一次累加和累減過程中，非等時間間隔權(quán)重直接采用傳統(tǒng)非等時間間隔序列建立灰色模型，或者給定某一固定的非等間隔權(quán)重分配系數(shù)[7-8]。然而，累加和累減過程中生成的序列并非最優(yōu)，預(yù)測模型還存在預(yù)測精度偏低、誤差逐漸偏大等缺點。另外，沉降量殘差序列往往具有不太規(guī)律的周期性和較強的隨機波動特征，還需選擇合理的殘差修正模型對其進行修正，以便進一步提高預(yù)測精度和增強隨機靈動性[9-10]。

本文首先在傳統(tǒng)不等時距灰色模型中引入時距權(quán)重分配系數(shù)，按照累加生成和(或)累減還原過程的生成序列不同，構(gòu)建了4種不同的預(yù)測模型，并依據(jù)相似度準則選取最優(yōu)擬合序列和預(yù)測值。然后采用正弦函數(shù)和諧波變化生成的周期序列函數(shù)修正殘差序列，進一步提高模型的預(yù)測精度。實例驗證表明，改進不等時距權(quán)重的灰色殘差組合修正模型(improved unequal time-interval weight gray model and residual combined correction，IUTWGM-RCC)具有較高的預(yù)測精度，為建筑物沉降量預(yù)測提供了一種新方法。

1 改進不等時距權(quán)重灰色預(yù)測模型

1.1 改進不等時距權(quán)重灰色模型建模

設(shè)原始序列為

X(0)=(X(0)(t1),X(0)(t2),…,X(0)(tk),…,X(0)(tn))

(1)

則原始數(shù)據(jù)的時間間隔為Δtk=tk-tk-1≠const，k=2,3,…,n。其中，初始值Δt1=1。

對TUTGM的原始序列構(gòu)造一次累加生成式為

X(1)(tk)=X(1)(tk-1)+ΔtkX(0)(tk)

(2)

由于Δtk為X(0)(tk)與X(0)(tk-1)之間的時間差，將Δtk的權(quán)值全賦予在X(0)(tk)上，這不一定最理想[8]。Δtk的權(quán)值宜部分賦予X(0)(tk)，其余部分賦予X(0)(tk-1)上。本文引入權(quán)重系數(shù)α和β(0≤α<1，0<β≤1，α+β=1)，優(yōu)化Δtk的權(quán)值分配。則優(yōu)化后的一次累加生成式變?yōu)?/p>

X(1)(tk)=X(1)(tk-1)+αΔtkX(0)(tk-1)+βΔtkX(0)(tk)

(3)

令X(1)(t1)=X(0)(t1)。

經(jīng)式(3)進行一次累加后，得到的序列記為

X(1)=(X(1)(t1),X(1)(t2),…,X(1)(tk),…,X(1)(tn))

(4)

然后，由一階生成模塊X(1)建立灰色模型的微分方程為

(5)

式中，a為發(fā)展系數(shù)；u為灰色作用量。

則式(5)的解為

(6)

(7)

按照式(3)進行累減還原，得到的擬合值為

(8)

1.2 求解灰參數(shù)

(9)

(10)

(11)

(12)

將tn+1及Δtn+1代入式(12)，可得第n+1時刻的預(yù)測值

(13)

1.3 改進不等時距權(quán)重灰色模型

定義模型1的累加生成和累減還原公式為

(14)

定義模型2的累加生成和累減還原公式為

(15)

定義模型3的累加生成和累減還原公式為

(16)

定義模型4的累加生成和累減還原公式為

(17)

當(dāng)α=0、β=1時，后3種改進模型可退化到模型1，即TUTGM。

由于式(15)—式(17)中權(quán)重系數(shù)α、β取值不同，各模型累加和累減過程中生成的序列也不相同，最終得到的擬合值也不相同。本文采用相似度準則確定最優(yōu)擬合值，其相似度準則表達式[12]為

(18)

當(dāng)擬合值殘差平方和J取得最小值(記為Jmin)時，對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為最優(yōu)權(quán)重系數(shù)(即αbest)，對應(yīng)的擬合序列為最優(yōu)擬合序列。

1.4 殘差組合修正模型

殘差序列常呈現(xiàn)正負交替的情況，且具有不太規(guī)律的周期性，從而使原始序列呈波動特征。為了進一步提高預(yù)測模型的計算精度，本文采用殘差序列波形平均特征構(gòu)造正弦函數(shù)和諧波變化生成的周期性序列函數(shù)，對殘差進行組合修正[13]。

設(shè)殘差序列為

(19)

(20)

根據(jù)式(18)確定最優(yōu)擬合序列，其序列對應(yīng)的T值為最優(yōu)值，記為Tbest。

(21)

sin(ωitk)。

(22)

式中，最優(yōu)擬合序列對應(yīng)的參數(shù)ζ、m設(shè)為最優(yōu)參數(shù)值，即ζbest、mbest。

經(jīng)過殘差組合修正后，改進不等時距權(quán)重灰色模型的擬合、預(yù)測值變?yōu)?/p>

(23)

2 建筑物沉降量預(yù)測

文獻[14]給出某建筑物3個監(jiān)測點的沉降量實測數(shù)據(jù)，見表1。

表1 建筑物的實測沉降量

本文選取測點C13-1的前6次實測沉降量組成原始序列，建立上述4種預(yù)測模型，對第7、8和9次沉降量進行預(yù)測。編制建筑物沉降量預(yù)測程序?qū)ζ漕A(yù)測時，設(shè)置α∈[0,0.99]，設(shè)定的步長為0.01。經(jīng)迭代計算，模型2、模型3和模型4共得到50組擬合、預(yù)測值。依據(jù)相似度準則模型，選取最優(yōu)擬合序列和最優(yōu)權(quán)重系數(shù)αbest。模型3和模型4的權(quán)重系數(shù)α=0時，擬合值殘差平方和最小值為0.603 7 mm2，擬合、預(yù)測結(jié)果相同，與模型1(TUTGM)計算結(jié)果一致。當(dāng)α=0.07時，預(yù)測模型2得到的擬合值殘差平方和最小，其值為0.585 3 mm2。模型2、模型3和模型4的前50次迭代計算結(jié)果如圖1所示。

另外，表2列舉了測點C13-1采用4種不同預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果，表中擬合值與預(yù)測值用虛線隔開。

從表2中預(yù)測值殘差來看，模型2<模型1=模型3=模型4。究其原因：模型2在確定發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量q后，通過累減還原過程中的權(quán)重分配系數(shù)建立了前、后期沉降量之間的關(guān)系，優(yōu)化擬合值序列，從而使預(yù)測結(jié)果更為準確。這里，模型2稱為IUTWGM。相對于其他3個模型而言，IUTWGM的預(yù)測精度雖有提高，但擬合值平均絕對誤差為9.85%，誤差仍然較大。另外，IUTWGM的殘差序列隨機性較強，且規(guī)律性不明顯。為了進一步提高IUTWGM的預(yù)測精度，采用殘差組合修正模型對其擬合值進行修正。

表2 不同模型下測點C13-1的沉降量計算結(jié)果

首先，利用正弦函數(shù)對IUTWGM的E(0)(tk)殘差序列進行修正，以擬合值的累積殘差平方和最小確定最優(yōu)參數(shù)Tbest。設(shè)置T∈[1,10 000]，設(shè)定的步長為1。當(dāng)T=11 s時，Jmin=0.308 7 mm2，前300次迭代計算結(jié)果如圖2所示。

然后，利用諧波變化生成的周期序列函數(shù)和正弦函數(shù)對E(0)(Fk)進行組合修正。同樣，以擬合值的累積殘差平方和最小確定最優(yōu)參數(shù)λbest和mbest。設(shè)置λ∈[0,1]，設(shè)定的步長為0.01，m∈[1,10 000]，設(shè)定的步長為1。當(dāng)T=11 s、ζ=0.77和m=3時，擬合值的累計殘差最小，即Jmin=0.024 1 mm2，前100次迭代計算結(jié)果如圖3所示。

對應(yīng)的殘差修正值為

則，IUTWGM-RCC得到的擬合值為

最后，由式(23)得到第7、8和9次的沉降量預(yù)測值為3.77、3.89和4.08 mm。

同理，本文對測點C13-2和測點C13-3采用上述4種預(yù)測模型進行預(yù)測。模型3和模型4的權(quán)重系數(shù)α=0時，擬合值殘差平方和最小，其值分別為0.386 8和0.469 3 mm2，與模型1計算結(jié)果相同，計算結(jié)果分別為(0.47，1.41，1.62，1.82，2.27，2.86，3.24，3.40，3.60)、(0.70，1.58，1.76，1.92，2.28，2.74，3.02，3.14，3.28)。

采用IUTWGM計算時，最優(yōu)權(quán)重系數(shù)αbest分別為0.08和0.12，對應(yīng)的擬合值殘差平方和分別為0.369 8和0.445 1 mm2，計算結(jié)果分別為(0.47，1.49，1.64，1.83，2.30，2.90，3.27，3.44，3.66)、(0.70，1.70，1.77，1.95，2.33，2.79，3.05，3.18，3.34)。

接著，采用組合殘差修正模型對測點C13-2和測點C13-3的殘差進行修正。

當(dāng)T=5 s、ζ=0.73和m=3時，測點C13-2的擬合值累計殘差平方和最小，對應(yīng)的殘差修正值為

當(dāng)T=12 s、ζ=0.72和m=3時，測點C13-3的擬合值累計殘差平方和最小，對應(yīng)的殘差修正值為

表3列舉了3個測點修正后的計算結(jié)果和相對誤差，其中擬合值與預(yù)測值采用虛線隔開。

表3 本文模型的計算值及相對誤差

從表3中可以得到，經(jīng)組合殘差修正模型修正后，測點C13-1、C13-2和C13-3的擬合值平均絕對誤差分別為2.25%、1.37%和2.33%，預(yù)測值平均絕對誤差平均值分別為0.85%、5.60%和1.25%，較TUTGM的擬合、預(yù)測精度有明顯提高。與文獻[14]計算結(jié)果相比，IUTWGM-RCC同樣具有較高的預(yù)測精度。此外，采用后驗差檢驗法[15]對本文模型的計算值進行精度檢驗，結(jié)果表明，測點C13-1、C13-2和C13-3的后驗差比C分別為0.04、0.11和0.05，小誤差概率p均為1.00，精度等級為1級。

3 結(jié) 論

通過在TUTGM中引入時距權(quán)重分配系數(shù)，按照累加生成和(或)累減還原過程的生成序列不同，構(gòu)建了4種不同的預(yù)測模型，并采用殘差組合修正模型對IUTWGM殘差序列進行修正，得到以下主要結(jié)論：

(1) 累加過程引入權(quán)重分配系數(shù)預(yù)測模型和累加及累減過程均引入權(quán)重系數(shù)預(yù)測模型，計算得到的最優(yōu)擬合、預(yù)測值與TUTGM預(yù)測結(jié)果一致。

(2) 累減還原引入權(quán)重系數(shù)(IUTWGM)，優(yōu)化了累減過程中的生成序列，建立了前、后期沉降量之間的關(guān)系，提高了TUTGM的預(yù)測精度。

(3) 采用諧波變化生成的周期序列函數(shù)和正弦函數(shù)，克服了TUTGM對采集樣本數(shù)據(jù)隨機波動適應(yīng)能力差的局限性，經(jīng)修正后的IUTWGM預(yù)測精度有明顯提高，能夠較好地反映出建筑物沉降量的發(fā)展趨勢。

(4) IUTWGM-RCC的核心理論是灰色系統(tǒng)理論，是一種研究“小樣本”、“貧信息”及“不等時距”不確定性問題的新方法，對實測數(shù)據(jù)并無特殊要求和限制，同樣適應(yīng)于其他工程領(lǐng)域的變形預(yù)測。