例談角平分線、平行線、等腰三角形三者關系

江西省瑞金市第六中學 楊 斌

在幾何教學中，我們常常會發現圖形之間并非孤立的，而是你中有我，我中有你的一種感覺，有時甚至有“我的世界離不開你”的共生共存的依戀之情。而讓我們的學生真正能讀懂復雜圖形中隱含的這種關系，著實是一項必須訓練的思維和能力，同時對數學成績提高有很大的幫助作用。下面我們從人教新版初中數學八年級上冊82 頁一道課本練習題說起，例談角平分線、平行線、等腰三角形三者之間的關系。

一、模型來源

例1：如圖1，已知AD ∥BC，BD 平分∠ABC。

求證：AB=AD。

證明：∵AD ∥BC，

∴∠ADB ＝∠DBC，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠ABD ＝∠DBC，

∴∠ABD ＝∠ADB，

∴AB ＝AD。

結論：角平分線+平分線=等腰三角形。

是否可以這樣考慮？如果先有平行、等腰，能否得到平分線呢？于是有了下面的證明。

變式1：如圖2，已知AD ∥BC，AB=AD。

求證：BD 平分∠ABC。

證明：∵AB ＝AD

∴∠ABD ＝∠ADB，

∵AD ∥BC，

∴∠ADB ＝∠CBD。

∴∠ABD ＝∠CBD。

∴BD 平分∠ABC。

結論：等腰三角形+平行線=角平分線。

再想：是否先有平分、等腰，然后得出平行呢？于是有如下問題：

變式2：如圖3，已知BD 平分∠ABC，AB=AD。

求證：AD ∥BC。

證明：∵AB ＝AD，

∴∠ABD ＝∠ADB。

∵BD 平分∠ABC，

∴∠ABD ＝∠CBD。

∴∠ADB ＝∠CBD。

∴AD ∥BC。

結論：等腰三角形+角平分線 =平行線。

綜上，我們可以得出：角平分線、平行線、等腰三角形任意兩個做條件，都能得出第三個結論。為了更好地得出基本圖形（或者說題根），我們將符合上述特點的基本圖及變式圖展示如下：

圖1

圖2

圖3

圖4

如何更好地找準這樣的基本圖，產生審題的即認感，我們這樣來描述一下：過角平分線上一點作角一邊的平行線，與另一邊圍成的三角形是等腰三角形，或過角一邊上的點作角平分線的平行線，與另一邊延長線圍成的三角形是等腰三角形。

二、典例分析

例2：如圖5，在△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 經過點O 與AB、AC 相交于點M、N，且MN ∥BC，求證：△AMN 的周長等于AB+AC。

圖5

【分析】根據角平分線的定義可得∠ABO ＝∠CBO，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBO ＝∠BOM，從而得到∠ABO ＝∠BOM，再根據等角對等邊可得BM ＝OM，同理可得CN ＝ON，之后即可求出△AMN 的周長＝AB+AC。

【解答】∵BO 平分∠ABC，

∴∠ABO ＝∠CBO。

∵MN ∥BC，

∴∠CBO ＝∠BOM，

∴∠ABO ＝∠BOM，

∴BM ＝OM。

同理可得CN ＝ON，

∴△AMN 的 周 長＝AM+MO+ON+AN ＝AM+BM+CN+AN ＝AB+AC。

例3：如圖6，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分線交BC 于點D，點O 在AB 上，以點O 為圓心，OA 為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB 于點E，F。試判斷直線BC與⊙O 的位置關系，并說明理由。

【分析】連接OD，證明OD ∥AC，即可證得∠ODB ＝90°，從而證得BC 是圓的切線；

【解答】BC 與⊙O 相切。證明：連接OD，如圖7。

∵AD 是∠BAC 的平分線，

∴∠BAD ＝∠CAD。

又∵OD ＝OA，

∴∠OAD ＝∠ODA。

∴∠CAD ＝∠ODA。

∴OD ∥AC。

∴∠ODB ＝∠C ＝90°，即OD ⊥BC。

又∵BC 過半徑OD 的外端點D，

∴BC 與⊙O 相切。

圖6

圖7