泄水建筑物反弧急流水深的顯式解

寧利中， 張 珂， 寧碧波， 田偉利

(1.西安理工大學 省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室，陜西 西安 710048； 2.嘉興學院建筑工程學院, 浙江 嘉興 314001 ；3. 上海大學 美術學院, 上海 200444)

1 研究背景

泄水建筑物的水力特性是進行泄水工程設計的依據，關于泄水建筑物的水力特性的實驗研究、計算分析與數值模擬研究等，已經有許多成果[1-6]。這為泄水建筑物的設計提供了安全保證。在進行泄水建筑物下游水流消能防沖銜接方式分析時，必須依據泄出水流的水力參數。這些水力參數以水深最小，流速最大的收縮斷面的水力要素為代表。收縮斷面可看作泄出水流與下游消能防沖銜接的開始斷面。因此，收縮斷面的水力特性資料是計算水流消能方式的基本要素[1]。在設計泄水建筑物反弧段體形時也要用到收縮斷面的水力特性資料，許多研究已經發現泄水建筑物的反弧半徑是反弧段水深和流速的函數[7-13]。根據我國的重力壩、拱壩、溢洪道規范規定以及水工設計手冊建議，泄水建筑物的反弧半徑是隨著反弧段水深而變化的[14-17]。另一方面，在進行泄水建筑物反弧段動水壓力計算時也必須知道反弧水深。因此，泄水建筑物的反弧段水深是進行反弧半徑設計時的必要資料。

關于泄水建筑物的反弧段水深已經有了一些分析和實驗研究成果，分別給出了分析方程[8,18]和經驗公式[19-21]。由實驗給出的經驗公式由于實驗的條件、實驗參數變化范圍的限制，都有一定的應用限制條件。文獻[18]建議的恒定急變流的能量方程，理論上更加合理但應用該方法時計算較復雜。本文基于恒定急變流的能量方程對泄水建筑物的反弧水流進行分析，在此基礎上，對恒定急變流的能量方程建立的反弧段水深方程，通過級數展開近似處理，得到泄水建筑物反弧水深的顯式解。經過誤差分析，在實際工程的參數變化范圍內，本文建議的泄水建筑物反弧水深的顯式解具有足夠的精度。同時，計算工作量大幅減少。

2 反弧段流動的分析

對于圖1所示的溢流壩的過流，水流從壩頂下泄時，勢能逐漸轉化為動能，水深沿程減小，流速沿程增大。到達壩址的c-c斷面，流速達到最大，水深變得最小。這個斷面稱為收縮斷面，該處水深稱為收縮水深。收縮水深小于臨界水深。水力要素如圖1所示，hc代表收縮水深，m；P2代表從下游床面算起的壩高，m；H代表堰上水頭，m；v0代表0-0斷面流速，m/s；α0代表0-0斷面動能修正系數；g代表重力加速度，m/s2；E代表從下游床面算起的0-0斷面的水頭，m；E0代表從下游床面算起的0-0斷面的全水頭，m?，F在以收縮斷面底部為基準面，對壩前0-0斷面和c-c收縮斷面應用恒定急變流能量方程[18]，有：

(1)

(2)

則公式(1)變為：

(3)

為了討論方便，定義流速系數為：

(4)

式中:q為單寬流量，m3/(s·m)。公式(4)為計算收縮水深的基本方程。它可以改寫為：

(5)

(6)

為了獲得精確的收縮水深，對于流速系數φ0進行了大量的研究，它取決于泄水建筑物的形式，尺寸；與反弧半徑，壩面粗糙度，單寬流量等影響因素有關。已經有許多研究成果。系數k可按文獻[18]對圓柱反弧體形時同心圓理論的分析結果取值。由于在某些情況下反弧水流并不符合同心圓假定[8,19]。因此，也可以按照文獻[8]的處理直接給出考慮急變流的流速系數φ的數值。由于公式(4)是關于hc的三次方程，不容易直接求解，一般通過式(5)用試算法或者迭代法求解。為了計算的方便，本文將尋求收縮水深hc的顯式近似解。

圖1 溢流壩泄水示意圖

3 反弧段急流水深的顯式近似解

3.1 顯式近似解1

將公式(6)變形，得:

(7)

(8)

考慮流能比，將公式(8)取前兩項代入公式(7)，得:

(9)

公式(9)變形，得:

(10)

求解公式(10)，得收縮水深的計算式為:

(11)

3.2 顯式近似解2

(12)

將公式(12)取前兩項代入式(6)，得：

(13)

公式(13)變形，得收縮水深的計算式為:

(14)

4 顯式解的誤差分析與討論

對于一般的溢流壩反弧段的流能比K在0.01到0.30之間變化，對于有閘門或者無閘門控制的溢流壩反弧段急變流流速系數φ在0.85到1.0之間變化。下面分析近似解(11)和近似解(14)與精確解(6)的誤差。表1給出了不同流能比和不同流速系數情況下近似解(11)與精確解(6)的誤差。它們的結果如圖2所示。

表1 顯式近似解公式(11)與精確解公式(6)的比較

表2給出了不同流能比和不同流速系數情況下近似解(14)與精確解(6)的誤差。它們的結果如圖3所示。

由表1、2可以看出，(1)隨著流能比的減小，由顯式近似式計算的反弧急流水深與精確解的誤差變?。浑S著流速系數的增大，由顯式近似式計算的反弧急流水深與精確解的誤差減??；(2)顯式近似解(11)與精確解的最大誤差為1.85%，顯式近似解(14)與精確解的最大誤差為4.24%，最大誤差都發生在流速系數φ=0.85、流能比K=0.3的情況下。在小流能比情況下，顯式近似解與精確解的誤差更小。流能比K≤0.05的情況下，顯式近似解(11)與顯式近似解(14)的誤差均為零。在大流能比情況下，顯式近似解(11)的誤差小于顯式近似解(14)的誤差。顯式近似解(11)在流能比K≤0.2的情況下，誤差小于0.7%。 顯式近似解(14)在流能比K≤0.15的情況下，誤差小于0.75%；(3)在實際工程的水力參數變化范圍內，本文給出的顯式近似解公式(11)和顯式近似解公式(14)都有足夠的精度，并且兩公式均為簡單顯式函數，它們都可以應用到實際工程的水力計算中。從精度方面考慮，優先推薦顯式近似解(11)。

表2 顯式近似解公式(14)與精確解公式(6)的比較

圖2不同流速系數情況下顯式近似解公式(11)的誤差隨著流能比的變化 圖3不同流速系數情況下顯式近似解公式(14)的誤差隨著流能比的變化

5 結 論

(1)基于恒定急變流的能量方程對于泄水建筑物的反弧水流進行分析，對恒定急變流的能量方程建立的反弧段水深方程應用級數展開近似處理，得到泄水建筑物反弧急流水深的顯式解。

(2)反弧急流水深的精確解和顯式解的誤差分析表明，當急變流流速系數φ在0.85到1.0之間變化，流能比K在0.01到0.3之間變化時，誤差隨著流速系數φ的增大而減??；誤差隨著流能比K的減小而減小。顯式近似解(11)與精確解的最大誤差為1.85%，顯式近似解(14)與精確解的最大誤差為4.24%，最大誤差都發生在流速系數φ=0.85、流能比K=0.3的情況下。

(3)在上述流速系數和流能比的變化范圍內，本文建議的反弧急流水深顯式解具有形式簡單、計算方便、又具有足夠精度的特點。因此，可應用于實際工程的的水力計算與設計。