巧用數學建模解決實際應用問題

連錦釗　莊河

摘 要：數學建模是數學六大核心素養之一，它是解決實際應用問題必備的素養，構建數學模型解決實際問題的關鍵是用數學語言、思想、方法等表達所要研究的生活中實際應用問題，也就是構建數學模型的應用，數學素質教育發展的靈魂所在。在信息技術高速發展、計算機廣泛應用的今天，構建數學模型并借助現代化信息手段解決實際應用問題已成為推動數學科學技術廣泛應用的重要途徑。

關鍵詞：數學;模型;實際應用問題

因為當前中學數學建模課程教學的理論研究與日常生活的實際應用之間還存在著較大的距離，即存在著來自多方面的因素，因此研究數學建模是很有必要。以下是個人結合日常建模中的教與學存在的問題做一些歸納：

1. 從教師方面看，中學數學教師覺得數學建模課程教學信息量大而且新穎，甚至有些一線教師感到要靈活自如地應對生產生活等實際應用問題有一定難度;

2. 從學習者方面看，大多數學生對普通的數學應試比較適應，而不習慣數學建模題型，由于傳統的數學測試很容易讓學生抓住某答題訣竅技巧并且在類似的測試中比較容易獲得成績，而數學建模題型具有一定的生活實際等特征，因此難度增大;

3. 從認識方面看，因為學生要面臨著來自各種各樣的考試，因此學習壓力普遍較大。中學數學老師覺得數學建模課程備課量較大，并且要花費大量的時間與精力，擔心沒有足夠課時去處理數學建模的教學，同時生活實際應用資料太多而且新穎，甚至有的老師還在想數學在其他領域的應用是否應該屬于數學的教學范圍。

一、 構建數學模型解實際應用問題的一般過程

（一） 分析理解題目

分析問題的實際意義并且用已學過的數學變量來解析問題中的信息，把實際應用信息轉化為數學語言;

（二） 假設適當變量

弄清所給題目信息，假設問題中的變量，并注明實際意義的范圍;

（三） 構建數學模型

依題意得出變量、參數之間的數學關系;

（四） 求解數學模型

利用掌握的數學知識、思想、方法技巧等求解所得的數學模型;

（五） 檢驗所求模型

檢驗所求的解是否滿足生活實際應用問題;

（六） 評價與作答

若檢驗所求的數學模型與生活實際應用問題相符，則對計算所得的結論做出恰當的解釋并注意給出問題的實際意義，然后標明所構建的數學模型中變量的實際運用范圍。相反，若所構建的數學模型與實際生活問題出入較大，則應對該數學模型進行必要的改進，并重復上述過程直至所得數學模型完全符合實際應用問題為止。

二、 下面列舉幾個常見的構建數學模型解決實際問題案例

（一） 函數模型

通過觀察圖象（或散點圖等）收集分析變量變量間的關系，并且構建符合實際問題的數學函數模型。利用計算工具處理數據，常用定義法、待定系數法等列出符合題意的數學函數模型。

例1 某商店出售商品進價為每件80元，若銷售價為每件100元，則每天可以出售100件該商品。若售價調低10x%，則售出的商品數量就會增加85x成（售價≥成本價）。

（Ⅰ）如果商店一天的銷售額為y元，求y關于x的表達式并寫出x取值范圍;

（Ⅱ）如果這種商品一天的營業額不少于10260元，求x的取值集合。

（二） 規劃模型

現實生活中存在著各種各樣的“優選”“控制”等實際應用問題，通常構建數學中的不等式模型、線性規劃模型等來求解。

例2 某運載企業現有駕駛員12人和工人19人，該企業7輛載重量為6噸的Q型卡車和有8輛可載重量為10噸的P型卡車。現由至少72噸貨物需送達A地，要求派用的車輛需載滿且一次運完，P型卡車需配工人2名，一次運送可獲利450元;Q型卡車需配工人1名，一次運送可獲利350元。該企業如何恰當安排一天派用的兩類卡車數輛可得最大利潤。

（四） 導數模型

隨著微積分的廣泛應用，運用導數解決實際生活中的最值問題比比皆是。在充分理解實際問題中各種變量間關系的同時，構造出符合實際問題需要的數學函數模型f（x），并根據實際意義確定定義域;求解方程f′（x）=0得出定義域內的實根，確定極值點;獲得所求的最大（小）值;還原實際問題并作答。

例4 某商家從銷售某種商品的經驗顯示：該商品的日銷售量

y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足函數式y=ax-3+10（x-6）2（其中：3

（Ⅰ）求a;

（Ⅱ）當該商品成本為3元/千克時，求商場每天的最大利潤，此時銷售單價x為多少？

分析：（Ⅰ）由題意得x=5時，y=11，故a2+10=11。即a=2。

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，該商品的日銷售量y=2x-3+10×（x-6）2，

所以所獲得的利潤

f（x）=（x-3）2x-3+10（x-6）2

=2+10（x-3）（x-6）2得：

f′（x）=10[（x-6）2+2（x-3）（x-6）]

=30（x-4）·（x-6），（3

令f′（x）=0得x=4

所以f（x）在區間（3，4）上單調遞增，在區間（4，6）上單調遞減。

由此可得，x=4是函數f（x）在區間（3，6）內的極大值點，也是最大值點。

所以，當x=4時，函數f（x）取得最大值，且最大值f（4）=42。

答：商場每日銷售該商品所獲得的最大利潤是42元，此時銷售價格為4元/千克。

（五） 不等式模型

在應用不等式解決實際問題時，要注意四點：

（1）設變量時一般把要求最值的變量定為函數;

（2）建立相應的函數關系式，確定函數的定義域;

（3）在定義域內，求出函數的最值;

（4）回到實際問題中去，寫出實際問題的答案。

例5 某單位計劃投入3200元建造一長方體倉庫，高度一定，它的后墻可利用現成的舊墻（不花錢），正面為鐵柵，每米造價40元，兩側墻砌磚，每米造價45元，頂部每平方米造價20元。請問倉庫底面積S的最大值為多少？當實際投資不超過預算時，如果S達到最大時，那么正面的鐵柵應設計為多長？

解：設鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則有S=xy。

由題意得40x+2×45y+20xy=3200。

由均值不等式得

3200≥240x·90y+20xy=120xy+20xy

=120S+20S。

∴S+6S≤160。即（S+16）（S-10）≤0。

∵S+16>0，∴S-10≤0，即S≤100。

所以，S最大值為100，

此時40x=90y，且xy=100，

可得x=15，故鐵柵的長應為15米。

（六） 概率模型

當前正處于大數據時代，為了得到有用的結論經常通過收集數據進行分類統計，然后應用統計與概率等的基礎知識、基本思想或方法等構建數學模型來求解有關統計概率的實際生產生活問題。

三、 小結

培養學生構建數學模型以及運用模型解決實際問題的能力，既是數學教學的目標，也是提高學生數學核心素養的手段。在教學中，要使學生了解生活，體會現實中充滿著數學。讓學生從數學研究的角度出發，舍去無關因素和次要因素，保留其重要的數學關系，形成數學模型并解決實際問題。所以構建數學模型是解決實際問題的一種方法、一種技術、一種意識。

作者詳細通訊地址：福建省泉州第十六中學

作者簡介：連錦釗，莊河，福建省泉州市，福省泉州第十六中學。