奇妙的圓形空腔內的勻強場

嚴燦云

(江蘇省通州高級中學，江蘇 通州 226300)

在高中物理競賽的學習中,研究了一類重要的問題,就是“場”,其中包括引力場、電場、磁場.這些場的空間分布與場源有著很重要的關系.本文中筆者跟大家分享一類特殊的場:圓形空腔中的勻強場.

1 圓形空腔中的勻強引力場

如圖1,行星上有一個以表面A點到球心O作為直徑的球形空腔,設行星密度為ρ,半徑為R.現從A點處無初速的掉入一物體,試求物體從A點掉到O點所用的時間.

解析:要解答這個問題,需要知道球形空腔內的引力場的重力加速度.如圖2,設空腔球心為O′,在空腔內任取一點P,P點的重力加速度可以理解為密度為ρ的實心大球和密度為-ρ的實心小球在P點的重力加速度的合成.

圖1

圖2

實心大球在P點產生的重力加速度

實心小球在P點產生的重力加速度

故

圖3

2 圓形空腔中的勻強電場

圖4

如圖4所示,在半徑為R,電荷體密度為ρ的均勻帶電球體內部挖去半徑r的一個小球,小球球心O′與大球球心O相距為a,試求O′點處的電場強度,并證明空腔內電場均勻.

圖5

解析:圓形空腔中的電場,亦可以看成是電荷體密度為ρ的大球和電荷體密度為-ρ的小球共同產生的電場的合成.如圖5所示,在空腔內任取一點P,大球在P點的場強為

同理,小球在P點的場強為

故

3 圓柱形空腔中的勻強磁場

圖6

一半徑為R1的無限長金屬圓柱體內挖去一半徑為R2的小圓柱體,兩柱體的軸線平行,俯視圖如圖6,圓心分別O1和O2,rO1O2=a.金屬圓柱內有沿軸向流出紙面外的電流,電流密度均勻且為j.求小圓柱面內(空腔內)磁感應強度.

圖7

解析:空腔內的磁場可以看成是大圓柱內流出的電流和小圓柱內流入的電流產生的磁場的合成.無限長通電直導線周圍的磁場的求解可以用環路定理求解,空腔內任取一點P,如圖7,大圓柱內的電流在P點產生的磁場可由環路定理求解,B1·2πrO1P=μ0j·πrO1P2,可得

同理,小圓柱在P點產生的磁場為

P點的合磁場為

4 圓柱形空腔中的勻強感生電場

一無限長圓柱,偏軸平行的挖出一個圓柱空間,兩圓柱軸間距OO′=d,圖8所示為垂直于軸的截面.設兩圓柱間存在均勻磁場,磁感應強度B隨時間t線性增長,即B=B0+kt.現在空腔中放一與OO′成60°角、長為L的金屬桿AO′B,求桿中的感生電動勢.

圖8

解析:先求解空腔內的感生電場.圓柱內的感生電場可以看成是大圓柱內的垂直于紙面向里增加的磁場和小圓柱內垂直于紙面向外增加的磁場共同產生的.在空腔內任取一點P,P點感生電場的矢量圖如圖9,由法拉第電磁感應定律可求得大圓柱內變化的磁場在P處產生的感生電場,得

同理,小圓柱內變化的磁場在P處產生的感生電場,

P處的合電場為

圖9

圖10

結語:上面討論的4種情形,其實對應了中學階段學習的4種場,對應這4種不同的場居然都有圓(柱)形空腔內的勻強場存在,不得不說是件很奇妙的事情,但是,回頭看看之所以會有這樣的結論,其本質是因為場強和位置矢量之間是一次函數關系;另外,他們的處理方法相似,都是采用 “正負抵消”法來處理空腔內的問題的．