多摩擦點平衡系統(tǒng)何處先達最大靜摩擦狀態(tài)的判定3法

李衛(wèi)平 李興春 劉 麗 羅強生

(西華師范大學物理與空間科學學院,四川 南充 637009)

在力學系統(tǒng)平衡的題目中,涉及到靜摩擦力的力學系統(tǒng)平衡的題目一般是較難的,而當力學系統(tǒng)中的摩擦點不止一個時,題目便會顯得更難. 這類題目之所以難,不僅是因為存在多個摩擦點,使大小、方向均可隨條件變化的靜摩擦力個數(shù)增多,而更主要的是,題目往往將系統(tǒng)直接或間接置于平衡狀態(tài)即將打破的臨界狀態(tài)——多摩擦點中的某些或全部處于靜摩擦力達到最大的狀態(tài). 正因為如此,有關多摩擦點系統(tǒng)平衡的題目便頻頻在歷年的全國高中物理奧賽中出現(xiàn).

解決上述涉及多摩擦點系統(tǒng)平衡的題目,通常采用的方法是:不事先判斷何處先達最大靜摩擦狀態(tài),而是根據(jù)一般剛體的合外力為0、合外力矩為0的平衡條件列出系統(tǒng)的各個部分及整體的一般平衡方程,并列出各個摩擦點不出現(xiàn)相對滑動時靜摩擦力滿足的特殊平衡方程——fi≤μiNi. 再通過聯(lián)立求解這些平衡方程,并輔之以根據(jù)題目特殊結構的一些分析、判斷和計算,從而最終求得題目要求的結果. 這種方法的好處在于其普適性,這也正是其被通常采用的原因. 但這種方法也存在一些不足: (1) 各摩擦點靜摩擦力的變化的物理過程不明晰,甚至題目雖然解出來了,但卻不知道各個摩擦點究竟哪些達到最大靜摩擦狀態(tài)哪些未達到最大靜摩擦狀態(tài). 從教學的角度看,這不利于培養(yǎng)學生的物理才能.(2) 由于各摩擦點均需列出靜摩擦力滿足的式子,所以式子數(shù)量較多,且這些式子均是不等式形式的,對其進行分析、判斷一般往往較為繁瑣.

其實,在這類涉及多摩擦點系統(tǒng)平衡的題目中,很多時候各摩擦點何處先達到最大靜摩擦是可以事先判斷的,先行判斷之后,再完成題目所要求的解答就變得較為明確和容易了.本文所要探討和概括的就是在3種特定情況下多摩擦點系統(tǒng)何處先達最大靜摩擦狀態(tài)的判定方法.

1 各摩擦點靜摩擦因數(shù)相同、摩擦力始終相等時的判斷

圖1

當各摩擦點靜摩擦因數(shù)相同時,壓力較大處的最大靜摩擦力便也較大.如果系統(tǒng)的結構又決定了各摩擦點處的靜摩擦力始終相等的話,那么當壓力較小的摩擦點處的靜摩擦力已達最大時,壓力較大的摩擦點處的靜摩擦力顯然尚未達到最大.于是,當各摩擦點處靜摩擦因數(shù)相同、摩擦力始終相等時便可根據(jù)各處的壓力大小進行判斷:壓力較小處必先達到最大靜摩擦狀態(tài).當然,如果壓力較小處的靜摩擦因數(shù)也較小的話,那么更可以斷定壓力較小處將先達到最大靜摩擦狀態(tài).

例1.如圖1所示,質量為m=10 kg的勻質圓柱體放在傾角為5°的楔和豎直墻壁之間,所有接觸處的靜摩擦因數(shù)均是μ,μ=0.25.不計楔的重量,求水平推力F為多大時才能推動楔?

圖2

解析:圓柱體的受力如圖2所示,圖2中,f1、N1及f2、N2分別為墻壁及楔對原柱體的摩擦力和壓力. 先確定圓柱體和墻壁的接觸處A與圓柱體和地面的接觸處B何處先達最大靜摩擦狀態(tài).

對圓柱體,由∑MO=f2r-f1r=0,即知

f1=f2.

(1)

(2)

由(2)式可知

N2>N1.

(3)

由(1)、(3)兩式以及A、B兩處的靜摩擦因數(shù)相等的條件,便可得知A處先于B處達到最大靜摩擦狀態(tài). 在A處達到最大靜摩擦狀態(tài)時

f1=μN1.

(4)

對圓柱體,由

(5)

由(1)、(2)、(4)、(5) 4式解得

N2=103.8 N,f2=3.0 N.

圖3

楔受力如圖3所示. 要推動楔子,所需的水平推力至少為

Fmin=f3+f2cos5°+N2sin5°=μN2cos5°+f2cos5°+N2sin5°.

將已得到的N2、f2之值代入,最終可計算出

Fmin=37.8 N.

2 各摩擦點靜摩擦因數(shù)相同、壓力始終相等時的判斷

當各摩擦點處的靜摩擦因數(shù)相同、壓力也始終相等時,各摩擦點處所可能達到的最大靜摩擦力也必定相等.如果系統(tǒng)的力學結構又決定了各摩擦點處的靜摩擦力大小始終不相等的話,那么,靜摩擦力較大處的靜摩擦力已達最大時,靜摩擦力較小處的靜摩擦力顯然尚未達到最大.所以,當各摩擦點處的靜摩擦因數(shù)相同、壓力始終相等時便可根據(jù)各處靜摩擦力的大小進行判斷:靜摩擦力較大處必先達到最大靜摩擦狀態(tài).當然,如果靜摩擦力較大處的靜摩擦因數(shù)較小的話,那么更可以斷定靜摩擦力較大處將先達最大靜摩擦狀態(tài).

圖4

解析:根據(jù)靜摩擦因數(shù)和斜面傾角的大小容易判斷,即使不加拉力A、B兩物體也不會沿斜面下滑, 所以拉力F的下限Fmin=0. 下面求其上限Fmax.

A物體與斜面間的壓力為

B物體與斜面間的壓力為

A物體與斜面間的靜摩擦力為

B物體與斜面間的靜摩擦力為

由于NA=NB,μA=μB=μ,fA>fB, 所以A物體較B物體先達到最大靜摩擦狀態(tài). 當A物體達到最大靜摩擦狀態(tài)時,所加的拉力達到允許的最大值. 此時

3 各摩擦點壓力、靜摩擦力始終相等時的判斷

當各摩擦點的壓力始終相等時,靜摩擦因數(shù)較大處可達到的最大靜摩擦力也較大.如果系統(tǒng)的力學結構又決定了各處的靜摩擦力始終相等的話,那么,當靜摩擦因數(shù)較小處已達最大靜摩擦狀態(tài)時,靜摩擦因數(shù)較大處顯然尚未達最大靜摩擦狀態(tài).所以,當各摩擦點處的壓力、靜摩擦力始終相等時,便可根據(jù)各摩擦點處的靜摩擦因素大小進行判斷:靜摩擦因數(shù)較小處必先達到最大靜摩擦狀態(tài).當然,如果靜摩擦因數(shù)較小處的壓力也較小的話,那么更可以斷定靜摩擦因數(shù)較小處將先達到最大靜摩擦狀態(tài).

圖5

例3.如圖5所示,質量為m的圓柱體擱置在傾角為45°的斜面與擋板所夾的直角中.圓柱體與斜面、擋板的摩擦因數(shù)分別為μ1=0.8、μ2=0.5. 擋板與斜面的摩擦因數(shù)為μ3=1.0,擋板的質量為2m. 現(xiàn)用垂直于擋板的力F推著擋板使圓柱體從靜止開始沿斜面緩慢向上運動, 求所需的F為多大.

圖6

解析:圓柱體沿斜面緩慢向上運動時,其受力如圖6所示,N1、f1及N2、f2分別為圓柱與斜面及圓柱與擋板的壓力和摩擦力. 可能圓柱與斜面的接觸處A處于滑動靜摩擦狀態(tài)而圓柱和擋板的接觸處B處于靜摩擦狀態(tài),圓柱作平動;也可能B處處于滑動摩擦狀態(tài)而A處處于靜摩擦狀態(tài),圓柱沿斜面作純滾動. 究竟是那種情況這需要先進行判斷.

由∑MO=N1R-N2R=0,可得知N1=N2.

由∑MC=f1R-f2R=0,可得知f1=f2.

又因為μ2<μ1,所以在圓柱體從靜止開始運動的過程中,必定是B先達到最大靜摩擦而后B處便開始滑動,圓柱體從而沿斜面向上作純滾動.

下面計算力F的大小為

對圓柱體,由∑MA=0得到

(1)

又有

f2=μ2N2.

(2)

圖7

對擋板,其受力如圖7所示.由沿斜面方向和垂直斜面方向上其所受合外力為0得

(3)

(4)

由(1)～(3)式解得

(N3>0表明擋板與斜面間確實存在壓力作用,不至于因為f2過大導致?lián)醢迮c斜面間的壓力消失)

將這些結果代入(4)式即得

4 結束語

上述3種方法指出了在3種特殊情況下如何判斷多摩擦點平衡系統(tǒng)何處達到最大靜摩擦.但在解答有關多摩擦點系統(tǒng)平衡題目時,不可機械套用這些方法.需注意以下3點.

(1) 在某些多摩擦點系統(tǒng)平衡題目中,系統(tǒng)的結構明顯決定了各摩擦點處的物體接觸部位將同步開始相對滑動,此時各摩擦點必定同時達到最大靜摩擦狀態(tài).在這樣的情況下,就不必再用上述3種方法進行判斷.

(2) 在某些多摩擦點系統(tǒng)平衡題目中,系統(tǒng)的結構和摩擦點處的靜摩擦因數(shù)決定了系統(tǒng)某些處或者處處會處于自鎖狀態(tài).這些處于自鎖狀態(tài)的摩擦點處必定不可能達到最大靜摩擦狀態(tài).在這樣的情況下,也同樣不必再用上述3種方法進行判斷.

(3) 多摩擦點系統(tǒng)平衡的題目并不限于上述3種特殊情況,上述3種方法是不可能對任何多摩擦點系統(tǒng)何處達最大靜摩擦狀態(tài)均能作出判斷的.在其他情況下,應如何對多摩擦點系統(tǒng)何處達到最大靜摩擦狀態(tài)作出判斷,是一個尚需探討的問題.