高中數學提升學生思維空間的思考和探究

張九州

浙江省杭州市臨安區於潛中學 浙江 杭州 311300

1 問題發散性

思維的聚合與發散是兩個不可分割的可逆的有機整體，大多數情況學生樂于聚合，尋找答案，聚合成唯一，這是一種習慣性思維，但發散性則相對薄弱，對這方面的思維進行訓練，樂于給學生做充分思考，并對想法作一個綜合性的匯總，有利于提升思維的立體空間

案例2、人教版選修2-3計數原理P5頁例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?

(先獨立做)發現一個學生，立馬請他回答

學生1：分三步，甲有2個位置，同樣乙、丙，共2×2×2＝8。

學生2：題目要求是選出兩幅掛出去就可以了，而他把三幅都掛出去了

學生3：分兩步，先從3幅中選1幅掛在左，再從剩下的兩幅中選出1幅掛在右就好了3×2＝6種

學生4拿著他的解法站起來，老師我的式子也是3×2，但想法不一樣的，不知道對不對?

學生5：前兩位同學的3×2其實可以歸結為映射問題，即把左右兩幅畫的位置作為集合A，把甲乙丙三幅畫看成集合B，即是從A到B的單映射有幾個。

學生6：分成三類，第一類，選出甲乙，掛出有2種，第二類選出乙丙，第三類甲丙同理，共2+2+2＝6

反思1：雖然這些想法很多，發散思維很豐富，但卻始終圍繞了計數原理中的分類分步原則，樹立了“形散而神不散”的風格。

反思2：從這個問題的背景來說再簡單不過了，之前學生也很不以為然，但是針對這個問題的發散后，改變了大多數同學看書本的態度，體現了“小問題，大思維”，“源于教材而高于教材”，變“教課本為用課本教”的理念，效果非常好，比講3個難題還要好，我想這歸功于還空間給學生，還主動給學生，因為有一位名家說過“學生的創造力是驚人的”，如果你給他一片云，他可能會還你一片天空。希望我們的學生能在廣袤的思維空間中自由翱翔。

2 問題質疑性

目前的教學現狀是追求問題的準確性和最優化，但很少對教材，思路，解法進行批判式的精神，這是不利的。在學習時變“接納式學習“為”批判式質疑“，無疑是可以提高學生認識事物的辯證思維空間

案例3、選修2-3，P59習題B1

甲、乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?你對局制長短的設置有何認識?

解：教參的標準答案是按照獨立重復實驗的方法，把甲贏的局數x看成對象，則P(x≥2)＝P(x＝2)+P(x＝3)＝0.620.4+0.63

但學生對于這個解法提出了質疑，

作業中的多數解法：令Ai表示第i次甲贏表示乙贏，

導向1：過右焦點F2和結論對換，即已知AB＝，求直線與x軸交

則P(A1A2)+PA2A3)+P(A1)＝0.62+2·0.4·0.66＝0.6286②

這符合生活常識，P(A1A2)即三局中先贏兩盤的為勝者，不須打第三盤，

難道教參有問題嗎?

答案也等于0.6286，兩者是偶然的嗎?他們是否有必然的聯系?很多學生面對這個問題也是百思不得其解，(學生困惑的眼神)

照理①其中的P(x＝2)＝C230.620.4都是按打滿三局來計算，是違背常理的。

課堂剖析；問題恰恰就出在兩者的結構上，兩相對比，就可看出其中端倪，②中的P(A1A2)是指即甲先贏兩局，第三局可贏可輸，包含了P(A1A2A3)和P(A1A2)兩種情形，而P(A1A2A3)就等于①中的P(x＝3)，并且P(A1A2)與②另外的兩者PA2A3)、PA2A3)合起來就是①中的P＝(x＝2)甲贏兩局的情況，至此真相大白。(學生若有所思，有感悟)

①P(x＝2) P(x＝2)② P(A1A2A3)P(A1 A2A3)P(A1 A2A3) P(A1A2A3)

反思 兩者解法存在答案的一致性并非是偶然的，標準答案就是按獨立重復實驗來書寫的，但作為過程的解答來說前者更合理，更符合生活常識，兩者之間有著必然的關聯，但教參的解答顯然不夠自然，不符合生活實際，具有片面性，并不是最優解，可以摒棄。

3 問題導向性

案例4、人教版選修2-1圓錐曲線P60頁例6

學生求解中，最后發現交點是(±3，0)兩個答案

導向2：能否不通過計算，直接給出答案?

通過作圖，學生很快發現斜率定，說明直線可以平行移動，恰好是過左、右兩個焦點，如圖(學生有點欣喜)

學生動手畫圖，發現直線可以繞右焦點旋轉，要保證弦長不變，剛好是兩條直線，并且對稱，答案是兩個正負根(學生很有成就感)

如圖

導向4：是不是真的兩條，有沒有漏的?和右支相交有沒有考慮過?

(學生有點疑惑)繼續思考

發現與右支相交是不可能的，原因在于在右支上的最短弦長僅為43＞

結束語

總結出的結論讓學生充滿興趣和樂趣，課堂氣氛更活躍了，學習的情趣更高了，學習的積極性更強了。