“四度”并舉 破解“地球衛星”教學難點

摘?要：“地球衛星”模型是高中物理教學中的難點之一。由于該模型用到的定律多，公式變形多，加之衛星運行軌道花樣多，所以學生很難掌握。通過一道經典考題的模型建構，引導學生進行發散思維，“四度”并舉，或許是破解這一教學難點的有效方法。

關鍵詞：衛星;周期;變規;能量

模型與建模是科學發展的重要元素，是科學學習中不可或缺的認知與能力，也是培養學生科學思想與創新意識的重要途徑。如果讓學生通過建立“地球衛星”模型，將衛星運行的主要參量濃縮成“四度”結論，從數學表達中找出規律，一定會有“柳暗花明”般的徹悟。

一、 “地球衛星”模型

人造衛星受地球的萬有引力作用下繞地球運行，軌道無論是圓形、橢圓形還是雙曲線軌道等，都要解決好運行過程中的“供——需”關系。地球提供給衛星的萬有引力F萬=GMmr2，衛星運動需要的向心力F向=mv2r（或mrω2或mvω）。若F萬=F向，則衛星繞地心做勻速圓周運動，可定量計算衛星運行的速度、加速度等參量;若F萬≠F向，由功能關系可定性分析衛星運行的軌道變化、能量變化等參量。

二、 “地球衛星”模型中“四度”結論

衛星運行問題涉及的物理參量有很多，需要學生推導并記住“四度”結論，即衛星繞地心做勻速圓周運行的加速度、線速度、角速度以及中心天體的密度，這是快解衛星運行問題的基礎。

（一） 人造衛星運行的加速度a

a=Fm;a=GMr2r=Rg=GMR2;a=V2r=rω2=Vω

（二） 人造衛星繞地球運行的線速度v

V=St;V=2πrT;V=GMrr=RVI=GMRGM=gR2VI=gR=7.9km/s;V=rω;宇宙速度V1=7.9km/s，V2=11.2km/s，V3=16.7km/s

（三） 人造衛星繞地球運行的角速度ω

ω=θt;ω=2πT;ω=GMr3r=RωI=GMR3GM=R2gωI=gR

雙星繞質心的角速度：ω雙星=G（m1+m2）L3（m1、m2為雙星的質量，L為雙星間的距離）

（四） 中心天體的密度ρ

ρ=MV;ρ=3πGT2I（TI為近地衛星運動周期）;ρ=3V2I4πR2G（VI為近地衛星運動線速度）;

ρ=3g4πRG（g為中心天體表面加速度，R為中心天體的半徑）

三、 拓展一道經典考題

如圖，地球半徑為R，質量為M，某次發射遠地圓軌道衛星時，先讓衛星進入一個圓軌道Ⅰ，此軌道半徑為R1，衛星在軌運行周期為T1;然后在P點變速進入橢圓轉移軌道Ⅱ，在此軌道運行的衛星周期為T2;到達遠地點Q時再次變速，進入遠地軌道Ⅲ，此軌道半徑為R3，周期為T3，軌道Ⅱ的近地點為軌道Ⅰ上的P點，遠地點為軌道Ⅲ上的Q點，已知R3=2R1=4R。

拓展一（重力加速度與衛星運行的向心加速度問題）

衛星沿Ⅰ軌道過P點加速度aP1與沿Ⅱ軌道過P點加速度aPⅡ大小關系：aP1?aPⅡ?g（g為地球表面的重力加速度）;衛星沿Ⅰ軌道過P點加速度aP1與沿Ⅱ軌道過Q點加速度aQⅡ大小關系：aP1?aQⅡ。（填“>”“<”或“=”）

解：由牛頓第二定律GMmr2=ma和GMmR2=mg可得aP1=aPⅡaQⅡ。

拓展二（衛星運行速度與宇宙速度問題）

①衛星走Ⅰ軌道過P點速度VPⅠ與走Ⅱ軌道過P點的速度VPⅡ的關系：VPⅠ?VPⅡ?11.2km/s;衛星走Ⅰ軌道過P點速度VPⅠ與走Ⅱ軌道過Q點的速度VQⅡ的關系：VPⅠ?VQⅡ（填“>”“<”或“=”）;由Ⅰ軌道過渡為Ⅱ軌道在P點應?速（填“加”或“減”）。

②衛星走Ⅰ軌道的速度VⅠ與沿Ⅲ軌道運行的速度VⅢ關系為：VⅢ?VⅠ?7.9km/s。（填“>”“<”或“=”）

③衛星在Ⅱ軌道上運行的速度范圍為?。

④衛星由Ⅲ軌道運行轉移到Ⅱ軌道運行，在Q點應?速（填“加”或“減”）。

⑤如果從地球上發射的衛星繞月球后又回到地球，則發射速度應不超過km/s。

解：①衛星走Ⅰ軌道過P點滿足GMmr2=mV2PⅠr，衛星走Ⅱ軌道過P點滿足GMmr2mv2PⅡr′（r′為衛星軌道曲率半徑），由此可得VPⅠVQⅡ;由Ⅰ軌道過渡為Ⅱ軌道在P點應加速。

②衛星走Ⅰ軌道和Ⅲ軌道均為正圓運行，因此線速度關系為：VⅢ

③衛星在Ⅱ軌道上運行在近地點若距地面高度可忽略，速度應大于7.9km/s，近地點若距地面高度為地球半徑，速度應大于5.6km/s，因此衛星繞地球運行的速度范圍為0

④衛星由Ⅲ軌道運行轉移到Ⅱ軌道運行，在Q點應減速。

⑤如果從地球上發射的衛星繞月球后又回到地球，則發射速度應不超過11.2km/s。

拓展三（衛星變軌運動中的功能關系問題）

①衛星在軌道Ⅰ、Ⅲ上運行具有的機械能分別為E1、E3，則E1?E3（填“>”“<”或“=”）。

②衛星在Ⅱ軌道上運動機械能守恒嗎？?向心力等于萬有引力嗎？?衛星完全失重嗎？?。

③衛星在Q點由Ⅲ軌道變為Ⅱ軌道，衛星的動能?，總機械能?，衛星從Q點到p點動能?。（填如何變化？）

解：①由引力勢能公式EP=-GMmr可知衛星在軌道Ⅲ上運行具有的引力勢能較大，機械能E1

②衛星在Ⅱ軌道上運動只有萬有引力做功，故機械能守恒。但在非近地點和非遠地點向心力不等于萬有引力。衛星處于完全失重，但重力不等于零。

③衛星在Q點由Ⅲ軌道變為Ⅱ軌道時，衛星的動能必須減少，即總機械能減少，衛星從Q點到p點引力做正功，所以動能又不斷增大。

拓展四（中心天體與環繞天體的密度問題）

如果已知衛星沿Ⅰ軌道繞地球運行的周期T1（不是近地衛星運行周期TⅠ）和軌道半徑為R1，則地球的密度表達式為ρ=?;如果已知衛星沿Ⅰ軌道繞地球運行的線速度V1和軌道半徑為R1，則地球的密度表達式為ρ=?;如果已知地球表面的重力加速度g和地球半徑為R，則地球的密度表達式為ρ=?。

解：已知衛星沿Ⅰ軌道繞地球運行的周期T1和軌道半徑為R1，則地球的密度表達式為ρ=3πR31GT21R3;已知衛星沿Ⅰ軌道繞地球運行的線速度V1和軌道半徑為R1，則地球的密度表達式為ρ=3V21R14πGR3;已知地球表面的重力加速度g和地球半徑為R，則地球的密度為ρ=3g4πRG。

綜上所述，在正確建立“地球衛星”模型的基礎上，通過對一道經典考題的多維拓展，一題多問，一題多變，“四度”并舉，一題多得，基本上一網打盡了衛星運行的各類問題，培養了學生的發散思維能力和歸納總結能力，大大減輕了學生的作業負擔，提高了教學效率。

參考文獻：

[1]邱美虹.模型與建構能力之理論架構[J].科學教育月刊，2008：2-9.

[2]寧鵬程.圓周運動中的追及問題[J].數理天地（高中版），2011（2）：43-44.

作者簡介：

張永富，湖北省丹江口市，湖北省丹江口市第一中學。