數形結合在小學數學教學中的應用

摘?要：數形結合的思想是小學數學學習中一種重要的思想方法和理解數學、學好數學的有效手段。數形結合的兩個要點是“以形示數”和“由形到數”，通過這兩個要點達到數形結合的目的，為小學生的解決數學問題、形成數學意識、發展數學思維而服務，從而產生長期穩固的作用于學生的數學學習生涯，使抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化，從而達到提高學生數學素養和高效數學學習的目的。

關鍵詞：小學數學;數形結合;以形示數;由形到數

一、 前言

小學是一個人認知世界的第一個正式、法定的階段，也是開始系統學習數學階段。在2001年頒布的《義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，提出“學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”2011年出臺的《義務教育數學課程標準》在總目標中提出“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”但由于小學生的思維深度存在一定的局限性，因此，利用“數”與“形”的優勢互補，使學生改變關注問題的表述和形式轉向問題的內在含義，從而實現了抽象與形象思維的有機結合。

數形結合的兩個要點是“以形示數”和“由形到數”。“以形示數”是用簡單的圖形表示數字問題，“由形到數”是推廣問題，使用純數學表達。數形結合思想具有的教育價值：一是促進了小學生對于數學知識的學習，二是發展小學生解決實際數學問題的能力，三是促進了學生觀察能力、直覺思維、形象思維、創造性思維等多種能力的提升。

二、 數形結合教學的理論依據

數學來源于生活同時應用于生活，因此數學學習的目的是為了解決生活中的實際問題。如果讓小學生只進行單純“數學”知識的學習而完全脫離實際，既背離了數學學習的初衷，也會讓數學學習變得晦澀、枯燥甚至是乏味。同樣只是利用“圖形”的方法去解決數學問題，而沒有用理論去抽象和拔高相應的理論，也無法使學生完全掌握相應的知識，更無法在實際生活中對數學的應用做到順手拈來。

故數學教學必需要做到兩個層次——“以形示數”和“由形到數”。第一個層次是“以形示數”，用“形”來助力解決“數”，借助形，認識數、運算數、整理數。發現數的規律，理清數量關系，解決數的問題，使得理論知識做到有的放矢，做到數學應用到生活的具體方面。第二個層次是“由形到數”，運用數學符號和數學語言，使得相應的應用擴寬。從而認識和測量圖形，進而生動描述圖形的位置和運動過程，促進空間觀念形成，使得具體問題在理論上的推廣，服務于更多方面，激發學生的學習樂趣與激情。

三、 數形結合的幾個例子

（一） 兩位數乘法問題

三年級人教版對兩位數乘兩位數的標準數學解法是列豎式計算法。例如23乘以26，國內教學的解法通常是運用列豎式計算，可以算出結果是598。（具體運算如圖1.1）。而國外有一種解法是通過畫線法，分別畫出2，3，2，6的四組線，分別表示2、3和2、6，然后將它們的交叉點分為三個部分，分別代表個位、十位、百位，清點各部分交點的數目后進行累加，便能得到最后的答案為598。（具體運算如圖1，2）。

國外的這種乘法解法相較于國內的列豎式計算解法而言有兩個優點：一是學生不需要背誦九九乘法表;二是僅需要了解多位數加法的運算。可以發現，運用畫線法，只需要掌握簡單的基本知識，小學生就能夠輕松地解出23乘以26這類較為復雜的計算題。

（二） 奇數數列求和問題

舉一個奇數數列相加求和的例子，例如計算1+3+5+7+9+11+13，這個數列的和。面對該類問題時，由于小學生尚未涉及數列的相關知識，教師在教學時可以通過數形結合的方式來提點，即以小球表示數字，再將小球依數列規律擺放成正方形，最后利用正方形的面積等于邊長的平方這一定理，巧妙地將計算題轉變為圖形，求出該數列的和。

（三） 集合問題

人教版小學數學三年級上冊中有關于集合的例題：已知參加跳繩比賽的同學有楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛華、馬超、丁旭、趙軍、徐強，參加踢毽比賽的同學有劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強，請問參加這兩項比賽的共有多少人？解決該問題時，小學生容易被復雜的信息量所困擾，解題時往往會直接累加來得到結果。因此可以通過繪制韋恩圖的方式，清楚地觀察出重復的學生數，使學生能夠直觀地理解重疊部分的意義并得知計算時要減去重復的學生的個數，進而得出參加兩項比賽的總人數。

（四） 植樹問題

植樹問題對小學生而言是十分抽象的，“兩端都栽”“只栽一端”“兩端都不栽”這幾種植樹的方式常常讓小學生暈頭轉向，分不清要用哪個計算公式，導致結果的錯誤。而通過直觀的“畫線段圖”的方式可以讓學生直觀地明晰題意。例如：同學們要在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（只栽一端），一共要栽多少棵樹？可引導學生通過畫線段圖的方式作答，畫一段來代表20米的線段，再等比例地在原線段上標出代表5米的線段，便能直觀地得出答案，即可得到要栽樹的數目。

四、 “以形示數”的意義

對于小學生而言，單純講數學理論太過于抽象晦澀，難以理解;且如果數學里只有無窮的公式和算理算法，那么就太過于枯燥。通過“以形示數”的方式，可以讓學生通過觀察圖形、觸摸圖形、繪制圖形等活動，有效地參與到數學課堂中，全身心地進行愉悅的數學學習，進而充分激發起學生學習數學的興趣，產生學習熱情。此外，“以形示數”的方式將抽象的數學知識直接形象地展示在學生的眼前，將復雜問題簡單化，能夠有效地引導學生理解掌握知識，避免了煩瑣的記誦過程。在數與形的轉化過程中，也能起到培養鍛煉學生的抽象思維能力和邏輯思維能力的重要作用，為學生以后的數學學習生活打下堅實的基礎。

五、 “由形到數”的推廣

如果僅僅使用圖形來解決數學問題是快樂的，但也是煩瑣的。例如：畫線法計算乘法結果，需要耗費很多時間畫線與清點交叉點。圖形法解奇數數列求和問題需要畫足夠多的圓圈來求解得到結果。同時隨著問題中的人數、物體的數目等信息量逐漸增多，通過具體的圖形來解決問題也變得越來越復雜，顯得浪費時間，并不符合解決數學題目的實際需求。這時候教師就需要將教學的精力集中于“由形到數”的轉換。那么如何完成“由形到數”的推廣呢？

首先，讓學生明確圖形方法的局限，知形不足。要讓學生明白總是依賴圖形解決問題并不適用于所有情況，了解使用數學中的公式、定理解決數學問題的必要性。“以形示數”一般來說有幾個不足：一是解題需要繪制大量圖形，浪費了大量的時間、精力;二是解題的正確性也依賴于學生的繪圖能力，如果繪圖過程中出現偏差，很可能得不到正確的答案;三是即使畫出正確的圖形，計數的過程也是煩瑣的。如畫線法計算乘法結果，如果交點過多，學生在計算的過程中很容易產生混亂。這些不足也反映出“由形到數”的必要性。但對于孩子們來說，可能它們很難理解其中的不足，因此在教學中首先要強調繪圖法的局限性，通過實例讓學生切身體會到繪圖法的缺陷，從而激發學生進行“由形到數”學習過程的心理。例如《植樹問題》這一課時，若要在全長為100米的小路邊植樹，通過畫部分線段圖的方法，讓學生明白此方法會十分浪費時間，操作起來過于煩瑣。借此引出“復雜問題簡單化，探索規律”的解決問題的方法，推動學生“由形到數”。

其次，引導學生仔細觀察具體的圖形，由形悟數。小學生的思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，直觀的“形”對于他們而言是充滿樂趣的而且是可以理解的。通過認真觀察具體的圖形，他們可以慢慢從中發現規律、總結規律，從而完成“由形到數”的推廣。例如在《集合問題》中，通過觀察韋恩圖，學生能夠明白“重復”的意思，摸索出在解決此類問題的時候需要將重復的數量排除的數學規律。在《植樹問題》中，通過觀察線段圖，學生能夠明白在不同的情況下都需要先計算出間隔數，然后在此基礎上根據實際的情況進行加減1，進而得到所需要的樹苗數。除此之外，復雜的行程問題、雞兔同籠問題等都可以通過觀察具體的“形”，悟出“數”的規律。

六、 總結

綜上，數形結合思想作為一種重要的思想方法將貫穿于整個小學數學學習過程中。巧妙地將“數”與“形”結合起來，通過“由形示數”和“由形到數”兩個環節，讓直觀的圖形與奧妙的數學和諧相融，幫助學生建立數學的概念，理解相關的理論，培養學生學習數學的思維，使得學生能夠更加高效、順利地進行數學學習，奠定持續學習數學的基礎。

參考文獻：

[1]教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]汪渭芳.“數形結合”天地寬——數形結合思想在小學數學教學中的滲透與應用[J].小學教學參考，2010（17）：30-31.

[4]鄒貴德.淺議小學數學教學中“數形結合”思想的運用[J].讀與寫（教育教學刊），2015，12（12）：74.

作者簡介：

鄭廣成，福建省廈門市，福建福州教育學院附屬第三小學。