高中數學拔尖創新人才的課堂教學探析

馬 斌，楊艷華

(1. 江蘇省鎮江第一中學,江蘇 鎮江 212016; 2. 江蘇聯合職業技術學院鎮江分院 基礎部,江蘇 鎮江 212016)

拔尖創新人才是學生群體中的亮點,拔尖人才培養是學校教學水平的體現,是學校的名片,是學校工作的重心之一。拔尖人才的培養需要群策群力,統籌規劃[1]。無論是外部社會,還是內部教育行業,越來越重視拔尖人才的培養。

數學拔尖人才思維敏捷,邏輯嚴謹,想象力豐富,能直觀認識空間、抽象數學模型;條理性強,能輕松應對復雜情形;計算精準,能更快、更準地處理數據。他們對數學有著濃厚的興趣,知識面廣,對數學知識的綜合應用、多種方法解題、數學建模等有獨特的見解。其最明顯的特點是在數學競賽中能夠嶄露頭角。他們在良好的教育環境中學習自我控制,磨練耐性,培養創新能力和獨立解決問題的能力,逐步形成個性化的思維。學校教育對拔尖人才的培養具有不可替代的作用,數學教師對學生的學科專業引領不可或缺。

1 因材施教,適當補充和拓寬

課堂教學不能局限于課本知識[2],需要適當補充競賽內容和思想方法,甚至可以提前學習大學的部分課程,如高等代數、初等數論等。對知識點的補充和拓展不僅可以滿足競賽的需要,而且可以開闊學生的視野，拓展學生的思維[3]。

例如講解《對數的概念》時,讓學生回顧幾個看似不相關的問題: 1) 2+?=3，2+?=1,圓半徑×?=圓周長; 2) 2?=4,2?=8,2?=5,引發學生思考。當現有的“數”不能解答問題時,人們就會引入新的“數”(符號)。這一思想在《數系的發展——復數的引入》一節再次印證,即當實數不能表示方程x2=-1的根時,引入虛數這一概念。解答2?=5這個問題時,讓學生先考慮是否存在這樣的(實)數,以培養學生思維的完備性而不是機械地記憶符號。由指數函數y=2x的圖象可知,若作直線y=5,則該直線會與y=2x產生唯一的交點,這說明存在唯一的實數,使得2x=5。解決了這個數的存在性問題,引入對數的定義后,提問:既然存在唯一的實數log25,使得2x=5,那么這個數是有理數還是無理數?這個問題超出本節課的教學要求,但后期理科生需要學習反證法,且數論知識作為全國高中數學聯賽中二試的熱點也是必須掌握的，因此,引導學生嘗試用反證法。假設這個數是有理數,則可設log25=qp,其中p,q互質。于是,根據對數的定義可將其化為指數形式,即2qp=5,兩邊同時p次方得2q=5p,當p,q互質時,顯然2q為偶數,而5p為奇數,不可能相等,故假設不成立,即log25不是有理數。前面已知log25是實數,所以log25是無理數。如此,可以加深學生對對數定義的理解,同時,引入對數的兩個重要恒等式logaaN=N(a>0且a≠1)和alogaN=N(a>0且a≠1)。學生在理解中記憶公式,才會記得牢、記得久[4]。

2 注重思維訓練

拔尖人才的課堂教學要注重知識的連貫性和思維的啟發性,把握學生的最近發展區。學生將知識點串聯,融會貫通,才能站得更高、看得更遠[5]。

講解《對數的運算》時,教材分為對數的加、減運算,換底公式,對數恒等式等部分,很多學生一開始弄不清楚它們的聯系,使得記憶發生錯誤。將之歸納為對數的加、減、乘、除、乘方運算,學生非常熟悉和經常使用這些運算,很容易聯想其運算法則。加、減運算不作改動,引入對數的乘法運算,即

logab·logbc=logac

(a>0,b>0,c>0,a≠1,且b≠1)。

記憶時可類比分數的乘法,注意不是任意兩個對數都可以直接相乘的,必須一個對數的真數與另一個對數的底數相同。乘式改為商式就是對數除法,即

logaclogab=logbc(a>0,b>0,c>0,a≠1,且b≠1)。

從左向右看是對數的除法,從右向左看是換底公式。將陌生的事物轉化為熟悉的事物,是數學中的重要思想方法——轉化與化歸。乘方運算可歸結為

logaMbN=NMlogab(a>0,a≠1,且b>0)。

這樣一來,原本在學生看來雜亂分布的公式只需按照5種基本運算就可以熟記,大大減輕了學生的負擔,削弱了他們對陌生知識的恐懼感[6]210。

3 注重能力培養

思維是解題的核心,是教學的重中之重。對學生思維的培養應重于對知識和技能的傳授。而學生的思維發展是一個緩慢的、螺旋的、循序漸進的過程,不可生硬地強制訓練[7]119。

例1 已知數列{an}的通項公式為an=n2n,求{an}中是否存在3項成等差數列?

解設1≤par,若ap,aq,ar成等差數列,則

2aq=ap+ar,

即

2q2q=p2p+r2r,
2q·2r-q=p·2r-p+r。

(1)

因為r>0,所以

p·2r-p

即

2q-p<2qp。

(2)

令q-p=t,則t≥1,式(2)可化為

2t<2p+2tp=2+2tp。

1) 當p=1時,

2t<2+2t,

解得t=1或t=2。t=1時,p=1,q=2,r無解;t=2時,p=1,q=3,解得r=4。

2) 當p≥2時,

2t<2+2tp≤2+t,

解得t=1。此時,q=p+1,代入式(1)得

2(p+1)·2r-(p+1)=p·2r-p+r,

即

2r-p=r。

因為r-p≥2,所以令r=2k(k≥2,k∈N*),則

22k-p=2k,

即

2k-p=k。

所以p=2k-k,q=2k-k+1,r=2k,k≥2。

綜上,當p=1,q=3,r=4或p=2k,q=2k-k+1,r=2k(k≥2)時,ap,aq,ar成等差數列。

2017年的復習課上，考察等差(比)數列中是否存在等比(差)子數列時,有學生提出常見的等差(比)數列的對應項乘積構成的數列是否也存在類似結論,師生研究后得出以上相對簡潔的論證。

4 注重技巧及完備性

多角度、全方位向學生展示數學知識,開闊學生的視野,拓展學生的思維,幫助學生掌握解題技巧、培養思維完備性。數學問題很多情況下存在一題多解,小到不同的計算方法,中到代數與幾何的互相轉化,大到不同學科之間的互通解法。也許這些解法在一道題中都能使用,到了另一題只能用其一,也許大學的解法更優,教學時應盡可能多、全地教給拔尖學生,因為他們有能力掌握并學以致用[8]。

例2 已知函數f(x)=|x-a|lnx,其中實數a為常數,e為自然對數的底數。

1) 當a=0時,求該函數f(x)的單調區間。

2) 當a=1時,解關于x的不等式

f(x)>-xlnx+2e-1。

3) 當a≤0時,函數y=f(x)不存在極值點,求a的取值范圍。

解1),2)略。

3)a≤0時,f(x)=(x-a)lnx,

f′(x)=lnx+x-ax=xlnx+x-ax,

記

h(x)=xlnx+x-a。

因為x>1時,

h(x)=xlnx+x-a>x,

所以y=f(x)不存在極值點時,h(x)≥0恒成立,即hmin(x)≥0。由

h′(x)=lnx+2=0

得x=1e2,且01e2時,h′(x)>0,h(x)單調遞增。所以

hmin(x)=h(1e2)=1e2ln(1e2)+1e2-a=-1e2-a，

由hmin(x)≥0,解得a≤-1e2。

本題為鎮江市2017年高二期末統測壓軸題,筆者原創。原創時沒有條件a≤0,為了降低題目難度后來加上了。課堂評講中,將a≤0改為a∈R,讓學生解答。經過整理,學生的回答如下:

1) 從初等代數角度看問題。

解當a>0時,

f(x)={(x-a)lnx,x≥a,

(a-x)lnx,0

當x≥a時,f(x)=(x-a)lnx不存在極值點,

f′(x)=lnx+x-ax=xlnx+x-ax,

記

g(x)=xlnx+x-a,

由x→+∞時,g(x)→+∞知,g(x)≥0對x≥a恒成立。

令g′(x)=lnx+2=0,解得x=1e2。

當01e2時,g′(x)>0,g(x)單調遞增。

若0

gmin=g(1e2)=-1e2-a≥0,

解得a≤-1e2,不符合。

若a≥1e2,

gmin=g(a)=alna+a-a≥0,

解得a≥1。

所以當x≥a時,f(x)=(x-a)lnx不存在極值點,則a≥1。

當0

f′(x)=-lnx+a-xx=-lnx-x+ax。

令f′(x)≥0對0

令f′(x)≤0對0

所以若0

綜上,a=1。

2) 從數形結合角度看問題。函數f(x)=|x-a|lnx,當a>0時,容易觀察,x=a或x=1是函數的零點,如果a≠1,由f(x)圖象的連續性知,在a與1之間f(x)必存在極值,所以a=1。用數形結合得出結論后再證明a<1或a>1時,f(x)有極值。

還有學生從高等代數角度利用左右極限相等解答了該問題,其思維能力已超出教師的預期。命題者只考慮了前兩種情況,而學生已經超越了教師。由此可見,教師要讓學生在掌握基礎知識、基本技能的前提下開放思維,勇于創新。

5 結束語

總之,對拔尖人才的培養不再嚴格區分傳統的競賽課與高考課,做到高考課以競賽內容為補充,競賽課以高考知識為鋪墊。在課堂教學中,應以啟發學生的思維為主,避免填鴨式的知識灌輸;以學生主動探索、合作研究為主,避免以練代講的題海戰術;以多樣化的解題思想方法為主,避免機械的一種方法打天下。