信號特征譜表示與平穩隨機信號譜分解統一的研究

王宏禹，邱天爽

（大連理工大學電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024）

1 引言

信號展開主要有兩大類，一類是傅氏級數展開，另一類是以正交的特殊函數為基的展開，通常特殊函數采用的是斯圖謨—劉維爾（簡稱斯—劉）特征微分方程的特征函數Φ，與Φ相對應的特征值λ，稱為微分方程的譜。為此，文獻[1]推導出了斯—劉問題特征值的上界估計，文獻[2]則進一步研究了特征值及特征函數的漸進估計，以及不連續斯—劉算子的自共軛性，但迄今尚未見到該特征譜表示的數學式。

特征方程可以用其方程算子來表示，有3種方程算子：1) 特征矩陣方程算子，以矩陣A表示；2) 特征微分方程算子，即斯—劉特征微分方程算子，以L表示；3) 與L相對應的積分方程算子，以K表示。這3種方程算子都是厄爾密特的，故對特征譜表示的研究，也就是對厄爾密特算子譜表示的研究。目前，只有對有限維條件下厄爾密特特征矩陣方程算子A的譜表示研究成果，該結果是由諾依曼提出的，并由其推廣成為無窮維連續情況的譜表示，這種譜表示也稱為諾依曼譜表示，解決了長期對原子譜數學理論問題的困擾。迄今為止，無窮維連續情況下微分算子L與積分算子K的譜表示是什么，L與K譜表示的關系又是什么，尚未見到文獻介紹。為此，本文對這一問題進行了研究。

數學泛函分析具有高度統一性與廣泛實用性，確定性信號與平穩隨機信號的一些問題可以利用希爾伯特空間算子理論進行研究并統一起來。文獻[3]對平穩隨機信號譜分解采用希爾伯特空間酉算子法，給出其與信號特征譜表示在數學上的聯系與統一，但存在一些數學物理意義不清楚的問題。為分析整個信號中對應每一頻率的累積振幅(能量)分布情況，文獻[4]采用希爾伯特邊際譜來表征信號幅值隨頻率的變化。本文在此基礎上對酉算子法進一步研究，結合信號特征譜得到更為清晰的數學解釋，并給出利用與隨機振幅簡諧振動疊加法對比的研究方法。此外，給出了確定性信號與平穩隨機信號兩者的特征譜表示在數學上的聯系與統一。信號特征譜表示是一個反映目標微動本質的較為穩定的特征，平穩隨機信號譜分解是平穩隨機信號時頻分析的有力工具。這 2種譜表示式相似，在信號處理中可以互相借鑒。本文利用對平穩隨機信號譜分解的隨機振幅簡諧振動疊加法及希爾伯特空間酉算子法進行研究，明確了信號特征譜表示與平穩隨機信號譜分解的聯系及數學上的統一，對于信號處理理論和應用中關于譜分析的研究具有指導意義。

2 厄爾密特算子與正交投影算子

為了研究方便起見，先扼要介紹數學文獻上的厄爾密特算子與正交投影算子。

在n維線性空間Vn中，賦予2個n維矢量α與β的內積則稱Vn是一個酉空間,也稱為內積空間。在無窮維酉空間V中，若每個基本元素序列{fn(x) }均收斂于V中某一元素f(x)，即則稱無窮維酉空間V是完備的，完備的無窮維酉空間稱為希爾伯特空間(H空間)。在H空間中，矢量用函數表示，則矢量內積為

在這2種空間中，若線性算子L滿足下列表示

則L*稱為L的共軛算子。當L=L*時，L稱為自共軛算子或自伴隨算子，也稱為厄爾密特算子。厄爾密特算子L可以表示成一組正交投影算子Pi(i= 1 ,2,… ,∞)的線性組合，即

式(2)中 λi(i= 1 ,2,… ,∞)為L的不同特征值。正交投影算子Pi定義為：1) 冪等的，即PiPi=Pi；2) 正交的，即PiPj= 0 ,i≠j；3) 歸一化的，即(對于酉空間)，

3 厄爾密特矩陣算子的特征分解與譜表示

N×N階厄爾密特矩陣算子A的特征方程為

其中，列矢量Φi(i= 1,2,… ,N)稱為特征解(假定特征解為正交歸一化)，相應的實數 λi(i= 1,2,… ,N)為特征值。將式(3)寫為矩陣形式，有

即U是酉矩陣，由式(4)與式(5)，得

1) 當式(6)中特征值λi按降序順序排列時，即λ1≥ λ2≥ … ≥ λN，式(6)的表示稱為厄爾密特矩陣算子A的特征分解。對長方形矩陣，需用奇異值分解處理。因這兩者在信號處理中均有重要應用，并為眾所熟知，本文不對其詳細論述。

2) 當式(6)中特征值λi按遞增順序排列時，即λ1≤ λ2≤ … ≤ λN時，式(6)的表示稱為厄爾密特矩陣算子A的譜表示，現詳細介紹如下。

若對角矩陣Λ主對角線上按λi大小按遞增順序處理，則Λ是唯一確定的，可唯一地表示為如式(7)所示的分解式。

其中，Qi(i= 1,2,… ,N)為對角陣。Qi(i= 1,2,…,N)的和為單位矩陣，即

此外，Qi為厄爾密特冪等矩陣，因QiQi=Qi，且Qi是正交的，即QiQj= 0，故Qi是正交投影矩陣。

現定義矩陣Pi為

將式(7)和式(8)代入式(6)，可得式(9)。

4 厄爾密特微分算子與積分算子的譜表示

4.1 特征微分方程及其譜表示

在信號處理中，信號展開基函數所用的正交特殊函數，均可用如式(10)所示形式微分算子L的特征微分方程(斯—劉微分方程)[5]得到，如式(11)所示。其中，p(x)、q(x)在所論區間都是連續的，且p(x) ＞ 0；λ稱為特征值，由無窮個λi組成，它們都是實數；與λi對應的φi稱為特征函數，它們是正交的，即

將特征值按增序排列，可得到一個無限序列λ1, λ2,… ,λi,…這個序列稱為特征微分方程的譜。

在滿足適當邊界條件下，對 2個函數f(x)與g(x)，式(10)所示的微分算子L滿足如式(13)所示的內積關系。

因此，式(10)所示的微分算子L是厄爾密特的。

4.2 厄爾密特微分算子及其特征微分方程格林函數的關系

任意函數f(x)可表示為正交的歸一化特征函數 φk(x)的無限展開式，如式(14)所示。

若 φk(x)是正交歸一化的，即

利用式(15)可得展開系數ck為

式(14)所示的f(x)可以表示為以式(10)所示的微分算子L的非齊次微分方程，如式(17)所示

的解。根據線性系統的理論，u(x)為系統的輸入，f(x) 為輸出。根據式(11)、式(13)和式(17)，將g=φk代入式(13)中，得

利用式(9)可得系數ck的表示式，為

將式(19)所示的ck代入式(14)，可得

其中，g(x,)ξ為

因式(20)為輸入u(ξ)與輸出f(x)的積分形式，故g(x,ξ)是與時變系數微分算子L對應的線性時變系統的格林函數[6]。當輸入u(x) = δ ( ξ -x0)時，由式(20)得到輸出，如式(22)所示。

即對線性時變系統，格林函數g(x,x0)為于x0處施加單位脈沖而在x處所得的輸出f(x)。由式(17)和式(22)可得

式(23)表明，厄爾密特微分算子L是其特征微分方程格林函數g(x,x0)的逆算子[7]。

4.3 積分算子方程與特征積分方程

在數學中，積分算子K方程定義為

其中，K(x,ξ)稱為核函數。根據線性系統的理論，若u(x)為輸入，f(x)為輸出，其輸入與輸出關系的積分表示式應該為

若K(x,ξ)選擇為如式(21)所示的特征微分方程的格林函數g(x,ξ)，則積分算子K的輸入與輸出關系方程為

而微分算子L輸入與輸出關系的方程如式(22)所示，將式(25)代入式(22)，可得LK=1，故當K(x, ξ ) =g(x, ξ)時，微分算子L與其相對應的厄爾密特積分算子K是互逆的，即，由此可得對應的特征積分方程表示為

其中，μi為特征積分方程的特征值，與對應的特征微分方程特征值λi是互逆的，即

長期以來，人們對于如式(11)特征微分方程是否存在與其對應的特征積分方程認識不夠清晰。由于式(11)是線性時變系數微分方程，對其采用通常積分方法，除調和微分方程外，難以得到與其對應的特征積分方程表示式。本文通過采用特征微分方程格林函數g(x,ξ)和特征積分方程核函數K(x,ξ)的關系，則可以解決這個認識不清的問題[8]。另外，目前對特征積分方程的深入研究，只限于其核函數K(x,ξ)是可分離的或退化的，即K(x,ξ)=這種形式，也需要得到進一步的研究解決。

4.4 厄爾密特微分算子與積分算子的譜表示之間的統一關系

根據4.2節的研究，厄爾密特微分算子L與其格林函數g(x,ξ)的關系為Lg(x, ξ )= δ (x- ξ )，當ξ=x時，可得

而厄爾密特微分算子L與其對應的厄爾密特積分算子K的關系為

由式(28)與式(29)，得K的表示式為

即式(30)就是厄爾密特積分算子K的譜表示式，其數學物理意義如下。

1) 當積分算子K方程的核函數K(x,ξ)=g(x,ξ)與輸入u= δ (x- ξ )時，由式(24)與式(25)得

其中，f(x)為輸出。

2) 根據格林函數定義，線性時變系統的格林函數g(x,ξ)為ξ時刻輸入δ( ξ)于時刻x的輸出，線性時不變系統的格林函數g(x,ξ)與時刻ξ無關，僅與x-ξ有關，即g(x, ξ ) =g(x- ξ )。現g(x,x)應該定義為線性時變系統于x-ξ時刻輸入單位脈沖δ(x-ξ)在x時刻的輸出。

這樣，如式(30)所示的厄爾密特積分算子K的譜表示可以認為是格林函數g(x,x)與g(x,x)對應的輸出信號f(x)的譜表示式。

將式(15)歸一化特征函數 φi(x) (i= 1 ,2,…)的形式表示成離散和形式，得

這種以投影算子Pi(i= 1 ,2,…) 表示不僅具有一般化意義，并且譜是按一定順序排列的意義也更加清晰。

由式(29)、式(32)和式(33)可得厄爾密特微分算子L的譜表示式，如式(34)所示。

由式(33)與式(34)可見L與K譜表示式在數學上的表示是相同的，因此，為了研究方便，下文對它們統一表示為，但應明確λi為L或K何者的特征值。

式(33)與式(34)是離散和或無限級數表示式，若它們平均收斂成為一函數，可表示成為積分式。為此，先介紹一取值為正交投影算子Pi的函數E(λ)，其定義如式(35)所示。

由此可得

當 λi(i= 1 ,2,…) 無限接近時，可利用勒貝格積分，即

其中，lim表示趨向非常小的劃分區間[i+1,i],i= 1 ,2,…。由式(35)和式(36)可得

其中，I為恒等算子。這樣，式(33)與式(34)可分別表示為

由式(31)可知，對厄爾密特積分算子K，K=f(x)，因此，式(39)中K還可表示為輸出信號f(x)的特征譜表示式，即

5 2種不同譜理論在數學上的聯系與統一

譜理論分為正弦譜理論與特征譜理論（即厄爾密特算子譜理論），前者是平穩隨機信號譜理論，也稱為維納譜理論，后者是原子譜理論，也稱為諾依曼譜理論。這2種譜表示式相似，可在數學上統一起來。下面依據對平穩隨機信號譜分解理論研究方法，對其進行討論。

5.1 隨機振幅簡諧振動疊加法

對平穩隨機信號x(t)，若其自相關函數rxx(τ)是周期性的，可以通過傅里葉級數展開，得到x(t)的譜分解式，如式(41)所示。

其中，T為周期；展開系數ξn是正交(不相關)的隨機變量，可由式(42)確定。

當rxx(τ)是非周期的，式(41)中ξn不再正交，且該式不再對每一個t都成立。因此，這種情況的平穩隨機信號x(t)一般是不能用傅里葉級數展開得到其譜分解的。已有證明，若ω0足夠小，可找到一個級數x?(t)，如式(43)所示。

給出x(t)一個比較精確的均方逼近，有

即當ω0→0時，x(t)仍可用傅里葉級數展開。若令

則有

將式(45)代入式(46)中，得

上式ω0→0的極限形式，即各相鄰譜線間距非常小時，可由勒貝格積分得到隨機積分，如式(48)所示。

即為平穩隨機信號x(t)的譜分解。該式表明x(t)是由無限個頻率由小到大連續變化的隨機幅度簡諧振動疊加而成。

由式(40)與式(48)，信號f(x)特征譜表示與平穩隨機信號x(t)的譜分解相對應的關系如表 1所示。

由表1可見，信號f(x)特征譜表示與平穩隨機信號x(t)譜分解在數學表示上相同，因此，可將它們統一起來。

5.2 酉算子法

為了更清楚地了解平穩隨機信號譜分解的酉算子法，先介紹研究它的廣義調和分析法。

5.2.1 廣義調和分析法

平穩隨機信號是功率型信號，是不存在傅里葉變換的，需要用廣義變換進行調和分析研究。平穩隨機信號x(t)的廣義變換定義為

設 ω1= ω + ε ,ω2= ω - ε ，由式(49)可得

這樣，Z( ω + ε ) -Z(ω - ε )是過程的傅里葉變換，即

由式(51)可得

令ε→0，式(52)的左側項趨于x(t)，右側項雖然Z(ω)不可微，但可寫為斯蒂爾吉斯(J. J. Stieltjes)積分，即對x(t)的譜分解式，如式(53)所示。

下面，從線性時不變系統的輸入輸出關系對廣義變換進行研究。理想帶通線性系統如圖1所示，系統函數如式(54)所示。

圖1 理想帶通線性系統

它的脈沖函數hω1ω2(t)為

表1 f(x)特征譜表示與x(t)譜分解式相對應的關系

當x(t)輸入此線性系統時，其輸出yω1ω2(t)為

當t=0時，有

即x(t)的廣義變換相當x(t)輸入理想帶通線性時不變系統式(54)的輸出于零時刻的結果，由于x(t)輸入的是理想帶通線性系統，可無失真地得到x(t)的輸出，因此

對于理想全通線性系統，可視為由圖2所示的系列理想帶通線性系統所組成，如式(59)所示。

圖2 理想全通線性系統組成

當ω0→0時，式(59)可表示為

由式(46)與式(48)得

應注意，為了表示方便起見，將x(n-1)ω0,nω0(0)簡寫為xnω0( 0)，而當ω0→0時，xnω0( 0)由式(61)容易得出如式(62)所示的正交關系。

根據上述研究，可對平穩隨機連續信號x(t)的譜分解式(48)的物理意義做進一步說明為，x(t)是由無限個不同頻率(即連續變化頻率)互相正交隨機幅度的復正弦波疊加而成，各不同頻率復正弦波的隨機幅度

5.2.2 酉算子法

現有文獻對平穩隨機過程的希爾伯特空間的介紹，僅限于由具有二階矩隨機變量x與y的內積定義的，即

因此，本文改由為離散時間平穩隨機信號x(k)譜分解的研究。若x(k)是零均值的，其自相關函數rxx(m)為

即rxx(m)只依賴時移m，而與時間k無關。

目前在數學文獻中，只見到對酉空間Vn中酉算子L的介紹，其定義為

其中，α、β為Vn空間中任意2個矢量。對平穩隨機過程的希爾伯特空間，尚未見到其酉算子U的明確介紹，本文套用式(64)定義來研究。由式(63)可知rxx(m)與時間k無關，只依賴時移m，因此，平穩隨機過程元素x(k)可以認為由時移算子U遞推產生的，即

rxx(m)可表示為

因此，時移算子U滿足式(65)定義，是酉算子。此外，由于rxx(m)是偶函數，即

U算子還符合厄爾密特算子定義的要求，可將其表示為如式(67)所示的酉算子譜表示式。

當k=0時，U0=1，表明U0是恒等算子，于是可得

式(68)表明u(ω)是理想全通線性系統或理想全通濾波器，可將其視為由一系列理想帶通濾波器所組成，如圖2所示。在酉算子譜表示中，理想帶通濾波器unω0(ω)(為u(n-1)ω0,nω0(ω )的簡寫，n=1,2,…)系列就是正交投影算子Pn=unω0(ω),n= 1 ,2,… 系列，因為它們滿足正交投影算子的要求，即PnPn-i=0,

對離散平穩隨機信號x(k)，可用時移算子U遞推來研究，即x(k) =Uk x( 0)，而用U算子譜表示來研究，可得出x(k)的譜表示式，下面就來推導。

為了解清楚起見，將上式寫成離散和形式

因unω0(ω )是理想帶通濾波器，只能將同一頻段的xnω0( 0)無失真地輸出，于是，由式(70)得

利用式(59)并將其寫成連續形式，得x(k)的譜分解式，如式(72)所示。

另外，將式(60)代入式(69)，也可得出式(72)為

由上述研究，在離散平穩隨機信號x(k)的自相關函數研究中，引入時移算子U，該算子成為隨機變量希爾伯特空間的酉算子。這個酉算子的譜表示與函數希爾伯特空間微分算子L與積分算子K的譜表示相似，其中U與L或K對應， ejω與λ對應，通過這種聯系，可將信號特征譜表示與平穩隨機信號譜分解在數學上統一起來。

6 2種信號特征譜表示的聯系與統一

確定性信號f(x)與平穩隨機信號x(t)均有其各自的信號特征展開與特征譜表示，因此存在全似在數學上是否有聯系及統一的問題。平穩隨機信號的特征展開與特征譜表示已有研究，即為人們所熟知的卡—洛展開[9-10]，直接給出平穩隨機信號與確定性信號特征展開及特征譜表示的關系，如表2所示。

由表2可見，確定性信號f(x)與平穩隨機信號x(t)的特征展開與特征譜表示在數學上表示相同，它們可統一起來。

7 結束語

特征微分方程的格林函數g(x,ξ)在信號特征展開與特征譜表示研究中具有重要的意義與作用，解決了正交多項式的斯—劉微分方程沒有與其對應的特征積分方程的問題。本文的g(x,x)，其意義為線性時變系統于x-ξ時刻輸入單位脈沖而在x時刻所得的輸出。

特征微分算子L與g(x,x)的關系為Lg(x,x)=1，即L為g(x,x)的逆算子。當特征積分算子方程的核函數時，特征積分算子K與特征微分算子L的關系為LK=1，即L與K是互逆關系。

特征微分算子L與特征積分算子K均是厄爾密特的，厄爾密特算子L與K的譜表示可統一為離散和形式和連續函數形式，即L或K=

表2 2種信號特征展開與特征譜表示的關系

對平穩隨機信號x(t)的譜分解利用與隨機振幅簡諧振動疊加法的對比及對文獻[3]提出的酉算子法做進一步研究，得出與信號特征譜表示相同的數學表示式，從而可將兩者統一起來。

由此可見，確定性信號與平穩隨機信號兩者的特征譜表示明顯地存在數學上的統一關系，這對于深化對信號譜分析本質的理解有重要意義。