基于差分復(fù)合網(wǎng)格的MSK非相干解調(diào)算法

田文飚，王鵬，芮國勝，張洋

（海軍航空大學(xué)信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264001）

1 引言

最小頻移鍵控（MSK，minimum shift keying）信號包括恒定、相位連續(xù)、帶寬占用小，具有良好的頻譜特性[1]，在對潛、深空等遠(yuǎn)程通信領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

MSK解調(diào)有相干解調(diào)和非相干解調(diào)兩種方案，相干解調(diào)性能較優(yōu)，但需要精確的載波頻率和初始相位；非相干解調(diào)性能相對略差，對接收信號的初始相位不敏感，但載波頻率未知（非合作通信）或存在多普勒頻偏時，解調(diào)性能很差。因此在載波恢復(fù)困難和載波頻率跳動等不適用鎖相環(huán)的情況下，亟需研究一種性能優(yōu)良、抗多普勒頻偏的解調(diào)算法。Yang等[2]和Alexis[3]分別討論了MSK信號的定時和載波相位的聯(lián)合估計以及聯(lián)合符號與碼片同步，解決了α-穩(wěn)態(tài)分布噪聲下以及超再生式MSK接收機(jī)中的同步問題，用復(fù)雜度換取了性能，取得了較好的結(jié)果。Simon等[4]研究了MSK信號的1符號和2符號差分解調(diào)算法，利用前后兩個碼元的相位差信息進(jìn)行解調(diào)，避免了多普勒頻偏引起的相位累積誤差。孫錦華等[5]基于差分 Viterbi檢測[6-7]思想，利用簡化狀態(tài)網(wǎng)格進(jìn)行差分解調(diào)，在不導(dǎo)致性能明顯下降的基礎(chǔ)上，降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度，但在多普勒頻偏條件下的性能有待提高。喬植等[8]提出了基于多符號差分相干解調(diào)的方法，與單符號差分解調(diào)相比，抗多普勒頻偏的范圍有所增大，但仍有較大地提升空間。Denis等[9]提出了一種不需要數(shù)據(jù)輔助的MSK類信號盲同步算法，對信號的位定時和頻率聯(lián)合恢復(fù)，但是該算法在低信噪比以及大頻偏條件下的性能還有待提高。Huff[10]首次提出了的復(fù)合網(wǎng)格技術(shù)，周家喜將其應(yīng)用到CPM 信號解調(diào)上來，在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-3rad數(shù)量級時算法性能接近非相干解調(diào)理論限[11]，但隨著多普勒頻率增大性能迅速下降。

為了提高M(jìn)SK解調(diào)抗多普勒頻率偏移的范圍，提出了一種MSK差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法。利用相位偏轉(zhuǎn)構(gòu)建出差分復(fù)合網(wǎng)格，提出MSK差分復(fù)合網(wǎng)格的解調(diào)方案，擴(kuò)展了MSK解調(diào)抗多普勒頻偏的范圍，且在復(fù)雜度和判決延時上優(yōu)于同類算法，略高于1符號差分算法對應(yīng)值。仿真結(jié)果表明，算法性能在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-1rad數(shù)量級的情況下仍能接近MSK非相干解調(diào)誤碼率的理論下界。

2 MSK的差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法

2.1 構(gòu)造MSK差分復(fù)合網(wǎng)格

MSK可以看作調(diào)制指數(shù)為0.5的連續(xù)相位移頻鍵控信號（CPFSK），其復(fù)數(shù)形式的表達(dá)式[12]為

其中，uk=±1為(k- 1 )T～kT時間內(nèi)的碼元符號，T是碼元寬度，kΦ是該碼元的初始相位，滿足

MSK差分解調(diào)的信息主要存在于前后兩種碼元的相位差信息中，將式(1)前后碼元進(jìn)行差分運算，同時利用式(2)，得到差分相位為

文獻(xiàn)[13]給出了相位比較法差分解調(diào)的原理，如圖1所示。

低通濾波濾除載波分量后的信號表達(dá)式為

由式(4)可得MSK差分的4條路徑為

記作S={S1,S2,S3,S4}。將基本路徑相位旋轉(zhuǎn)Δθ ，得到的復(fù)合網(wǎng)格，可以表示為

設(shè)x取值有M種，則系統(tǒng)路徑有4×M條。如M= 3 、x= 0 ,±1，MSK差分解調(diào)復(fù)合網(wǎng)格如圖 2所示。

圖1 相位比較法差分解調(diào)的原理

圖2 MSK差分解調(diào)復(fù)合網(wǎng)格

2.2 MSK差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法

不妨令接收機(jī)采樣時刻t= (k+ 1 )T，則式(4)可以寫為

由式(6)可知 MSK差分僅存兩條基本路徑為

2條路徑似然函數(shù)值為

由式(7)可以得到如下判決

其中，為可能傳輸?shù)男蛄校琒ix(t,)是傳輸序列對應(yīng)的路徑。實際接收機(jī)只能觀測到有限區(qū)間的信號，設(shè)觀測區(qū)間的碼元數(shù)目為N，每個碼元周期內(nèi)采樣點數(shù)目為1，則接收機(jī)總的似然函數(shù)值為

復(fù)合網(wǎng)格差分解調(diào)算法就是選取所觀察的N個碼元內(nèi)最大似然函數(shù)值對應(yīng)的序列作為解調(diào)符號直接輸出，簡化方案步驟如下。

輸入接收信號r(t)，M，Δθ

輸出觀察區(qū)間內(nèi)解調(diào)結(jié)果

步驟1初始賦值。lk=0) = 0 ，x=0，j=0。

步驟2構(gòu)造網(wǎng)格。依據(jù)S=SejxΔθ，i=1,2，

ixi代表向下取整，構(gòu)造復(fù)合網(wǎng)格。

步驟3局部判決。利用式(7)和判決準(zhǔn)則式(8)得到序列的第j組判決，即x=±j時的判決結(jié)果。

步驟 4算似然值。根據(jù)公式(10)求得N個觀察區(qū)間內(nèi)第j組判決對應(yīng)接收機(jī)似然函數(shù)值后，令j=j+1。

步驟 5循環(huán)判決。若則停止循環(huán)，進(jìn)入步驟6，否則重復(fù)步驟3和步驟4。

步驟 6輸出結(jié)果。比較每條路徑l(α)似然函數(shù)值大小，選取最小值對應(yīng)的判決結(jié)果，即為N個觀察區(qū)間內(nèi)解調(diào)出的碼元序列。

3 算法性能及復(fù)雜度分析

3.1 算法性能分析

定理1假設(shè)信道噪聲是加性高斯白噪聲，信噪比為r，濾波器的特性是理想的，MSK信號按照準(zhǔn)則式(8)進(jìn)行1符號差分判決，則系統(tǒng)的解調(diào)誤碼率為

證明輸入MSK信號中加入高斯噪聲，并進(jìn)行歸一化處理得到

可得

由于x1，x2，y1，y2均是高斯分布，前后碼元的高斯噪聲相互獨立，由此可得a和b的概率密度函數(shù)為

其中，I0為零階貝塞爾函數(shù)，不考慮多普勒頻率偏移，信源碼元為±1的概率相等，由此求得系統(tǒng)總的誤碼率[15]為

定理2MSK差分復(fù)合路徑解調(diào)中，信道噪聲是加性高斯白噪聲，信噪比為r，若相位偏轉(zhuǎn)角度Δθ≤0.06π ，x=0,±1，…，存在xΔθ＞ Δθe，觀察數(shù)N→∞，此時解調(diào)性能為

證明由于差分解調(diào)算法根據(jù)前后碼元的相位差信息進(jìn)行解調(diào)，因此信號的初始相位對解調(diào)沒有影響，而且多普勒頻偏造成的相位干擾不積累，考慮到多普勒頻率偏移，式(6)可改寫為

式(19)與復(fù)合網(wǎng)格中的某條路徑相乘可得

復(fù)合網(wǎng)格中相位旋轉(zhuǎn)xΔθ對多普勒頻率偏移引起的相位誤差Δθe起到了補(bǔ)償作用，若存在xΔθ ≥ Δθe，復(fù)合網(wǎng)格中存在某條路徑的相位偏轉(zhuǎn)大于多普勒頻移引起的相位誤差；當(dāng) Δ θ ≤ 0 .06π ，此時接收到的信號經(jīng)過復(fù)合網(wǎng)格中某條路徑的相位補(bǔ)償后其相位誤差必定小于0.03π，即存在x使

胡穗延等[13]已證明在實際的差分解調(diào)系統(tǒng)中，若前后碼元相位差存在抖動或干擾Δθe，當(dāng)Δθe≤ 0 .03π ，此時誤碼率曲線與 Δ θe= 0 的曲線幾乎重合，系統(tǒng)的誤碼率不受Δθe影響。因此存在x，使|Δ θe+xΔθ |≤ 0 .03π 時，對應(yīng)路徑的差分解調(diào)性能不受多普勒頻偏的影響。

該路徑的相位偏轉(zhuǎn)補(bǔ)償了多普勒頻偏引起的相位誤差，與多普勒頻偏信號最為契合，解調(diào)性能最優(yōu)，此時該路徑下的接收信號的似然函數(shù)值最大，通過似然函數(shù)值的比較即可將該條路徑選取出來，觀察數(shù)N的值越大，系統(tǒng)通過比較似然函數(shù)值選擇復(fù)雜網(wǎng)格中的路徑越準(zhǔn)確，系統(tǒng)的解調(diào)性能越優(yōu)[16-17]；同時觀察數(shù)N越大，系統(tǒng)解調(diào)碼元所需的時間越長，系統(tǒng)解調(diào)的延時越大。當(dāng)觀察數(shù)N→∞，復(fù)合網(wǎng)格的差分解調(diào)性能近似等于沒有頻率偏移時的解調(diào)性能P= 0 .5e-r。

推論 1若接收機(jī)每個碼元周期內(nèi)采樣點數(shù)目為1，則

3.2 算法復(fù)雜度分析

差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法通過增加 MSK差分解調(diào)路徑實現(xiàn)了對多普勒頻偏下信號的有效檢測，增加的復(fù)雜度取決于增加的路徑。已知基本路徑是2條，每個碼元周期內(nèi)采樣點數(shù)目為1，設(shè)需要判決的碼元數(shù)目為PN，可得通過基本路徑解調(diào)需要的計算量為O(PN)。經(jīng)過相位偏轉(zhuǎn)后形成的復(fù)合網(wǎng)格路徑數(shù)目為2M，根據(jù)2.2節(jié)差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)步驟可得該方案需要的計算量為O(PNM)。差分復(fù)合路徑解調(diào)算法通過額外的路徑運算，提高了一定的復(fù)雜度，以換取多普勒頻率偏移條件下解調(diào)性能的提高。

4 仿真實驗

4.1 抗多普勒頻偏性能仿真

文獻(xiàn)[11]將非相干解調(diào)的基本網(wǎng)格圖和相位旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格結(jié)合，實現(xiàn)了對信號初始相位和頻率偏移的有效跟蹤，算法性能接近相干解調(diào)，是現(xiàn)有抗多普勒頻移最優(yōu)的算法之一。因此，本文選擇在多普勒頻偏較大時與其進(jìn)行對比。仿真實驗中，碼元數(shù)目PN= 1 06，觀察數(shù)N=PN， Δθ = 0 .06π ，M=5，即x= 0 ,±1 ,±2。在不同多普勒頻偏條件下進(jìn)行解調(diào)仿真，多普勒頻偏引起的相位誤差fT由 0.03遞增至0.09，步長為0.03，利用Matlab仿真計算文獻(xiàn)[11]、1符號差分相干解調(diào)和本文算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時將MSK相干、非相干解調(diào)理論限繪制出來作為參考線。

如圖3所示，相比之下，fT= 0 .09時，1符號差分相干解調(diào)算法會出現(xiàn)2 dB左右的性能下降，而采用文獻(xiàn)[11]的算法在fT= 0 .03時就已基本失去解調(diào)的能力，常規(guī)相干解調(diào)在相對頻偏大于 1 0-4量級時也將失效。此時，即在多普勒頻偏引起的相位誤差Δθe= 2 πfT為 1 0-1rad數(shù)量級時，本文算法仍保持較好的解調(diào)性能?？傮w上看，本文所述基于差分復(fù)合網(wǎng)格的 MSK非相干解調(diào)算法誤碼率性能優(yōu)于文獻(xiàn)[11]算法和1符號差分相干解調(diào)方法。隨著相位誤差fT的增大，3種算法性能都出現(xiàn)下降。本文解調(diào)算法性能接近MSK非相干解調(diào)理論限，具有較好的抗頻偏性能，這是因為實驗中選取的M為5，算法構(gòu)造的復(fù)合路徑能夠較好地補(bǔ)償接收信號中的頻偏，同時也印證了定理2的證明過程。下面則通過改變參數(shù)M的取值，分析復(fù)合路徑數(shù)將對解調(diào)性能產(chǎn)生的影響。

圖3 算法抗多普勒頻偏的性能

4.2 復(fù)合網(wǎng)格路徑數(shù)的影響

為了考察復(fù)合網(wǎng)格路徑數(shù)對解調(diào)性能的影響，令多普勒頻偏引起的相位誤差fT=0.11，碼元數(shù)目PN= 1 06，觀察數(shù)N=PN， Δθ = 0 .06π ，分別取M= 1 ,3,5,7,9，利用Matlab仿真本文算法和1符號差分相干解調(diào)算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時將MSK相干、非相干解調(diào)理論限繪制出來作為參考線。結(jié)果如圖4所示，隨著M的增大，本文算法的性能逐漸提升，直至M=9時，算法解調(diào)性能接近非相干解調(diào)理論限。復(fù)合網(wǎng)格的相位偏移為xΔθ，x=0,±1,±2，…，M是x的取值數(shù)目，M越大復(fù)合網(wǎng)格的路徑數(shù)目越多，所構(gòu)造的復(fù)合網(wǎng)格能覆蓋的總相位偏移范圍越大。

當(dāng)M=3時，所構(gòu)造的復(fù)合路徑能覆蓋的最大相移為不足以覆蓋接收信號的多普勒頻偏造成的相移2πfT= 0 .22π，因此，算法性能退化至與1符號差分相干解調(diào)一致。而當(dāng)M=9時，所構(gòu)造的復(fù)合路徑能覆蓋的最大相移為xΔθmax= 0 .24π，顯然，大于接收信號的多普勒頻偏造成的相移0.22π ，且|xΔθ - 2πfT|＜ 0 .03π，依據(jù)定理 2，此時，本文算法能夠達(dá)到非相干解調(diào)理論限，仿真結(jié)果與理論預(yù)期吻合。當(dāng)然，如果進(jìn)一步增大M，性能將受限于非相干解調(diào)理論限，且由4.4節(jié)實驗知道，復(fù)雜度和M成正比，所以實際應(yīng)用中需要權(quán)衡每條路徑的Δθ參數(shù)和M的選取以滿足定理2的要求。

圖4 復(fù)雜網(wǎng)格路徑數(shù)的影響

4.3 觀測區(qū)間的影響

為了考察觀測區(qū)間長度對解調(diào)性能的影響，令多普勒頻偏引起的相位誤差fT=0.1，Δθ = 0 .06π，M= 9 ，即x= 0 ,± 1 ,±2 ,±3 ,±4，碼元數(shù)目為PN= 1 06，觀測區(qū)間分別取N= 1 ,5,10,20,50,106，利用Matlab仿真本文算法和 1符號差分相干解調(diào)算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時將MSK相干、非相干解調(diào)理論限繪制出來作為參考線。結(jié)果如圖 5所示，相同信噪比條件下，隨著觀察區(qū)間N越大，本文算法解調(diào)誤碼率呈現(xiàn)降低的趨勢，當(dāng)N≥20時，解調(diào)性能接近非相干解調(diào)理論限。從整體上看，本文算法性能優(yōu)于1符號差分相干解調(diào)算法，但是觀察數(shù)N越大，系統(tǒng)解調(diào)碼元所需的時間越長，系統(tǒng)解調(diào)的延時越大，因此需要權(quán)衡算法的解調(diào)性能和延時，因此可取N=20。

4.4 復(fù)雜度分析

為了考察算法的時間復(fù)雜度，利用Matlab仿真環(huán)境實現(xiàn)本文算法、傳統(tǒng)相干解調(diào)、1符號差分相干解調(diào)和文獻(xiàn)[11]算法，統(tǒng)計解調(diào)消耗的時間。

碼元總數(shù)PN設(shè)置為510，本文算法與文獻(xiàn)[11]算法的相位偏轉(zhuǎn)數(shù)目M分別設(shè)置為從1至9遞增，觀測區(qū)間取N=20，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛解調(diào)實驗，求取各自平均值。傳統(tǒng)相干解調(diào)、1符號差分相干解調(diào)耗時作為參照，由于復(fù)雜度與M無關(guān)，因此在圖6中呈現(xiàn)水平線的趨勢。

圖5 觀測區(qū)間的影響

圖6 各算法運算時間比較

由圖6可見，當(dāng)M=1時本文算法解調(diào)時間近似等于1符號差分解調(diào)算法的解調(diào)時間，隨著相位偏轉(zhuǎn)數(shù)目M的增大，仿真實驗的解調(diào)時間呈線性增大的趨勢。但本文算法解調(diào)時間遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[11]的所用時間，這是因為本文算法需要的采樣率遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)[11]采樣率，且本文算法的路徑數(shù)目為2M，文獻(xiàn)[11]MSK解調(diào)算法的路徑總數(shù)為16M。由此可得本文算法在復(fù)雜度和判決時間上優(yōu)于同類算法，略高于1符號差分算法對應(yīng)值。

5 結(jié)束語

提出了一種基于差分復(fù)合網(wǎng)格的MSK解調(diào)方案，在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-1rad數(shù)量級的情況下仍能接近MSK非相干解調(diào)誤碼率的理論限，且在復(fù)雜度和判決時間上優(yōu)于同類算法，略高于1符號差分算法對應(yīng)值，對于解調(diào)時載波恢復(fù)困難等情況或盲解調(diào)具有實用意義。本文僅是針對MSK信號的復(fù)合網(wǎng)格差分解調(diào)，下一步可以將復(fù)合網(wǎng)格差分解調(diào)算的法擴(kuò)展到 CPM 等信號解調(diào)上，進(jìn)一步增強(qiáng)算法的適用性。