水下滑翔機(jī)穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)空尺度分析

于鵬垚，沈 聰，甄春博，王天霖

(大連海事大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

水下滑翔機(jī)是一種新型的水下航行器，其通過改變自身凈浮力和質(zhì)心位置來實(shí)現(xiàn)水下滑翔運(yùn)動(dòng)。與傳統(tǒng)AUV相比，水下滑翔機(jī)具有成本低、能耗低、續(xù)航力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，更適合大范圍、長航程的工作任務(wù)，不足之處在于水下滑翔機(jī)的航速低、機(jī)動(dòng)性較差[1,2]。水下滑翔機(jī)可通過調(diào)節(jié)尾舵舵角或改變橫滾姿態(tài)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向，相比于傳統(tǒng)的AUV，其在轉(zhuǎn)向調(diào)節(jié)過程通常需要較大的空間和較長的時(shí)間[3,4]。尤其對于利用橫滾姿態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)向調(diào)節(jié)的水下滑翔機(jī)，所需的時(shí)間和空間尺度更大。將滑翔機(jī)的轉(zhuǎn)向速度作為攝動(dòng)參數(shù)，Mahmoudian等[5]推導(dǎo)了滑翔機(jī)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時(shí)轉(zhuǎn)向速度的近似解析表達(dá)式，Yang等[6]推廣此方法分析了裝有尾舵的滑翔機(jī)轉(zhuǎn)向性能。顧建農(nóng)等[7]基于柯西霍夫方程實(shí)現(xiàn)了水下滑翔機(jī)的動(dòng)力學(xué)建模和轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)仿真。朱時(shí)雨等[8]分析了水柱測量中的水下滑翔機(jī)轉(zhuǎn)向性能。為降低內(nèi)部機(jī)構(gòu)調(diào)節(jié)的能耗，在大多數(shù)工作時(shí)間內(nèi)，水下滑翔機(jī)處于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。水下滑翔機(jī)的穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)，作為一種典型運(yùn)動(dòng)形式，常用于水下滑翔機(jī)航向的調(diào)節(jié)。Zhang等[9]建立了一種穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的快速求解方法，并與Seawing滑翔機(jī)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。趙寶強(qiáng)等[10]采用李雅普諾夫方法進(jìn)行了螺旋運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析。Liu[11]采用理論與試驗(yàn)方法分析了水下滑翔機(jī)的反螺旋運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)水下滑翔機(jī)在近海底或近壁面等限制水域運(yùn)動(dòng)時(shí)，水域的空間范圍會限制其轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)。水下滑翔機(jī)的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)通?？梢暈榉€(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的一部分，因此，穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)在時(shí)間、空間上的運(yùn)動(dòng)尺度特征可以為水下滑翔機(jī)在限制水域內(nèi)的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)提供指導(dǎo)。目前，在現(xiàn)有研究中尚未看到螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)空尺度特征的系統(tǒng)分析，文獻(xiàn)[9]也僅是給出了下潛過程中回轉(zhuǎn)半徑與滑塊轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，并未分析其他控制參數(shù)和尺度特征。本文從水下滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)微分方程入手，建立了穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、空間尺度特征變化規(guī)律的研究思路，并以沈陽自動(dòng)化研究所研制的Seawing水下滑翔機(jī)[9,12]（該水下滑翔機(jī)通過內(nèi)部滑塊旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向）為例開展研究。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

引入慣性坐標(biāo)系 E-ξηζ和體坐標(biāo)系o-xyz來描述水下滑翔機(jī)的空間運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，坐標(biāo)軸 E-ζ與重力方向一致，坐標(biāo)系o -xyz的 原點(diǎn)位于滑翔機(jī)的浮心，o-x軸沿著滑翔機(jī)的機(jī)身軸線指向首部方向， o-y軸指向右側(cè)機(jī)翼的方向。定義水下滑翔機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)分別為和定義水下滑翔機(jī)在體坐標(biāo)系下的線速度和角速度分別為則水下滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表達(dá)為[13]：

圖1 坐標(biāo)系與質(zhì)量分布Fig. 1 Coordinate systems and mass distribution

其中，REB和RB?可用水下滑翔機(jī)的姿態(tài)角來表達(dá)。采用簡 化形式 c·=cos(·)， s·=sin(·)， t·=tan(·)表達(dá)三角函數(shù)，則有

2 動(dòng)力學(xué)建模

水下滑翔機(jī)可以視為不同種結(jié)構(gòu)組成的多體系統(tǒng)，包括機(jī)身及與機(jī)身固結(jié)在一起的所有結(jié)構(gòu)mrb，可在機(jī)身內(nèi)部平移和旋轉(zhuǎn)的滑塊結(jié)構(gòu)mp，位置不變質(zhì)量可變的浮力調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)mb。mrb，mp，mb的質(zhì)心在體坐標(biāo)系中的位置分別為向量rrb， rp，rb。rrx為mp的質(zhì)心沿著o-x 軸的位置，γ為mp繞 o-x軸的轉(zhuǎn)角。其中，γ=0對應(yīng)mp的質(zhì)心處在體坐標(biāo)的o-xz平面內(nèi)，此時(shí)滑翔機(jī)將在垂直平面內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)；γ≠0將導(dǎo)致滑翔機(jī)所受的升力偏離垂直平面，升力在水平面中的分量將作為向心力使其產(chǎn)生螺旋轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。

圖2 螺旋轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的力學(xué)機(jī)理Fig. 2 Mechanisms of turning spiraling motion

水下滑翔機(jī)在水下運(yùn)動(dòng)時(shí)，會帶動(dòng)其周圍的附連水共同運(yùn)動(dòng)，水下滑翔機(jī)及其附連水系統(tǒng)的總體動(dòng)能可以表達(dá)為：

其中：M為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣；MA， JA和CA分別為體坐標(biāo)系下附連水的質(zhì)量矩陣，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣和耦合項(xiàng)矩陣；為體坐標(biāo)系固定質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；為單位對角矩陣。

進(jìn)一步表達(dá)有

其中：G 和B分別為水下滑翔機(jī)的重力和浮力，rCG為體坐標(biāo)系下的重心位置向量，F(xiàn)B和MB分別為體坐標(biāo)系下水下滑翔機(jī)的粘性水動(dòng)力和水動(dòng)力矩。對于FB和MB，可結(jié)合滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)速度和水動(dòng)力系數(shù)來計(jì)算[9,13]。

將式（6）、式（7）代入式（8）、式（9），即得到水下滑翔機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：

3 穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)空描述

基于水下滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程，當(dāng)給定其控制輸入量和 b ，?，υ，ω的初值后，即可實(shí)現(xiàn)水下滑翔機(jī)的三維空間運(yùn)動(dòng)仿真。對于依靠質(zhì)心移動(dòng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向的水下滑翔機(jī)，其運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的控制輸入量包括移動(dòng)滑塊沿軸的位置、移動(dòng)滑塊繞軸的轉(zhuǎn)角和凈浮力質(zhì)量mb。本文以Seawing水下滑翔機(jī)為例進(jìn)行分析，水下滑翔機(jī)自身的質(zhì)量參數(shù)和水動(dòng)力參數(shù)見文獻(xiàn)[9]。將運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量 b，?，υ，ω的初值取為零向量，并將控制參數(shù)取值為 γ=20°，rrx=0.42m，mb=0.3 kg，得到水下滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)速度變化規(guī)律分別如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，可采用回轉(zhuǎn)半徑，螺距和回轉(zhuǎn)周期來表達(dá)水下滑翔機(jī)的空間和時(shí)間尺度特征。其中，回轉(zhuǎn)半徑 R的方向與滑翔機(jī)繞 o-ζ軸的角速度方向一致，螺距 H的方向與滑翔機(jī)沿 o-ζ軸的線速度方向一致，回轉(zhuǎn)周期 T為滑翔機(jī)一個(gè)周期回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。若水下滑翔機(jī)需要轉(zhuǎn)向某一角度，可以利用轉(zhuǎn)向角數(shù)值和螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)空尺度特征，換算得到對應(yīng)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間、空間量。

圖3 水下滑翔機(jī)的螺旋運(yùn)動(dòng)軌跡Fig. 3 The spiral motion trajectory of an underwater glider

圖4 運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig. 4 Variation of the velocity with the time

從圖4可以看出，隨著時(shí)間的變化，水下滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度 υ， ω將逐漸穩(wěn)定，相應(yīng)的水下滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)也將逐漸達(dá)到穩(wěn)態(tài)。為進(jìn)一步定量地驗(yàn)證本文穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)仿真方法的正確性，將本文回轉(zhuǎn)半徑的分析結(jié)果與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果進(jìn)行對比，如圖5所示，其中, mb=0.3 kg?？梢钥闯?，2種方法結(jié)果的變化趨勢一致，但量值上存在較小的差別，原因?yàn)槲墨I(xiàn)[9]中為采用遞歸方法實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的快速分析，在推導(dǎo)過程中忽略了質(zhì)量矩陣中影響較小的耦合項(xiàng)，而本文方法從滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)微分方程入手，更為詳細(xì)地計(jì)入了質(zhì)量矩陣?？傮w看來，本文的運(yùn)動(dòng)仿真方法可用于水下滑翔機(jī)穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)空尺度的分析。

圖5 本文方法的驗(yàn)證Fig. 5 Validation of the method presented in this paper

4 時(shí)空尺度的分析

根據(jù)水下滑翔機(jī)沿垂向的運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行分類，水下滑翔機(jī)的穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)可分為上浮螺旋運(yùn)動(dòng)和下潛螺旋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)重力大于浮力，即mb＞0時(shí)，滑翔機(jī)將進(jìn)行下潛螺旋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)需調(diào)節(jié) rrx使水下滑翔機(jī)的重心在浮心的前方，從而保證滑翔機(jī)沿著機(jī)頭的方向滑行。而當(dāng)重力小于浮力，即mb＜0時(shí)，滑翔機(jī)將進(jìn)行上浮螺旋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)需調(diào)節(jié) rrx使滑翔機(jī)的重心在浮心的后方。以Seawing水下滑翔機(jī)為例進(jìn)行研究，通過改變滑翔機(jī)下潛和上浮運(yùn)動(dòng)中的控制參數(shù)，系統(tǒng)地設(shè)計(jì)一系列穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)計(jì)算工況，進(jìn)而分析水下滑翔機(jī)的時(shí)間、空間尺度特征隨控制輸入?yún)?shù)間的變化規(guī)律。

在下潛和上浮運(yùn)動(dòng)中保持 rrx和mb的取值不變，通過改變進(jìn)行穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的計(jì)算，可得螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)空尺度特征隨轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，如圖6所示。其中，, mb=0.3 kg，對應(yīng)下潛螺旋運(yùn)動(dòng)； rrx=0.42m,mb=0.3 kg，對應(yīng)上浮螺旋運(yùn)動(dòng)?？梢钥闯?，回轉(zhuǎn)半徑R 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，其方向與轉(zhuǎn)角的方向一致；螺距 H 和回轉(zhuǎn)周期關(guān)于位置左右對稱。隨著轉(zhuǎn)角 γ絕對值的增大，上浮和下潛螺旋運(yùn)動(dòng)中回轉(zhuǎn)半徑 R 、螺距 H 和回轉(zhuǎn)周期的絕對值均減小。這表明在有限尺度的空間中轉(zhuǎn)向時(shí)，可考慮增大來降低轉(zhuǎn)向過程中所需的時(shí)間、空間尺度。

在下潛和上浮運(yùn)動(dòng)中保持 γ和mb的取值不變，通過改變 rrx進(jìn)行穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的計(jì)算，可得到時(shí)空尺度特征隨 rrx的變化規(guī)律，如圖7所示。其中， mb=0.3 kg,γ=90°和mb=-0.3 kg, γ =90°，分別對應(yīng)下潛螺旋運(yùn)動(dòng)和上浮螺旋運(yùn)動(dòng)?？梢钥闯?，在下潛螺旋運(yùn)動(dòng)中，回轉(zhuǎn)半徑、螺距和回轉(zhuǎn)周期 T均存在最大值；在上浮螺旋運(yùn)動(dòng)中，回轉(zhuǎn)半徑 R存在最大值，而且上浮過程中的回轉(zhuǎn)周期要小于下潛過程。 rrx在0.4～0.405 m附近時(shí)，水下滑翔機(jī)的重心和浮心的縱向位置比較接近。盡管在最值位置兩側(cè)的單調(diào)范圍中調(diào)節(jié) rrx，均可降低所需的時(shí)空尺度，但總體來看，當(dāng)調(diào)節(jié) rrx來減小水下滑翔機(jī)的重心和浮心的縱向距離（使 rrx接近0.4～0.405 m范圍），更有助于快速地降低螺旋轉(zhuǎn)向過程中的時(shí)間、空間尺度。

圖6 時(shí)空尺度隨轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律Fig. 6 Relationship between the temporal and spatial scales and the rotation angle

圖7 時(shí)空尺度隨縱向位置的變化規(guī)律Fig. 7 Relationship between the temporal and spatial scales and the longitudinal position of the movable block

圖8 時(shí)空尺度隨凈浮力的變化規(guī)律Fig. 8 Relationship between the temporal and spatial scales and the net buoyancy

5 結(jié) 語

本文通過對水下滑翔機(jī)穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、空間尺度進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：1）建立水下滑翔機(jī)的穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)仿真方法，并驗(yàn)證了該方法的正確。2）系統(tǒng)地分析了穩(wěn)態(tài)螺旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)空尺度特征隨控制輸入?yún)?shù)間的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了上浮和下潛運(yùn)動(dòng)中變化規(guī)律的不同之處。3）當(dāng)通過調(diào)節(jié)移動(dòng)滑塊的轉(zhuǎn)角或縱向位置來降低螺旋運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間、空間尺度時(shí)，可考慮增大滑塊轉(zhuǎn)角、減小水下滑翔機(jī)的重心和浮心的縱向距離來實(shí)現(xiàn)。4）當(dāng)通過調(diào)節(jié)凈浮力來降低螺旋運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間、空間尺度時(shí)，在下潛過程中可考慮降低凈浮力，在上浮過程中應(yīng)根據(jù)轉(zhuǎn)向時(shí)刻mb的具體量值來調(diào)節(jié)。