二維編織C/SiC復合材料板疲勞損傷分析

陳天雄， 張錚， 王奇志， 林彗星

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100083)

近年來，C/SiC陶瓷基復合材料逐漸發展，越來越多地被應用于航天器、運載火箭等高速飛行器中[1-2]。C/SiC陶瓷基復合材料使用碳纖維作為增韌補強材料，克服了其陶瓷基體脆性大的缺點，擁有較高的強度和硬度、良好的抗高溫氧化和抗腐蝕特性，耐熱沖擊性高，因此主要作為耐燒蝕和耐高溫結構材料[3]，應用前景廣闊。國外從20世紀末開始便對陶瓷基復合材料開展了大量實驗與理論研究[4-7]，而國內的相關研究開展稍晚，主要為不同應力比以及高溫、水氧等各種環境下的疲勞試驗研究[8-10]，但相關理論研究較少，工程適用性不高。

本文基于損傷力學理論，提出了2種形式的損傷演化方程，考慮了應力和損傷的耦合作用，結合商用有限元軟件對該材料的板模型進行了損傷模擬和定性分析，方法適用性良好，對工程設計及疲勞壽命預估具有理論指導意義。

1 損傷演化方程

材料內部所存在的微小缺陷，例如微裂紋、錯位、空洞等，導致材料宏觀力學性能的劣化，稱之為損傷。損傷力學誕生至今，已得到了長足發展，張行等[11-12]將損傷力學應用于金屬構件的疲勞壽命預估分析，形成了比較完備的疲勞損傷力學理論體系。宏觀力學損傷研究的基本思路是：定義一個與損傷程度相關的不可逆的連續場變量，即損傷場[13]，通過力學方法構建含損傷的材料本構關系，建立相應的損傷演化方程，并使用材料標準試樣疲勞試驗得到的疲勞壽命(S-N)曲線擬合得到相應參數，進而計算材料損傷及預估結構疲勞壽命。

損傷度通常用材料彈性模量的折減程度表示：

(1)

式中：D為材料的損傷度；E和ED分別為材料在損傷發生之前和之后的彈性模量。

對于各向同性材料，一般根據等溫過程下的熱力學原理，定義損傷驅動力Y為應變能密度W對損傷度偏導的負值，將受脈動循環載荷材料的損傷演化方程[14]寫為

(2)

式中：N為加載周次；Ymax為脈動載荷下最大應力所對應的最大損傷驅動力；a、m和n為材料損傷參量，可根據材料的疲勞壽命曲線擬合得到。

若定義等效應力σe為

(3)

式中:σx、σy、σz、τyz、τzx、τxy分別為x、y、z方向的正應力和切應力;μ為材料泊松比。則損傷驅動力Y可進一步表示為

(4)

由于復合材料內部結構擁有纖維、基體、界面等不同結構組分，其損傷形式與普通金屬材料不同。復合材料結構常見的損傷形式有基體開裂、基體纖維界面脫膠、纖維斷裂和層間分層等[15]。這些損傷的萌生和演化對材料宏觀力學性能和使用壽命起著決定性的作用，同時，由于復合材料本身的復雜性，其損傷研究尚未形成完善的體系。

二維平紋編織C/SiC復合材料的材料屬性為正交各向異性，其經向和緯向纖維損傷的相互影響很小，某一方向纖維發生部分甚至完全失效并不會影響另一方向纖維的承載能力。因此針對二維平紋編織C/SiC復合材料板結構，結合Tsai-Hill準則，參考張行的《斷裂與損傷力學》給出損傷演化方程的形式[16]，引入面內3個方向相互獨立的各向異性損傷演化方程：

(5)

式中：Di為面內3個方向的損傷度，下標i為x、y或xy；A、B、m和n為材料損傷參量；η為面內兩方向應力之比；σth為應力門檻值；σeq為使用Tsai-Hill準則形式的等效應力，其計算式為

(6)

式中：Sx、Sy分別為材料x、y方向拉伸強度；Sxy為面內剪切強度；F12為耦合參數。

2 二次開發程序及損傷仿真計算結果分析

使用大型通用有限元分析軟件ANSYS的參數化設計語言APDL，本文針對損傷分析問題進行了二次開發，對模型求解后，提取各個單元的應力代入損傷演化方程，計算并累加其損傷度，判斷是否滿足破壞條件(即損傷度達到1)，而后依據其損傷度對各個單元進行剛度折減，并重新加載進行求解。基本流程如圖1所示。

下面使用該二次開發程序對二維編織C/SiC復合材料板結構等模型進行損傷仿真分析。

2.1 均布循環載荷下正文各向異性薄板損傷分析

本文研究的正交各向異性薄板結構的長、寬、厚的比值為253∶173∶1。假設材料制作工藝理想，基體填充密實，所用材料參數如表1所示[17]。

由于對稱性，在ANSYS中建立板的四分之一模型，采用solid185單元，垂直于板面方向分為5層，共使用31 680個單元。板面周邊20倍厚度范圍內施加垂直于板面的位移約束(如圖2所示)，中心區域施加垂直于板面的法向均布載荷，對稱邊界施加對稱約束。圖中垂直于板面為z軸方向，沿板寬度方向為x軸方向，沿板長度方向(即豎直方向)為y軸方向。

表1 正交各向異性薄板模型材料參數[17]Table 1 Material parameters of orthotropic thin plate model[17]

板正面所受x方向正應力分布結果如圖3(a)所示，y方向正應力如圖3(b)所示。可見，板模型所受x、y方向正應力的最大值分別發生在板受載區域的長邊中心和短邊中心，板上下表面應力基本相等。其中x方向正應力的最大值約為y方向正應力最大值的1.4倍。

由于C/SiC復合材料的基體屬于脆性材料，導致該材料在初次受載后會產生較大的損傷[18](本文中稱之為初始損傷)，因此損傷度初始值不為零，其大小由初次加載產生的應力決定。另外使用各向異性損傷演化方程式(5)，結合該材料的S-N曲線[19]進行擬合，得到損傷演化方程如下：

圖2 模型及約束條件Fig.2 Model and constraint condition

圖3 應力分布云圖Fig.3 Stress distribution contour

(7)

將式(7)代入二次開發程序進行損傷累計，發現x方向損傷演化最快，y方向和xy剪切損傷度基本不變。損壞首先發生于板背面(不直接受載面)長邊中心位置，即x方向應力最大值發生位置，而后經過較長時間板正面才發生損壞，且后續損壞擴展速度急劇提高，并由初始位置沿板長方向擴展，總體而言正面裂紋擴展速度要快于背面，損傷演化過程如圖4所示。

分別提取板正反面x方向最大損傷度Dx進行對比，發現加載之初，板正反面損傷演化進程基本一致，但載荷循環周次達到約75.7×104后，損傷進程發生明顯分離，板背面最大損傷度急劇上升，如圖5所示。

進一步對板損壞單元的損傷度演化過程進行考察，板背面最先損壞的3個單元及正面最先損壞的幾個單元的損傷度演化分別如圖6所示。將破壞單元按正反面分開且按破壞順序依次標記，圖中標注“*面單元-[j]”中的“j”代表正面或反面損壞單元的損壞次序號。

圖4 正交各向異性板正反表面損壞單元數Fig.4 Number of damaged units on front-side and back-side surface of orthotropic plate

另外，同樣對上述單元的等效應力發展進行考察，如圖7所示，發現在首個單元發生損壞后，臨近單元損傷度增長遽然減緩，分析其原因，應是板背面首個單元發生損壞導致板局部剛度改變，損傷局部的應力重新分布，其等效應力下降，進而使得板正面損傷度發展減緩。

圖5 正交各向異性板正反表面損傷進程分離Fig.5 Front-side and back-side surface damage evolution separation of orthotropic plate

圖6 板背面單元和板正面單元損傷度Fig.6 Damage degree of plate back-side units and plate front-side units

綜合對比圖6和圖7發現，背面第1個單元破壞前，亦即全板第1個單元破壞前，隨著材料損傷累計，全板應力水平逐步下降，損傷累計急劇增長；背面第1個單元破壞后，臨近區域的單元損傷演化呈現平臺狀，損傷累計顯著減緩；同時，板正反面的臨近單元等效應力顯著減小。

但由于背面第1個單元破壞后，相應的板正面單元，與其他臨近單元相比，損傷最大(參看圖7)，其應力雖有所減小，但其損傷演化仍遠快于包括背面相應單元在內的其它臨近單元，因此成為全板第2個發生后繼破壞的單元。

此后，特別突出的現象是，正面單元的破壞導致其同面臨近單元所受等效應力水平出現跟隨性階躍增長，參看圖7(b)，急劇加速了同面單元的后繼破壞。這一現象往復相隨，造成正面該局部出現連續性單元破壞，板整體進入加速損傷的非穩定態。

從另一角度看，單元最終的破壞也是損傷狀況和應力共同作用的結果。

在正面第1個單元發生破壞前，正面第2個發生破壞的單元與背面第2個發生破壞的單元的損傷度基本一致(參看圖8)，而背面第2個破壞單元的等效應力略大，因此其損傷度發展較快；但是，當正面第1個單元發生破壞時，導致正面第2個發生破壞的單元其等效應力跳躍增大(參看圖9)，因此，最后階段正面第2個單元的損傷度發展超過了背面第2個破壞的單元，并首先發生了損壞。對比圖8和圖9可見，等效應力保持穩定時，損傷演化較為緩慢；一旦發生單元破壞，整體應力重新分布，造成應力水平的階躍，同時造成單元進入加速損傷的不穩定狀態。

圖7 板背面單元和板正面單元等效應力Fig.7 Equivalent stress of plate back-side units and plate front-side units

圖8 板正面單元和背面單元的損傷度對比Fig.8 Comparison of damage degree between plate units of front-side and back-side

圖9 板正面單元和背面單元的等效應力對比Fig.9 Comparison of equivalent stress between plate units of front-side and back-side

2.2 考慮基體沉積工藝情況的正交各向異性薄板損傷分析

實際上，平紋編織C/SiC復合材料往往采用化學氣相滲透法(CVI)進行制作[20]，由于工藝原因，其成品往往上下表面基體沉積較為密實，材料性能相對較強，中間部分基體卻比較疏松，材料性能較弱。一般而言，材料上下表面層與中間層的厚度之比約為1∶4。材料參數如表2所示。

在ANSYS中建立同樣尺寸的具有上述中間層和表面層材料參數的三層板模型，并取四分之一模型施加同樣的邊界條件與載荷，其應力分布與單層材料情況十分接近，x、y方向正應力的最大值仍發生在板受載區域的長邊中心或短邊中心，正反面基本相等。

同樣進行損傷模擬，發現x方向損傷度發展仍然最快，且損傷首先發生于板正面(受載面)受載區域長邊中心，即x方向應力最大值發生位置。正面裂紋半長發展到一定長度后，板背面才開始開裂，且板中間層隨后也開始迅速開裂，如圖10所示。

本例中最初的損傷單元都發生在板正面；中間層由于材料性質很弱，當上下表面層單元發生破壞后，幾乎失去承載能力，同時發生破壞。由于沉積工藝問題，材料的整體性產生很大不同，相比于均勻理想沉積的情況，本例中板的疲勞壽命有極大弱化，損傷演化過程也有很大不同，單元破壞數與加載周次呈現良好的線性關系，體現出材料脆性破壞的典型特征。

表2 正交各向異性薄板中間層和表面層材料參數Table 2 Material parameters of middle layer and surface layer in anisotropic thin plate

圖10 正交各向異性三層板損壞單元數Fig.10 Number of damaged units of orthotropic three-layer plate model

3 損傷演化方程建立及損傷演化仿真

第1節中所述的等效應力變程是基于Tsai-Hill準則形式的無量綱量，從損傷演化方程中損傷驅動力具有的應變能性質考慮，其物理性質并不適當。另外，采用等效應力作為損傷驅動力主項，其對應的損傷度應為材料的綜合損傷度，材料損傷的各向異性應表現為宏觀裂紋的擴展，因此，將等效應力定義修改為如下形式：

(8)

將式(8)代入損傷驅動力方程，得

(9)

由此得到材料受脈動循環載荷的材料，其損傷演化方程形式仍如式(2)所示。

由材料S-N曲線對上述參數進行擬合，得到基于新的等效應力公式的等效損傷演化方程。

為驗證上述損傷演化方程對于損傷各向異性演化描述的適用性，使用正方形板的四分之一模型，保證板x和y方向的受力狀態對稱，在不同的x和y方向強度條件下進行損傷模擬分析，損傷擴展云圖結果如圖11所示。

可以看到，在x和y方向受力對稱的情況下，x方向材料強度不變，當y方向材料強度較小時，在y方向應力最大處先發生單元損壞，且后續損壞沿x方向擴展，即由y方向應力主導損傷演化；當y方向材料強度增大時，除了發生上述損傷演化，在x方向應力最大處也會發生較為明顯的損傷演化，并沿y方向后繼擴展。

上述現象說明，式(9)所定義的損傷驅動力由于考慮到材料各向的強度不同，在常規損傷演化方程式(2)所描述的損傷演化中，較好地揭示由于材料各向異性，特別是材料強度各向不同，所造成的材料損傷演化的各向異性。進一步，損傷驅動力是損傷演化的主導因素，損傷驅動力的“各向異性”在很大程度上直接決定了宏觀損傷演化的各向異性，本文提出的損傷驅動力比較好地容納和體現了損傷演化各向異性的內在動因，因此，損傷演化仿真結果也較為合理。

圖11 正方形板不同強度條件下損傷擴展云圖Fig.11 Damage extension contour of square plate under different strength conditions

4 結 論

1) 材料或結構的損傷，是由損傷驅動力主導的，同時受材料強度和應力狀態影響。因此無論材料是各向同性還是各向異性，損傷一旦發生，損傷驅動力中的主要應力成分仍將對后繼損傷演化產生決定性作用，所以損傷的發展必然是各向異性的。

2) 在復雜應力狀態下，損傷演化的基本狀況仍然如上所述。對于各向異性材料而言，材料的基本特征首先體現在材料模量的各向異性，同時，也反映在材料各方向強度的不同上。但就損傷演化而言，材料強度的不同對材料各向異性演化將起到更重要的作用。

3) 基于對正交各向異性復合材料的損傷分析的結果，提出了式(9)所定義的損傷驅動力，用以反映主要應力成分及材料強度對損傷演化的作用，從而揭示損傷演化在損傷驅動力的影響下所必然呈現的各向異性特征。

4) 受限于相關實驗基礎的欠缺，提出的如式(8)、式(9)和式(2)所構成的損傷演化描述體系尚有待通過實踐進一步驗證和改進。但本文基于損傷力學理論，根據材料標準試樣疲勞S-N曲線確定損傷演化方程參數，進行了定性模擬分析，具有理論嚴謹性和一定的實驗基礎。通過本文損傷模擬的結果，說明損傷演化方程具有基本的理論合理性和與基本損傷演化認識的一致性。