水平井多裂紋同步擴展的偏折分析

陳旻煒， 李敏， 陳偉民

(1. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院， 北京 100083；2. 中國科學院力學研究所 流固耦合系統(tǒng)力學重點實驗室， 北京 100190)

裂紋是存在于物體中的一對自由面，它對結(jié)構(gòu)或者材料都有相當大的破壞作用。特別是裂紋的裂尖位置，這里的應(yīng)力值比其他地方的高出好幾個數(shù)量級。因此，當今對于裂紋的主流研究是考慮如何防止材料及構(gòu)配件產(chǎn)生裂縫，或者對開裂的構(gòu)件采取止裂措施以保證結(jié)構(gòu)的安全性。然而最近幾年隨著越來越多的頁巖氣、頁巖油和地熱能等地下資源獲得了廣泛的關(guān)注[1]，人們開始尋求一種合適可控的方法能在地下巖層中制造出更多的裂縫來提取資源。在油氣工程中，為了提高非常規(guī)油氣井的產(chǎn)能所經(jīng)常使用的技術(shù)是水力壓裂技術(shù)。它通過在預先布置好的井管內(nèi)注入壓裂液，使壓裂液進一步壓裂周圍巖層形成裂紋網(wǎng)絡(luò)從而提升低滲基體的滲透性達到增產(chǎn)的目的。學者經(jīng)過多年的研究發(fā)現(xiàn)水平井鉆孔結(jié)合水力壓裂技術(shù)能有效地在頁巖油氣層中形成致密的裂紋網(wǎng)絡(luò)，改善頁巖地層的低滲透特性，為油氣的提取提供更多的“通道”。但是在形成裂紋網(wǎng)的過程中，裂紋之間的相互影響會干擾裂紋網(wǎng)的構(gòu)成[2]，這也會影響到最后油氣資源的開采效率。裂紋的相互作用會受到裂紋偏折、交匯、巖層分散性、裂紋之間的摩擦力、水平井的鉆孔間距以及原始地層應(yīng)力等因素的影響[3]。

許多學者針對水平井裂紋之間的相互作用也展開了諸多研究。Gale等[4-5]在頁巖地層中加入了大量的材料間斷元素，例如巖層的交界面以及閉合的天然裂紋等，探討了這些間斷對水壓裂紋擴展的影響。Lee等[6]通過研究水壓裂紋在預制弱間斷層的偏折現(xiàn)象，認為間斷層會對地層中裂紋網(wǎng)的形成產(chǎn)生重要的作用。曾青冬和姚軍[7]建立了多裂紋同步擴展的數(shù)學模型，利用擴展有限元方法研究了應(yīng)力陰影對裂紋擴展形態(tài)的影響。郭印同[8]和衡帥[9]等利用自建的一套頁巖水力壓裂物理模擬與壓裂縫表征方法分析了水壓裂紋在含天然層理面的頁巖中的開裂狀況，揭示了層理在頁巖網(wǎng)狀壓裂縫形成過程中的重要作用。陳勉[10]從斷裂力學角度出發(fā)，通過三維空間中水力裂縫激活和轉(zhuǎn)向控制方程，分析了控制裂縫轉(zhuǎn)向擴展形態(tài)的關(guān)鍵因素和力學特征并進行實例計算。Chuprakov和Zhubayev[11]采用變分原理的方法，通過解析模型得到閉合裂紋的張開滑移區(qū)域的大小對水壓裂紋在交匯及穿透期間重新起裂的影響。

上述研究都是針對于裂紋之間或者裂紋與間斷面之間相互作用而展開的，即探究應(yīng)力影對裂紋擴展的影響。然而，多數(shù)學者的著重點都在試圖建立一個與實際情況很接近的分析模型，然后通過最終的計算結(jié)果來描述各種因素對裂紋萌生情況的影響。他們很少提及裂紋在擴展過程中裂紋受應(yīng)力影響所發(fā)生偏折的具體原因。經(jīng)研究表明[12]，在薄層和低滲地層中，縱向開裂水平井比豎直井的產(chǎn)量要高，因此本文只針對水平井鉆孔技術(shù)部分進行分析，先根據(jù)裂尖附近應(yīng)力場特征建立一個全新的裂尖權(quán)函數(shù)，在驗證完裂尖權(quán)函數(shù)的正確性后，試圖結(jié)合網(wǎng)格重劃分方法與最大主應(yīng)力方法分析影響水平井多裂紋擴展路徑的多種因素，例如，應(yīng)力差、裂紋數(shù)目和裂紋間距等，再探討多裂紋在相互干擾情況下發(fā)生轉(zhuǎn)向的原因。

1 裂尖權(quán)函數(shù)

1.1 權(quán)函數(shù)的建立

由于裂尖位置是一個奇異點，在有限元分析中，裂尖位置處的應(yīng)力應(yīng)變值是無法直接得到的，它需要通過裂尖鄰近單元的高斯點插值得到。因此直接對這個點進行應(yīng)力狀態(tài)分析的誤差是很大的。為了在有限元分析中能更加準確地捕捉裂尖處的應(yīng)力狀態(tài)，需要在裂尖附近的單元中收集更多的信息。因此，本文想通過建立一個權(quán)函數(shù)來連接裂尖與其附近單元高斯點處的信息，間接獲得裂尖處的受力情況。

裂尖附近的單元以及高斯點的分布如圖1所示，高斯點距離裂尖的長度為D，高斯點和裂尖連線與x′軸所夾角為θ。裂尖處以r為半徑所繪制的區(qū)域圓是收集附近單元信息的范圍，r的取值可以參考擴展有限元對裂尖的處理[13]。這里的r取為3倍的裂尖附近單元平均邊長。在裂尖處建立一個x′O′y′的局部坐標系，它是權(quán)函數(shù)建立的基礎(chǔ)，沿著裂紋面的方向為x′方向，垂直于裂紋面的方向為y′方向。只要能找到一個充分描述裂尖附近應(yīng)力特征的權(quán)函數(shù)w，則裂尖處的應(yīng)力就可以等效為

(1)

式中：σ為裂尖處的等效應(yīng)力；wi與σi分別為第i個高斯點處的權(quán)函數(shù)值與應(yīng)力值。

裂尖開裂的方向角θ為

(2)

式中：σPriS、σy和τxy分別為裂尖處的等效主應(yīng)力、等效y方向應(yīng)力和等效xy方向應(yīng)力。而裂尖的開裂條件可由最大主應(yīng)力準則來確定，即σ>σ1時，裂紋起裂。其中σ1為等效主應(yīng)力。

從圖1可知，構(gòu)造得到的權(quán)函數(shù)w不僅與高斯點到裂尖的距離D有關(guān)，還與角度θ有關(guān)。為了能保證周圍高斯點處應(yīng)力值提取的正確性，需要首先用有限元高斯點處應(yīng)力值與該點處的解析解[14]進行對比，舍棄兩者之間差異比較大的部分。由于本文研究的是平面問題，因此只需要考慮Ⅰ型與Ⅱ型的應(yīng)力狀態(tài)即可。高斯點應(yīng)力值與解析解的對比結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖1 裂尖附近單元及高斯點分布圖Fig.1 Distribution diagram of element and Gauss point near crack tip

圖2 Ⅰ型裂尖附近的應(yīng)力誤差云圖Fig.2 Error contour of stresses near model-Ⅰcrack tip

圖3 Ⅱ型裂尖附近的應(yīng)力誤差云圖Fig.3 Error contour of stresses near model-Ⅱcrack tip

(3)

經(jīng)驗算后，本文中的n取值為3，具體的確定過程可見附錄A。

圖4 角度與距離函數(shù)曲線Fig.4 Curves of angle and distance function

1.2 權(quán)函數(shù)的驗證

權(quán)函數(shù)建立之后，需要對它的正確性進行驗證。本文選取了2個裂紋擴展的算例，通過裂紋擴展路徑的偏差大小來驗證該方法。參考路徑采用最大周向拉應(yīng)力方法(MCS)[16]和另一種權(quán)函數(shù)方法(文獻[17] 方法)的計算結(jié)果。為了量化偏差值，需要引入一個計算公式:

(4)

式中：ainit為裂紋的初始長度；si為從曲線l2上第i個點到曲線l1的距離，如圖5 所示。

式(4)表示的是擬合曲線與目標曲線之間參考點的距離之和。這里需要注意的是在同一組曲線比較中，所選取的點數(shù)必須是一樣的。最理想的擬合結(jié)果是計算公式的結(jié)果為0。

圖5 裂紋路徑誤差示意圖Fig.5 Schematic of crack path error

1.2.1 算 例 1

含有2個中心對稱圓孔的矩形平板，底部固定，頂端承受拉伸位移，使平板只能在豎直方向上移動。2條長度均為1 mm的預制裂紋在孔洞離邊界的較遠一側(cè)，并且呈中心對稱分布，模型示意圖如圖6所示。模型的材料參數(shù)如下：彈性模量E=200 GPa，泊松比ν=0.3，材料的臨界應(yīng)力強度因子KC=1 500 N/mm3/2。

最終的對比結(jié)果如圖7所示，3條開裂路徑都非常接近，利用本文權(quán)函數(shù)計算得到的開裂路徑介于MCS方法與文獻[17]方法的中間，且?guī)缀跖cMCS方法的結(jié)果重合。路徑之間的偏差通過式(4)可以得到，本文方法與MCS方法的偏差在1.75，而文獻[17]方法與MCS方法的偏差達到了3.64。

圖6 帶孔板邊緣多裂紋擴展的模型示意圖Fig.6 Schematic of model of multiple edge cracks propagation of hole plate

1.2.2 算 例 2

該算例采用的是四點彎曲梁試件開裂模型，具體參數(shù)如圖8所示,L和h分別為四點彎曲梁試件的長度和高度。簡支梁在靠近左支座處有一條初始裂紋，梁頂端的三分點處均承受了集中力F的作用。

計算結(jié)果如圖9所示，圖中箭頭所指的是局部放大圖。3條裂紋擴展路徑很接近，其中下半部分的偏差略大于上半部分的偏差。本文方法和文獻[17]方法與MCS的偏差分別為1.41和1.59。

綜上所述，通過2個算例的結(jié)果可以看出，本文所采用的權(quán)函數(shù)方法具有分析裂尖應(yīng)力場的能力，是一種可靠的方法，能較準確地描述裂尖的應(yīng)力狀態(tài)。由于該方法是基于開口型裂紋開發(fā)的，因此對于閉口型裂紋或者壓縮接觸裂紋需要另外考慮。然而，在水力壓裂分析中，主裂紋的開裂方式主要是張拉破裂，并且對于地應(yīng)力差異較小的情況下，地層沿天然裂縫發(fā)生剪切的破裂的可能性也較小[9]。所以在隨后的水平井鉆井技術(shù)分析中，不考慮天然裂縫的起裂與大應(yīng)力差情況時，可采用同樣權(quán)函數(shù)來分析裂紋發(fā)生偏折的原因。

圖7 不同方法的開裂路徑對比(算例1)Fig.7 Comparison of crack path among different methods (Example 1)

圖8 四點彎曲梁試件模型Fig.8 Model of 4-point bending beam specimen

圖9 不同方法的開裂路徑對比(算例2)Fig.9 Comparison of crack path among different methods (Example 2)

2 水平井多裂紋有限元模型的建立

2.1 模型描述

圖10 有限元模型示意圖Fig.10 Schematic of finite element model

圖11 有限元網(wǎng)格模型Fig.11 Mesh of finite element model

2.2 模型假設(shè)

為了問題研究的方便，本文忽略套管和水泥環(huán)的影響；視地層為線彈性均質(zhì)各向同性、無限大平面；裂紋開裂是一個準靜態(tài)的過程；重力作用在較短的計算段內(nèi)產(chǎn)生的壓力比起裂時的井筒壓力小得多，可以忽略不計[19]；不考慮流體滲入地層中所引起的附加應(yīng)力，壓裂液均勻分布在裂紋中；一般情況下，射孔都會被模擬成圓柱狀，但是在實際中，射孔的形狀與標準的圓柱是有差異的[20]。因此本文在計算時，忽略了射孔的形狀。

裂紋內(nèi)的液體壓力被看作是常壓力，但研究表明井口處的壓力在裂紋開裂后會出現(xiàn)小幅度的下降[21]。這說明裂紋內(nèi)的液體壓力并不是恒定不變的。為了讓模擬過程接近工程實際，本文在處理液體壓力時，采用如下方法：在開裂前，裂紋內(nèi)的液體壓力是隨著時間逐漸增加的；當液體壓力提升到裂紋開裂后，液體的壓力值會突然減小，再在隨后的加壓過程中逐步增大。每一條裂紋之間的液體壓力是獨立變化的，它們之間的壓力加載不會相互影響。

3 水平井多裂紋擴展結(jié)果

水平井多裂紋擴展模型的具體計算參數(shù)為：最小水平主應(yīng)力σh=15 MPa，最大水平主應(yīng)力σv=15～25 MPa，巖層的彈性模量E=14 GPa，泊松比ν=0.37，裂紋內(nèi)水壓p的最大值為25 MPa，巖層的等效斷裂韌度KC=3 N/mm3/2。為了便于問題的分析，本文把水壓裂紋的間距d與初始長度l的比值d/l作為一個變量來討論，稱之為間長比(RSL)。接下來通過網(wǎng)格重剖分與權(quán)函數(shù)方法計算多裂紋擴展，研究裂紋數(shù)目、RSL以及應(yīng)力差等參數(shù)對裂紋擴展過程中路徑的影響，然后再由權(quán)函數(shù)方法分析擴展路徑發(fā)生變化的原因。

3.1 間長比的變化

此節(jié)考慮在同樣的裂紋射孔條件下，裂紋擴展過程中裂紋間長比對裂紋開裂的影響。這里將先從兩條裂紋開始分析，只考慮σh=σv的情況，通過增加裂紋數(shù)目來分析多條裂紋擴展時的開裂規(guī)律。

設(shè)定裂紋間長比的變化范圍為1.0～3.0，通過權(quán)函數(shù)方法計算得到的擴展路徑如圖12所示。從圖12中可以看出，當裂紋的間長比變大時，裂紋開裂的偏轉(zhuǎn)角反而越小，并且裂紋的擴展長度隨著RSL的增加而逐漸增長。這是因為當裂紋之間的間距增大時，裂紋之間的相互作用會越來越小，從而減弱了裂紋的偏折角度和阻礙裂紋擴展的作用力。

從裂紋擴展路徑圖中可以看出，由于裂紋起裂后的方向大致確定了裂紋后續(xù)的擴展方向，因此在分析裂紋偏折原因時可以結(jié)合裂尖權(quán)函數(shù)，把整個過程簡化成只研究裂紋起裂那一刻的偏折原因。

裂紋發(fā)生偏折的具體原因通過圖13曲線給出。圖中的橫坐標代表的是裂紋數(shù)目，縱坐標則代表無因次化應(yīng)力的大小，它等于裂紋開裂時裂尖的等效應(yīng)力值與單條裂紋開裂時裂尖等效應(yīng)力的比值。這里只分析最外側(cè)的1號裂紋，其他裂紋的分析類似。應(yīng)力方向是基于裂尖局部坐標確定的，從圖13中可知，多條裂紋在開裂時，裂尖的xy方向等效應(yīng)力是單裂紋情況下的十倍至幾十倍，而其他方向的應(yīng)力與單裂紋情況相比基本沒發(fā)生變化，通過方向角公式式(2)可以分析出裂紋是向右側(cè)偏折的。裂紋間長比越小，裂紋的偏折就越明顯，這個原因可以由圖14中曲線進行解釋。其中間長比為0的點表示是只有一條裂紋的情形。隨著間長比變大，xy方向的應(yīng)力會明顯減小，只有原來的一半。但是主應(yīng)力與y方向應(yīng)力的差異并不明顯，裂紋起裂偏折的角度也就越趨近于單裂紋的開裂狀態(tài)，所以裂紋偏折角度是變小的。之所以1號裂紋裂尖處的xy方向等效應(yīng)力會發(fā)生改變，是因為1號裂紋的左側(cè)增加裂紋之后，水壓力與最小水平主應(yīng)力的大小不一樣而造成裂尖位置受力會發(fā)生突變。由于增加裂紋數(shù)目對裂紋偏折角度的影響不如改變間長比的大，因此將不同間長比條件下角度和水壓的變化情況如圖15所示。從圖15中可以很清楚地發(fā)現(xiàn)，裂紋間長比對偏折角度和水壓有較大的影響，這是因為增加間長比會減弱裂紋之間的相互作用。

圖13 不同間長比條件下裂尖等效應(yīng)力隨裂紋數(shù)目的變化情況Fig.13 Variation of equivalent stress at crack tip with crack number under different RSL

3.2 應(yīng)力差的變化

本節(jié)固定RSL=1，改變應(yīng)力差σv-σh的值，研究不同應(yīng)力差條件下裂紋的開裂狀態(tài)。由加權(quán)等效應(yīng)力方法所計算出來的裂紋擴展路徑如圖16所示，當應(yīng)力差由0變化到20 MPa的過程中，裂紋擴展的擴展角度有明顯減小，但是應(yīng)力差的變化對裂紋擴展的長度影響并不大，而且相同應(yīng)力差條件下，增加裂紋數(shù)目對裂紋擴展偏折角度的影響也不大。因此應(yīng)力差值增加會減小裂紋開裂時的擴展角度。角度變小原因可以通過圖17中進行分析，圖中沒有考慮x方向的應(yīng)力是因為x方向應(yīng)力與式(2)并不直接相關(guān)。

圖14 不同裂紋數(shù)目條件下裂尖等效應(yīng)力隨間長比的變化情況Fig.14 Variation of equivalent stress at crack tip with RSL under different crack numbers

圖15 不同裂紋數(shù)目條件下裂紋偏折角度與水壓隨間長比的變化情況Fig.15 Variation of deflection angle and hydraulic pressure with RSL under different crack numbers

圖16 不同應(yīng)力差條件下的裂紋擴展路徑Fig.16 Crack propagation path under different stress contrast

圖17 不同裂紋數(shù)目條件下裂尖等效應(yīng)力隨應(yīng)力差的變化情況Fig.17 Variation of equivalent stress at crack tip with stress contrast under different crack numbers

當應(yīng)力差變大時，變化最明顯的是y方向應(yīng)力，而其他方向應(yīng)力變化很小，因此根據(jù)角度公式可知方向角也是相應(yīng)變小的。對應(yīng)角度變化曲線如圖18所示，角度隨著應(yīng)力差增加而減小，水壓略有增加但是幅度并不明顯，其中角度數(shù)據(jù)是以應(yīng)力差為0 MPa時2條裂紋的開裂數(shù)據(jù)為基準進行無因次化的。

圖18 不同裂紋數(shù)目條件下裂尖偏折角度與水壓隨應(yīng)力差的變化情況Fig.18 Variation of deflection angle and hydraulic pressure at crack tip with stress contrast under different crack numbers

4 結(jié) 論

本文根據(jù)裂尖應(yīng)力場的特征建立了裂尖權(quán)函數(shù)，其可以準確地描述裂尖受力狀態(tài)，并有效地對裂紋開裂原因進行分析。在以水平井壓裂技術(shù)為背景的前提下，利用裂尖權(quán)函數(shù)分析了多裂紋同步擴展過程中裂紋發(fā)生偏折的原因，得到：

1) 相比一條裂紋而言，裂紋數(shù)目增加后，裂紋的開裂方向會向外產(chǎn)生偏折，這是因為裂紋尖端的xy方向的等效應(yīng)力突然增大，而其他方向的等效應(yīng)力基本不發(fā)生變化而導致的。

2) 當裂紋的間長比逐漸增加時，裂尖的xy方向等效應(yīng)力會明顯減小，而主應(yīng)力與y方向的等效應(yīng)力差值并沒變化，因此裂紋的偏折角度會相應(yīng)地變小。

3) 在應(yīng)力差變大的過程中，相比同裂紋數(shù)目應(yīng)力差為0的條件下，xy方向的等效應(yīng)力與主應(yīng)力并沒有什么太大變化，但是y方向的等效應(yīng)力明顯地增加，因此偏折角度逐漸減小。