高中數學中排列組合的學習要點探討

曾辰宇

摘 要：在高中的數學課程中，排列組合是學習重點，本文主要研究高中數學中排列組合的學習要點，總結了三種解決問題的方法，分別是直接法、插空法、間接法。直接法要挑選出題目中的重點條件，插空法用于多個元素要求按照不相鄰條件排列的情況，間接法在解決問題要先忽略題目中的一些附件條件。最后討論排列組合知識在密碼破解中的作用，希望能為關注此話題的研究學者提供參考意見。

關鍵詞：排列組合；插空法；密碼

在學習的過程中，我們比較關注數學思想，比較注重排列和組合這兩大計數原理在數學題目中的應用。同時也注重這兩種計數方式在本質上的區別和聯系。在做題時我們往往都能寫出解題過程，但是解出的答案卻不正確。所以在做題時要掌握對題目化繁為簡的方法，也要將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題。要對排列組合的知識有更深層次的理解，真正學會如何辨別排列和組合。

1直接法

直接法適用于解決一部分的排列組合問題，挑選出題目中的重點條件，分析這些條件中的各個元素，判斷題目中的限制基礎，進而考慮其他的多種元素問題。比如重點考慮其中的位置元素，確定題目中限制位置的主要要求，之后再考慮其他的條件。一道排列組合的題目是這樣的：某次教務工作人員排列班級的課程表，課程表的課程有化學、物理、生物、語文。課程安排有特殊的要求，就是物理課程不能被安排在第二節課上，也不能安排在第三節課上，此時課程的安排方式有多少種？在解答這一排列組合的題目時，要抓住關鍵的限制要求，就是物理課程不能安排在第二節課上，也不能安排在第三節課上，所以要先思考物理課程如何安排，此時物理課程只能被安排在第一節課上或者是第四節課上，所以物理課程的排列方式有[C12]種，之后再考慮其它的課程要如何安排。此時可以按照隨機排列的方式來安排，組合方式共有[A33]種，此時這四個學科的排列方式共有[C12A33]=12種。

2間接法

間接法能夠解決一部分的排列組合問題，使用這種方法解決問題就是要先忽略題目中的一些附件條件，之后再計算排列組合的數量，接著將附加條件考慮在內，計算出不符合題目要求的數量，最后前后相減，得出題目的答案。有這樣一道題：學校舉辦運動會，現有5名男同學、4名女同學，要從這些學生中挑選出3名參加運動會，而且挑選的學生既要有女生，還要有男生。請問共有多少中挑選方式。如果使用直接法來解決這一問題，難度較大，思考起來比較復雜。所以應該使用間接法來解決這一問題。題目中的一個附件條件是組合方式中必須要同時有男生和女生，間接法就是先忽略這一條件。這樣問題就變成了從9名學生中挑選3名學生，此時組合方式共有[C39]。之后思考附加條件，考慮其中的兩種情況，一種是挑選的3名學生都是男生，另一種是挑選的3名學生都是女生，要把這兩種情況剔除，挑選的3名學生都是女生的組合方式有[C34]，挑選的3名學生都是男生的組合方式有[C35]，最后列出這道題的最終算式：[C39]-[C34]-[C35]=70種。

3插空法

插空法能夠解決一部分的排列組合問題，這種方法適用于多個元素要求按照不相鄰條件排列的情況。其中一些元素沒有限制條件，先把這些元素排列好。之后將有限制條件的元素插入其中。此時列好的算式就與題目的要求完全符合。比如：學校組織學生和老師一起去電影院看電影，在電影院內，一排座位的數量是12個，4名老師和8名學生坐一排，要求是教師不能相鄰，而且要坐在學生中間，那么一共有多少種排列方式？可以利用插空法來解答這一題目。學生位置沒有限制條件，組合方式共有[A88]種。老師的位置有限制條件，8個學生之間有7個空檔，將4名老師安排在這7個空檔位置上，安排的方式共有[A47]種。所以這道題的最終算式就是[A88A47]。這一題目的本質是不相鄰排列問題。其中有條件限制的是老師的座位，而安排學生的位置不受限制，所以要使用插空法特殊安排老師的位置。也就是說要先安排沒有條件限制的元素，之后再安排有條件限制的元素。這樣問題的解決就會變得比較容易。

4密碼問題

當前互聯網獲得了良好的發展，密碼的應用也變得很有必要，能夠有效保護用戶的隱私，能夠有效規避黑客襲擊，確保用戶的自身權益不受侵害。密碼的作用是驗證用戶的身份，而且這種方式比較方便，在網絡應用比較廣泛。學習密碼所有排列組合的知識，能夠了解密碼所有存在的排列可能，進而保證自己所設密碼的安全性。以銀行卡密碼為例，設置的密碼是六位數，運用排列組合的知識，解決“六位數的密碼共有多少種排列組合方式”這一問題，答案是106。在網絡技術十分發達的條件下，很有可能在較短的時間內，就將銀行卡密碼破解，所以六位數的銀行卡密碼并不安全，銀行為了切實保障用戶的財產安全，規定銀行卡如果一天內三次輸入的密碼都是錯誤的，那么銀行卡就會被鎖定。此時犯罪分子如果想要破解六位數的密碼，一天只能嘗試兩次，將所有的可能都嘗試一遍需要花費1369年。這樣破解銀行卡密碼的難度就變得很大。其他的密碼，比如QQ密碼、微信密碼都需要設置英文字母大小寫，還要與數字、符號結合，這樣才能保證密碼的安全。在實際生活中，黑客破解密碼使用的方法是順序排列組合，所以我們要養成不定期更改密碼的習慣，這樣密碼就永遠不會被破解。

5總結

綜上所述，古典概率論和排列組合之間有著十分緊密的聯系，這兩種知識覆蓋各個領域，有著十分廣泛的應用范圍。如今計算機技術快速發展，其中編碼程序、升級軟件構架都是在排列組合的知識基礎下完成的，所以作為一個高中生，要熟練掌握排列組合相關知識，為日后步入大學乃至社會打下良好的基礎。

參考文獻

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