基于數學史案例引導的高等數學教學研究

陳小蕾 鄭立飛 解小莉

摘 要：傳統的教學模式是講授式的，不利于學生自主地參與教學活動。因此，在高等數學教學過程中，教師可以數學史為依托，將數學發展過程中比較有趣的故事或實際中較為貼近生活的案例放在課堂上，并結合理論知識進行講解，充分調動學生學習積極性，將抽象的理論知識形象化。同時，教師也要結合專業特點，積極引導學生更好地了解數學、認識數學，發現數學的美。

關鍵詞：高等數學；數學史；案例教學

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A

文章編號：1673-9132（2019）07-0005-01

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2019.07.001

高等數學[1]是本科教學中非常重要的一個環節，也是各個專業學生學習的難點。案例教學法是在實際問題求解的鋪墊下構建數學知識，能夠培養學生數學思維和創新能力。基于此，在課堂上引入知識點相關的數學史知識或有趣的小故事吸引學生的上課興趣，以提高學生課堂興致，從而提高課堂教學效果。

一、案例教學在高等數學課程中的注意事項

在使用案例或數學史內容進行數學教學引入時需注意幾點[2]：（1）案例的選擇。選擇的案例需要和講解的理論內容緊密相關，盡量具有趣味性和實用性，如果可以和學生專業相結合，效果更佳。（2）案例的分析。從實際問題或形象思維開始，提出與內容相關的問題，引發學生的興趣與思考，帶動學生積極參與課堂教學。（3）引入新知識。在進行案例的分析和結果運算中，將相關理論知識引入，既解決了實際問題，又將抽象內容形象化，且以實例引入，讓知識結構更加完善。（4）案例的延伸。教師可以結合專業特點，列舉相關案例，更好地鍛煉學生對于理論知識的學習和應用。

二、案例教學法的實例

（一）利用希爾伯特無窮旅館的數學詭辯引入無窮大

很多學生并不能將無窮大（∞）的定義正確建立，因此教師可以借助于希爾伯特無窮旅館的數學詭辯給出形象的描述，使學生建立正確的直觀概念。使用該案例時，教師需特別指出無窮大是一個變量，并非具體數值能夠表示，并且該旅館為理想化旅館，現實是不存在的。

（二）利用最小曲線半徑引入曲率

許多學生對數學有誤解，不能很好地體會數學的意義，因此教師可以用一些非常實際的例子來引入和講解抽象的定義。例如，對于曲率K=|y''|/[（1+（y'）^2）^（3/2）]，大部分學生對于曲率的認識只知道記住公式，而曲率有怎樣的應用卻不知道。如果先引入火車轉彎時的彎度問題，也就是鐵路上常用的技術標準——最小曲線半徑，非專業的場合也稱為“轉彎半徑”，其意義等于幾何學上的曲線半徑。這個數字的倒數能夠反映曲線的彎曲程度，即曲率。那么，學生對于曲率的認識就是現實的、形象的，也知道這個定義和公式的價值，這能夠更好地激發學生的學習興趣。

（三）利用芝諾悖論（阿基里斯與兔子）引入數列極限

在高數學習初期，大多數學生仍然停留在形象思維階段，對于抽象思維很難接受和理解。如果教師能夠借助于形象思維進行輔助建立抽象的極限定義，就能幫助學生更好地從中學數學形象思維到高等數學抽象思維的平穩過渡。再借助于PPT動畫演示，幫助學生建立正確的數列極限定義，并進行形式上、定義上、性質上的延伸和推廣，形成系統性的數列極限定義。

（四）利用斐波那契數列引入二階常系數齊次差分方程

選擇斐波那契數列（Fibonacci sequence），以兔子繁殖問題進行引入，給出方程結構yt+2-yt+1-yt=0，定義二階常系數齊次差分方程 yt+2+ayt+1+byt=0，然后給出滿足方程的更多實例結構，例如：樹葉的排列、一些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀等，幫助學生建立更深刻的概念，結合多媒體教學播放PPT圖片或視頻等，加強立體概念的建立，讓學生將理論知識和實例應用直觀結合，這既豐富了課堂內容，又讓學生對專業知識有直觀的認識。

類似這樣的案例還有很多，比如利用安全車距引入微積分基本公式；利用兩次經過同一個地點引入零點定理；利用銀行貸款還款模型引入一階差分方程；利用交流電引入傅立葉變換；利用導彈發射引入向量；利用科赫雪花曲線引入常數項無窮級數及其斂散性等。在介紹新知識點的時候，教師可將相關數學史的內容引入，介紹知識的產生、結構以及所要解決的問題等。當進入到課堂中后期后[3]，因為學生已經掌握了一定的理論知識，教師可以通過介紹實例并引導提問—多形式討論—學生自主發表意見—教師總結或綜合評論的形式，來進一步鍛煉和提高學生相關知識中的判斷、分析以及應用能力。具體課堂內容的實施，還需和其他教學方法相結合，共同解決數學教學過程中的問題。

三、結語

在高等數學中運用數學案例是對高等數學教學的補充和完善。盡管在現實教學實踐中還存在著不少的問題需要不斷總結和討論，但對教學改革有著重要的影響。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陳榮.試析高等數學案例教學法及其應用實踐[J].時代教育，2016（24）：40.

[3]熊傳霞.淺析案例教學法在數學課堂中的運用[J].科技資訊，2015（24）：140.