二自由度振子型的二維LR聲子晶體彎曲振動帶隙研究

吳旭東，張茗海，左曙光，黃海東

(同濟大學 新能源汽車工程中心，上海 201804)

近年來聲子晶體因為其彈性波帶隙特性受到了學者廣泛關注，當彈性波頻率位于其帶隙頻率范圍之內時，彈性波就不能自由的傳播[1]。汽車車身板件振動是車內低頻結構噪聲的主要來源，因此衰減板件振動成為了車內降噪研究的熱點和難點，而聲子晶體的相關特性使它在汽車減振降噪方面具有極大的理論價值和應用前景[2]。

目前聲子晶體中的帶隙可以分為布拉格帶隙(頻率對應的彈性波波長和晶格常數處于同一數量級[3])和局域共振型帶隙(頻率所對應的彈性波波長比晶格常數大幾個數量級[4])。在結構有限情況下，局域共振帶隙可以抑制低頻的振動，被廣泛應用在桿[5]、梁[6]和板件上[7]。對于元胞中只含單個振子的聲子晶體，現有局域共振帶隙研究主要集中在單個彈簧型，文獻[8-9]等提出了一種周期性排列單彈簧單振子的局域共振聲子晶體板，研究了其低頻帶隙的形成機理和調節方法。文獻[10-12]聲子晶體中的元胞由單橡膠單振子組成，對其能帶結構和對應色散曲線的位移場進行分析，發現局域共振機理可獲得更低頻的帶隙。因此，現有研究僅限于單彈簧單振子基體板的垂向共振模式產生的一個完全帶隙[13-14]，尚未考慮到雙彈簧類型的聲子晶體，這時由于振子轉動自由度的增加，會對帶隙產生一定影響。

汽車行駛工況下，引起板件振動的激勵源往往較為復雜[15]，多頻段寬頻帶的激勵特點使其隔振成為一個難題，因此雙帶隙方面的研究得到了學者的廣泛關注。文獻[16-17]通過傳遞矩陣法計算了彈簧并聯或串聯多個振子的歐拉梁的雙帶隙，但并聯振子獲得的低頻帶隙較窄，而串聯振子則使高頻帶隙變窄。文獻[18]則提出了兩個橡膠串聯兩個振子的二維聲子晶體，分析了其雙帶隙的形成機理，進而分析了橡膠和振子的幾何參數對帶隙的影響，而文獻[19]則通過試驗證明了并聯振子形成的雙帶隙。因此，現有雙帶隙的產生需要通過多個彈簧串聯或并聯多個振子，從而得到多個振子的自由度，由此產生布置高度和振子質量的增加約束了其工程應用價值。如何通過單個振子即可得到目標的雙帶隙成為研究的難點，而振子的轉動自由度的引入則為問題提供解決方法。

針對以上問題，本文設計了一種具有雙自由度單振子的局域共振型聲子晶體板,與傳統多振子串并聯型聲子晶體相比，通過單個振子的平動和轉動相互耦合作用即可形成兩個低頻的彎曲波帶隙。從板件的彎曲振動方程出發，通過平面波展開法計算雙帶隙范圍，而有限元法和樣件試驗得到的振動傳遞函數驗證了雙帶隙計算方法的準確性，最后通過對各影響因素的分析為聲子晶體在汽車板件多頻減振應用上提供參考。

1 雙自由度振子型局域共振板帶隙計算分析

雙自由度振子型局域共振聲子晶體板的元胞模型如圖1(a)所示，板件通過兩彈簧共同連接著振子。其中，具體參數如圖1(b)所示，晶格常數為a，板件厚度用h表示，質量為m1；左右彈簧剛度分別用k1和k2表示，其距離板件中心分別為l1和l2；振子質量為m2，其尺寸為b1×b2×h2，轉動慣量為J。模型主要考慮對板件聲輻射影響較大的垂向振動(z向)，并沒有考慮板件的橫向位移的影響。

圖1 模型參數Fig.1 Model parameters

1.1 平面波展開法帶隙計算

根據基爾霍夫薄板理論，板件和振子的運動方程為

(1)

其中,

(2)

式中：w1為板件垂向位移；w2為振子垂向位移；θ為振子扭轉振動時繞y軸轉過的角度；D=Eh3/12(1-v2)是板件的彎曲剛度；ω為圓頻率；f為彈簧對板件或者振子的合力。

根據周期結構的Bloch定理

(3)

同時振子位置的位移滿足

(4)

由δ函數的定義求出

(5)

將式(3)～式(5)代入式(1)，整理得到

(6)

選取半軸上M個通過原點的倒格矢，因為G是二維矢量，那么總平面波數量為(2M+1)2，將方程整理成矩陣形式得到

(7)

其中，

至此，方程轉為求解矩陣特征值ω2問題，進一步可以求得頻率f。將波矢k沿著晶胞不可約Brillouin區的邊界進行掃描，將每一個波矢代入方程解出N個特征頻率得到聲子晶體的能帶結構圖。

1.2 有限元法帶隙特性驗證

為了驗證平面波展開法計算帶隙位置及寬度的正確性，在有限元中建立了8×8 周期的雙自由度振子型局域共振板。在有限元模型中，基體板厚度較薄，使用殼單元建模，可以滿足仿真的準確性同時減少網格計算時間，而振子需考慮轉動慣量的影響因此使用實體建模，振子和基體板則通過彈簧單元連接。在ABAQUS中進行加速度頻率響應分析，板件狀態為四周自由約束，板件加速度激勵信號及響應信號位置如圖2所示。

加速度頻率響應函數為

(8)

式中：ain為激勵信號；aout為拾取振動信號。

雙自由度振子型局域共振板參數如下：晶格常數a=50mm，板件厚度h=1 mm；板件和振子材料均為鋼，楊氏模量E=210 GPa，泊松比0.3，密度ρ=7 850 kg/m3；左右彈簧剛度為k1=25 000 N/m和k2=25 000 N/m，其距離板件中心l1=0.015 m和l2=0.015 m；振子質量為m2=0.05 kg，其尺寸為b1×b2×h2=40×10×16 mm，轉動慣量為7.73 ×10-6kg·m2。

通過MATLAB計算能帶結構圖如圖4(a)所示，選取平面波數量N=(2×5+1)2=121，與相同參數下的單彈簧振子聲子晶體對比(見圖3)，帶隙范圍雖然都為153～296 Hz，但雙彈簧型聲子晶體會在192 Hz處中存在著一條平直帶。這平直帶類似于二維聲子晶體的點或線缺陷結構，此時振動傳遞函數在帶隙范圍內有一個局域共振峰。如果將此局域共振峰的頻率對應于車身板件的負貢獻區頻率[20]，可以更有效的實現車內降噪。此時振動加速度頻率響應函數如圖4(b)所示，帶隙范圍為154～300 Hz，帶隙最大衰減深度達140 dB。同時在180～184 Hz存在一個局域共振峰，局域共振峰帶隙頻率略小于能帶結構平直帶，但這與能帶結構圖中的平直帶相呼應，證明計算方法的有效性。

當左右彈簧和中心的距離不等時，即l1=0.015 m和l2=0.01 m，能帶結構圖如圖5(a)所示。此時能帶結構圖中存在兩個分離的帶隙，分別為141.7～158.7 Hz，173.4～298.5 Hz。此時加速度頻率響應函數如圖5(b)所示，帶隙頻率與能帶結構圖吻合，帶隙內衰減振動可達180 dB。

當左右彈簧剛度不等時，即k1=50 000 N/m和k2=25 000 N/m，能帶結構圖如圖6(a)所示，加速度頻率響應函數如圖6(b)所示，同樣存在兩個分離的帶隙，分別為165.1～214.3 Hz，248～372.9 Hz。第一帶隙寬度相比圖5更寬。從圖中可以看出，左右彈簧參數不等時，原來的平直帶則演變成彎曲的色散曲線，此曲線將原來的帶隙一分為二。

因此，振子轉動自由度的引入可以增加帶隙的數量。工程實際中，往往會出現多個目標減振頻率之間大小相差較大的情況，此時單個帶隙無法滿足大跨度的頻率要求，因此可以通過兩個不同位置的帶隙來解決，充分利用有限的帶隙寬度從而達到大頻率跨度的減振需求。

圖2 有限元仿真板件激振及拾振位置Fig.2 The position of excitation and response in FEM

圖3 單彈簧單振子型聲子晶體能帶結構圖Fig.3 The band structure of PCs with single spring and oscillator

圖4 k1=k2且l1=l2Fig.4 k1=k2 and l1=l2

圖5 k1=k2且l1≠l2Fig.5 k1=k2 and l1≠l2

圖6 k1≠k2且l1=l2Fig.6 k1≠k2 and l1=l2

1.3 帶隙樣件試驗驗證

局域共振板參數如下：選取周期數為6×6，晶格常數a=50mm，板件厚度h=1mm；板件和振子材料均為鋼，楊氏模量E=210GPa，泊松比0.3，密度ρ=7 850kg/m3；振子質量為m2=0.05kg，尺寸為b1×b2×h2=40×16×10mm，轉動慣量為7×10-6kg·m2。經彈簧剛度識別試驗得到左右彈簧剛度為k1=46 000N/m和k2=40 000N/m，其距離板件中心l1=0.015m和l2=0.015m。試驗樣件及設備如圖7所示，板件四端通過彈性繩自由懸吊，確保其邊界條件與有限元仿真相同，即均處于自由約束狀態。測試過程中，為防止彈性繩對激勵影響，激振器白噪聲激勵信號處于板件邊緣中點，通過加速度傳感器拾取激振點和水平方向邊緣點的加速度信號。

圖7 樣件試驗布置圖Fig.7 Experiment of flexural vibration in phononic crystals

將獲得的激勵和響應加速度信號進行計算，得到樣件的振動傳遞函數，將試驗結果和有限元仿真結果進行對比，結果如圖8所示。對比圖中兩曲線可以看出，試驗得到帶隙范圍為210～236Hz，250～352Hz，而有限元仿真得到帶隙范圍為196～252Hz，256～364Hz，這兩種方法得到的彎曲振動傳遞函數基本一致。因此通過試驗結果的對比，驗證了本文理論計算采用的方法的準確性，同時也驗證了雙自由度振子型聲子晶體能夠有效抑制板件振動。

圖8 聲子晶體彎曲振動傳遞特性對比Fig.8 Comparison of the flexural vibration transmission spectrums by FEM and experiment

2 帶隙機理分析

單彈簧振子型聲子晶體帶隙形成機理是振子與基體板的垂向共振產生了一個完全帶隙，而雙彈簧連接時則會出現平直帶。因此對帶隙的產生進行深入分析，建立帶隙開始和截止時對應的簡化模型，在帶隙開始時，對應的簡化模型如圖9(a)所示，此時基體板固定不動，對振子多自由度系統分析，建立運動微分方程

圖9 具有局域共振帶隙的聲子晶體簡化模型Fig.9 The simplified model of LR phononic crystals

(9)

剛度矩陣

質量矩陣

在帶隙截止時，對應的簡化模型如圖9(b)所示，此時基體板將與振子共振，運動微分方程為

(10)

通過剛度矩陣、質量矩陣可以求得系統固有頻率和主振型，而固有頻率即對應帶隙開始和截止頻率，固有振型則反映了帶隙開始和截止時的振動模式。如圖10所示，可以看出，采用簡化模型和平面波展開法方法計算得到的帶隙頻率基本吻合，說明該簡化模型的有效性，因此可以用該固有振型可以解釋帶隙的振動模式，即帶隙產生及結束的機理。

圖10 彈簧剛度對帶隙的影響Fig.10 The influence analysis of spring’s stiffness

當左右彈簧參數對稱時，帶隙開始及結束對應的振型如圖11所示，第一帶隙開始及第二帶隙結束時振子的兩彈簧連接點位移相等，振子整體運動為平動，與單彈簧振子型的振動形式相同；而第一帶隙結束頻率和第二帶隙開始頻率相等，對應的振型也一樣，此時振子繞中心軸轉動，板件位移為零，因此正是板件的轉動導致能帶結構圖中出現平直帶。

當左右彈簧離中心距離不等或剛度不等時，即l1=0.015m和l2=0.01m或k1=50 000N/m和k2=25 000N/m，其他參數同上不變，通過MATLAB計算得到帶隙開始及截止時元胞對應的振型圖，如圖12所示。當第一帶隙開始時，振子以距離中心較遠的彈簧或剛度較大的彈簧為軸轉動，而第二帶隙開始則對應振子以距離較近或剛度較小的彈簧為軸而轉動。對帶隙結束振型分析，第一帶隙截止時，振子轉動的同時，中心與板件的平動運動方向相同；第二帶隙截止時，振子轉動較小，同時振子與板件運動方向相反。因此，振子繞中心軸的轉動與垂向平動的耦合導致平直帶的產生以及相互分離的雙帶隙。

圖11 左右彈簧對稱帶隙開始及截止對應主振型Fig.11 Mode shape when k1=k2 and l1=l2

圖12 左右彈簧不對稱帶隙開始及截止對應主振型Fig.12 Mode shape when k1≠k2 or l1≠l2

3 帶隙影響因素分析

汽車板件振動激勵源往往較為復雜，需要合理選擇聲子晶體的參數來抑制板件的振動。通過分析聲子晶體具體參數對帶隙的影響，為雙振子型聲子晶體在汽車板件的應用提供參考。

3.1 彈簧剛度的影響

如圖10(a)所示，保持其他參數不變，左右彈簧距離相等時，當兩彈簧剛度增加時，帶隙開始、截止以及平直帶頻率均隨剛度增加而增加。當固定一段的彈簧剛度不變(k1=25 000N/m)，改變另一端的彈簧剛度，如圖10(b)所示，彈簧剛度增加或減小，均會形成兩個分離的帶隙。彈簧剛度減小時第一帶隙向低頻擴展，可以獲得較低頻的帶隙，到一定程度第二帶隙基本不變。彈簧剛度增大則向高頻移動，到一定程度時第一帶隙頻率基本不變，而第二帶隙繼續向高頻發展。兩彈簧剛度相差越大，雙帶隙的頻率相差也越大。

3.2 彈簧距離的影響

如圖13(a)所示，保持其他參數不變，兩彈簧剛度相等時，當兩彈簧距離同時增加時，帶隙的起始和截止頻率不受變化，但會影響平直帶的頻率，平直帶的頻率基本與左右彈簧距離成正比，要在帶隙內形成平直帶的缺陷態效果左右彈簧距離需要滿足一定的條件，否則平直帶均在帶隙外。當固定其中一彈簧距離不變(l1=15mm)，改變另一彈簧距離，如圖13(b)所示。第一帶隙截止頻率與彈簧距離成正比的關系，兩彈簧距離相等后，第一帶隙起始頻率隨距離變化很小。而第二帶隙則正好相反，起始頻率在前10mm隨距離減小而后成正比的增加，而截止頻率則較為平緩，兩彈簧距離相等前減小而之后增加。

3.3 振子質量和轉動慣量的影響

如圖14(a)所示，當彈簧左右參數對稱時，此時帶隙開始及截止振動模式均為振子的平動，因此轉動慣量對帶隙起始及截止頻率均無影響。轉動慣量只會改變平直帶對應的頻率，轉動慣量越大，平直帶對應頻率越低。因此轉動慣量在一定范圍內，帶隙內才有局域共振峰出現。但當左右參數不對稱，例如當左右彈簧距離不等時，如圖14(b)所示，轉動慣量越大則第二帶隙帶寬越大，反之則第一帶隙帶寬越大；且隨著轉動慣量越大，第一帶隙向低頻移動。

圖13 彈簧距離對帶隙的影響Fig.13 The influence analysis of spring’s distance

由圖15(a)所示，當系統左右參數對稱時，因為此時帶隙開始和截止時振子的振動模式是振子繞中心軸轉動，與純質量無關，質量對平直帶對應的頻率沒影響，質量越大帶隙越往低頻走，與單彈簧振子帶隙趨勢相同。但當左右參數不對稱，例如當左右彈簧距離不等，如圖15(b)所示，質量增大，第一帶隙截止頻率基本不變，開始頻率向低頻移動；到達一定范圍時，第二帶隙起始頻率變化較小，截止頻率相比開始頻率變化較大。

圖14 振子轉動慣量對帶隙的影響Fig.14 The influence analysis of oscillator’s moment of inertia

圖15 振子質量對帶隙的影響Fig.15 The influence analysis of oscillator’s mass

4 結 論

針對汽車行駛中多頻段寬頻帶的激勵源特點，為抑制板件的低頻振動，本文提出了一種單振子雙彈簧類型的二維聲子晶體結構，使振子具有平動和轉動的自由度，計算并分析了其雙帶隙特性，并得到以下主要結論：

(1)平面波展開法計算了二自由度振子型聲子晶體的色散曲線，并通過有限元法和樣件試驗的振動傳遞特性進行驗證。與傳統單彈簧振子型聲子晶體相比，雙彈簧聲子晶體能帶結構圖中帶隙內會出現一條平直帶，類似缺陷態特性，使加速度頻率響應函數帶隙內中出現局域共振峰；當雙彈簧參數非對稱時，平直帶拓寬，使能帶結構中產生明顯分離的雙帶隙。

(2)從帶隙開始和截止頻率對應的振型可以得到，當第一帶隙開始時，振子主要以距離中心較遠的彈簧或剛度較大的彈簧為軸而轉動，而第二帶隙開始則對應振子以距離較近的彈簧為軸或剛度較小而轉動。因此，振子的轉動與垂向平動的耦合導致平直帶的產生以及相互分離的雙帶隙。

(3)彈簧剛度和距離的不等分布有助于雙帶隙的產生。距離、剛度越小有助于第一帶隙向低頻移動，越大則第二帶隙向高頻移動；振子質量越大，第一帶隙越寬頻率越低，而轉動慣量越小則第一帶隙越寬，但頻率也越高。通過調節四個參數的數值可以得到特定的雙帶隙范圍，為聲子晶體在汽車板件多頻減振應用中提供了新的設計方法。