隔震結構系統線性黏彈性液體阻尼器非平穩響應分析法

李創第，柏大煉，葛新廣，劉 鵬

(廣西科技大學 土建學院，廣西 柳州 545006)

目前，橡膠支座基礎隔震等減震技術已廣泛應用于國內外的實際工程[1]，振動頻率對橡膠隔震支座的阻尼和有效剛度影響較大[2-4]。建筑結構設置隔震層之后，通常還需在隔震層增設黏彈性液體阻尼器來限制隔震層的過大位移[5]，這將導致隔震結構的頻率依賴特性更加突出。隨著高層隔震技術的不斷發展[6]，普通橡膠支座目前常用的線性黏滯阻尼分析模型已不能充分表征振動頻率對結構響應的影響，各種基于線性黏彈性本構關系的橡膠支座的分析模型已被提出[7-8]。此外，考慮頻率影響的橡膠支座的非線性分析模型也被提出[9]。由于實際地震動具有非平穩隨機特性，且作為隔震結構保護裝置的消能減震構件(支座和阻尼器)的受力性能對隔震結構的整體安全性有重大影響，如2011年3月11日發生在日本東北近海地震中，消能減震構件的損傷和破壞均加劇了消能減震主體結構的損傷和破壞[10]。因此我國《建筑抗震設計規范》和《建筑消能減震技術規程》[11]均明確要求消能減震構件在結構設計基準期內應具備足夠的抗震可靠度和良好的變形與耗能能力，故建立黏彈性阻尼器合理的抗震分析與設計方法是非常有必要的。

線性黏彈性阻尼器已廣泛用于各種土木結構的被動控制，然而對于抗震結構，國內外均采用基于模態疊加法的反應譜設計法，由于黏彈性耗能結構的模態不具正交性，黏彈性阻尼器的振動機理及其與耗能主體結構振動機理的相互關系仍不清楚，現有的分析法無法將黏彈性阻尼器和耗能主體結構的響應精確分解為各模態響應的線性組合，導致黏彈性阻尼器和耗能主體結構精確的抗震反應譜設計法無法建立，因此黏彈性減振控制的實用設計理論及其在規范的應用已被列為我國土木結構振動控制領域近期需要深入研究的關鍵科學問題之一[12]。

具有記憶和頻率依賴特性的線性黏彈性阻尼器、支座和材料[13-15]的現有計算模型分為4類，即復模量模型及其近似[16-17]；一般微分模型及其近似[18-20]；分數導數模型[21-23]；一般積分型模型[24-27]。其中一般積分型模型是最一般的模型，其余模型均為該模型的近似或無限逼近。

線性黏彈性耗能結構的現有解析法分為擴階精確法和非擴階近似法兩類。

擴階精確法針對廣義Maxwell和Golla等[28]、分數導數Kelvin等易擴階的近似模型，用擴階復模態法獲得解析解。因擴階方程組物理意義不夠明確，變量個數劇增，計算效率低，使該方法的實際應用受到限制。研究表明：廣義Maxwell模型和分數導數模型具有相互等效性[29]，且廣義Maxwell模型對黏彈性本構關系的試驗擬合精度較分數導數模型高[30]。因基于分數導數模型的時域脈沖響應函數是Mittag-Leffler特殊函數的線性組合，不僅計算復雜，而且無法與工程抗震設計反應譜建立直接對應關系，故在工程抗震分析中，有關文獻建議不采用該模型。

非擴階近似法主要是模態應變能法和強行振型解耦法。因近似法采用復模量頻域建模方式，不能嚴格適用于非簡諧激勵的時域分析，且僅為一階小量近似，并采用了較多的近似假設，使其精度和適用范圍受到限制[31]。

關于線性黏彈性耗能結構隨機響應分析，目前應用擴階復模態法，已獲得廣義Maxwell阻尼耗能多自由度結構在平穩濾過白噪聲激勵下的平穩響應解析解[32-34]和Maxwell阻尼耗能多自由度結構在Shinozuka型均勻調幅濾過白噪聲激勵下的非平穩響應解析解[35]。然而對于一般線性黏彈性耗能結構在平穩和非平穩濾過白噪聲激勵下的平穩與非平穩響應分析法尚未建立。

關于線性黏彈性阻尼器的響應分析，盡管阻尼器受力分析的重要性早已形成共識[36-40]。但由于分析的復雜性，目前僅獲得線性黏彈性耗能單自由度結構在簡諧荷載激勵下一般黏彈性阻尼器穩態響應的解析解，尚未獲得黏彈性耗能結構在任意荷載激勵下一般黏彈性阻尼器瞬態響應的解析解。

經典虛擬激勵法已廣泛應用于未設置黏彈性阻尼器結構的非平穩隨機響應的高效分析[41]，然而該法在每個離散頻點處都涉及到虛擬激勵作用下運動方程的時程積分，對于大型結構，其計算量仍相當大。為此，文獻[42-43]將經典結構動力方程轉化為狀態方程形式，通過建立任意離散時刻經典結構響應關于時間截口隨機激勵的顯示線性表達式，建立了計算效率更高的快速虛擬激勵法，并將該法成功應用于經典非線性結構非平穩響應的快速等效線性化分析[44]；然而目前的快速算法僅針對均勻調幅非平穩隨機激勵作用下的經典結構，尚未考慮非均勻調幅非平穩隨機激勵和設置阻尼器的耗能結構，且算法涉及到指數矩陣和相關逆矩陣的計算，從而使該算法的適用范圍受到限制。

傳遞矩陣法的最大優點是不需擴階，可直接獲得一般線性黏彈性耗能對稱結構瞬態響應的非擴階解析解。本文采用一般積分型黏彈性分析模型，將傳遞矩陣法應用到一般線性黏彈性耗能非對稱結構。在獲得一般線性黏彈性液體阻尼器在任意激勵作用下瞬態響應非擴階模態疊加精確解的基礎上；應用此解析解和快速虛擬激勵法，通過建立任意離散時刻隔震系統及其一般線性黏彈性液體阻尼器響應關于時間截口隨機激勵的顯示線性表達式，建立隔震系統及其阻尼器在均勻與非均勻調幅濾過白噪聲地震激勵下非平穩響應的快速分析法，并使分析法不需要進行矩陣求逆計算；為建立線性黏彈性阻尼器基于模態疊加的抗震反應譜設計法以及抗震非平穩可靠度分析法提供分析路徑；同時，也為建立考慮頻率影響的非線性隔震結構在非平穩地震激勵作用下非平穩響應的等效線性化分析法提供分析基礎。

1 結構運動方程

(1)

(2)

(3)

圖1 結構計算簡圖Fig.1 Structural calculation diagram

對于一般線性黏彈性液體阻尼器P(t)，其平衡剛度kp=0。當僅考慮線性隔震支座的頻率依賴性質時，可用P(t)表示黏彈性隔震支座的本構關系，此時，取kb=0，cb=0；故在一般積分型本構關系中，仍保留kp，以便使式(1)～式(3)更具廣泛適用性，只是在具體計算液體阻尼器P(t)的響應時，取kp=0進行計算。

將位移向量x0按上部結構的前N,(N≤n)個振型展開，即

(4)

則式(1)和式(2)可化為非對稱微分—積分方程組

(5)

其中，

x=[x1,x2,,xm]T=

[x1,x2,xN,xb]T,(m=N+1)

(6a)

(6b)

C=diag[2ξ01ω01,,2ξ0Nω0N,2ξbωb]

(6c)

(6d)

(6e)

r=[r1,,rm]T=[r1,，rN,1]T

(6f)

(6g)

(6h)

式中：mi,ξ0i，ω0i,ri,(i=1～N)分別為振型φi對應的廣義質量、阻尼比、圓頻率和振型參與系數。

2 結構系統特征值和傳遞矩陣

2.1 結構特征值和特征向量分析

設結構的初始條件為

(7)

對式(5)取拉氏變換，可得

(8)

(9)

(10)

結構特征值方程為

det[D(s)]=0

(11)

(12)

式中：qk(s)和qk-1(s)分別為s的k次和次k-1多項式函數。

由式(11)可求出結構的M個特征值sj。每個特征值sj對應的結構右、左特征向量(模態)uj和vj，可由下列特征向量(模態)方程求出

(13)

式中：j=1～M。

2.2 阻尼器特征值和特征向量分析

將阻尼器P(t)的本構式(3)表示為

P(t)=LTg(t)

(14a)

(14b)

式中：L=[0 0 1]T，也即xb=LTx。

對式(14)取拉氏變換，并考慮關系式(8)，可得

(15a)

(15b)

故阻尼器的變換向量g(t)的傳遞矩陣Hg(s)和阻抗矩陣Dg(s)分別為

(16a)

(16b)

(16c)

由阻尼器P(t)的實際物理意義和其本構關系式(3)知：P(t)≠0；故

(17)

也即

(18)

故阻尼器的變換向量g(t)的特征值方程為

(19)

由式(18)和式(19)知：g(t)的特征值與結構位移x(t)的特征值完全相同。g(t)的每個特征值sj對應的右、左特征向量ugj和vgj，可由下列特征向量方程求出

(20a)

(20b)

式中：j=1～M。

對比式(13)和式(20)，可得g(t)與x(t)的特征向量的對應關系為

(21a)

(21b)

2.3 結構傳遞矩陣解析式

由于結構特征值sj是結構傳遞矩陣的極點，故根據殘數理論，按照文獻[45]類似的方法(詳見附錄A)，可求得結構傳遞矩陣的解析式為

(22a)

(22b)

其中，

(23a)

(23b)

2.4 阻尼器變換向量的傳遞矩陣解析式

將g(t)的傳遞矩陣Hg(s)按其特征值sj展開，按照文獻[45]類似的方法(詳見附錄B)，可求得g(t)的傳遞矩陣的解析式為

(24a)

(24b)

3 阻尼器和結構時域瞬態響應解析解

3.1 阻尼器瞬態響應解析解

由式(15a)、式(16a)和式(24a)、式(10)，可得

(25)

對式(25)取拉氏逆變換，得

(26)

式中：δ(t)為Dirac delta函數。

對于t>0，阻尼器受力響應可進一步表示為

(27)

式中：aj(t)為初始條件產生的響應

(28)

顯然，對于零初始條件，aj(t)=0，(j=1～M)。

同理，由式(15a)、式(16a)和式(24b)、式(10)，可得t>0時的阻尼器受力速率響應解析解為

(29)

3.2 結構位移與速度瞬態響應解析解

同理，由式(8)、式(10)和式(22)，可得t>0時的結構位移和速度瞬態響應解析解分別為

(30a)

(30b)

3.3 結構系統地震響應解析式

由于所有用于工程實際的隨機非平穩地震激勵模型均為零初始條件，由式(27)、式(29)、式(30)和式(6h)，在零初始條件下，結構廣義位移、速度和阻尼器受力、受力速率響應分別為

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

由式(31)～式(34)和式(36)、式(37)，原始結構的位移、速度和阻尼器等響應S(t)均可統一表示為

(38)

4 隔震結構系統非平穩響應

4.1 非平穩地震激勵模型

本文針對統計特性隨時間變化，但經過足夠長時間后趨于平穩態的非平穩隨機地震激勵，采用Priestley提出的演變譜模型[46]，它可以表示為

(39)

4.2 結構系統非平穩響應表達式

由式(38)知，結構系統一般響應S(t)的非平穩協方差函數的表達式為

(43)

4.3 非平穩響應特性分析的虛擬激勵法

將式(41)代入式(43)得

(44)

式中：Yj(ω，t)為標準一階系統對激勵a(ω,t)eiωt的響應，即

(45)

(46)

根據虛擬激勵法，若構造虛擬激勵

(47)

則由標準一階系統式 (45) ，產生的虛擬響應必為

(48)

由式(48)和式(44)可得

由式(45)～式(48)知

(50)

對式(50)取時間步長Δt=ti+1-ti，進行數值離散化得

(51)

式中：T=esjΔt。

在很小的時間步長Δt內，通?？梢哉J為激勵是線性變化的，則式(51)可表示為

(52)

其中，

(53)

(54a)

T0Q3f(ti-1)+Q2f(ti),i≥2

(54b)

其中，

Q3=TQ2+Q1

(55)

式中:f(t0)，f(t1),,f(ti)的系數若用Ai,0,Ai,1,,Ai,i表示，則式(54)可表示為

令

Wi=[Ai,0Ai,1Ai,i]

(57)

Ji=[f(t0)f(t1)f(ti)]T

(58)

則式(56)可進一步表示為

(59)

ti時刻的系數Ai,0,Ai,1,,Ai,i只和結構有關，且可用ti-1時刻的系數Ai-1,0,Ai-1,1,,Ai-1,i-1表示。

(60a)

(60b)

(60c)

根據式(60)建立各時刻對應的系數如表1所示。

表1 各時刻對應的系數Tab.1 Corresponding coefficients at each moment

由表1可知，為了得到各時刻對應的系數，僅需計算f(t0)和f(t1)所對應的2列，即Ai,0和Ai,1。且不需求逆計算，因此，可使計算更為高效。

式(61)的積分為無窮廣義積分，可按文獻[41-43]提出的方法計算。

5 算 例

5.1 多層隔震系統解析解的驗證分析

5.1.1結構系統方程

對于40 m以下的多層隔震結構，相對位移向量x0可按上部結構第一振型φ1及其廣義坐標x1(t)展開，即

x0=φ1x1(t)

(62)

此時，隔震結構系統方程式(5)可化簡為

(63)

(64)

其中，

x=[x1,x2]T=[x1,xb]T;r=[r1,r2]T=[r1,1]T(65)

(66)

(67)

5.1.2驗證算例1：Maxwell阻尼隔震系統解析解分析

對于Maxwell阻尼隔震結構，可用本文方法和復模態法求解，下面比較兩種方法結果。

對于Maxwell阻尼器P(t)，其松弛函數簡化為

(68)

(69)

5.1.2.1 本文方法

由式(11)和式(13)，結構系統的特征值和特征向量方程分別為

(70)

D(sj)uj=0;D(sj)Tvj=0

(71)

由以上兩式，可求得結構系統的5個特征值sj及其對應的5個右、左特征向量uj，vj,j=1～5。

由式(23)，可求得計算參數ηj為

(72)

(73)

由式(31)和式(33)，在零初始條件下，結構系統響應為

(74)

5.1.2.2 復模態法

(1)結構系統擴階方程

(76)

(77)

(78)

其中，

(79)

故結構系統擴階狀態方程為

(80)

其中，

(81)

(82)

(83)

式中：0,I分別為2×2階零矩陣和單位矩陣。

(2)結構系統特征值和特征向量分析

令

x=xjeλj t

(84)

(85)

R=Rjeλj t

(86)

則結構系統右模態方程為

[Bλj+A]Φj=0

(87)

(88)

展開上式得

(89)

(90)

(91)

由式(91)，將Rj用xj表出，并代入式(89)，可得

(92)

(93)

對比式(70)、式(71)和式(93)知，λj=sj，xj=uj，j=1～5。故結構系統的特征值為sj，相應的右特征向量Φj為在式(88)和式(92)中，令λj=sj，xj=uj可得。

結構系統左模態向量方程為

[Bsj+A]TΨj=0,j=1～5

(94)

令

(95)

展開上式得

(96)

(97)

[LLT]Tyj+(sj+ug)χ1j=0

(98)

由式(97)和式(98)，將χ1j和χ0j用yj表出，并代入式(96)，可得

(99)

(100)

(101)

對比式(70)、式(71)和式(101)知，yj=vj，故結構系統的特征值為sj，j=1～5，相應的左特征向量Ψj為在式(95)、式(99)和式(100)中，令yj=vj可得。

(102)

(3)結構系統響應分析

由復模態法[47]，在零初始條件下，結構位移響應為

(103)

(104)

故結構系統響應x(t)和R(t)為

(105)

(106)

(4)阻尼器響應分析

由式(64)和式(68)，阻尼器P(t)的響應為

(107)

由于,

(108)

將式(108)代入式(107)，可得

P(t)=kpLTx+M0LTR

(109)

將式(105)和式(106)代入式(109)，可得

(110)

對比式(74)、式(75)和式(105)、式(110)可知，本文方法和復模態法結果完全相同。

5.1.3驗證算例2：結構系統頻率響應函數分析

5.1.3.1結構系統頻率響應函數解析式

由式(31)和式(33)，在零初始條件下，結構系統響應的精確解為

(111)

式中：sj,ηj,uj,vj由式(11)、式(13)、式(23)計算。

由式(111)和式(112)，結構系統的脈沖和頻率響應函數分別為

(113)

(114)

(115)

(116)

而直接由結構系統方程(63)和式(64)獲得的頻率響應函數為

(118)

由于本文方法所得的頻率響應表達式式(115)、式(116)和結構系統方程直接所得的頻率響應表達式式(117)、式(118)均為解析解，故應相等。

5.1.3.2 驗證算例2

某8層框架隔震結構，上部結構層間質量m01～m02為300×103kg，m03～m08為270×103kg；層間剛度k01～k02為4×105kN/m，k03～k08為3.5×105kN/m；上部結構第一陣型阻尼比ξ1=0.05。隔震層質量mb為410×103kg，隔震層等效圓頻率ωb為5.27 rad/s，等效阻尼比為ξb分別為0.10,0.15,0.2,0.25。

隔震層設置線性黏彈性液體阻尼器P(t)，平衡剛度kp=0 kN/m；松弛函數hp(t)的拉氏和傅氏變換取二次分式

其計算值取為ωp=9.45 rad/s；d1=28.4 rad/s；e1=65 rad/s；e2=950 rad/s。

圖2～圖4分別為按本文方法和結構系統方程直接獲得的頻率響應表達式的計算結果。由圖可知，本文方法和方程求解的結果完全相同，從而驗證了本文方法的正確性。

圖2 隔震層頻率響應函數模 |Hxb(iω)|Fig.2 Calculation values of |Hxb(iω)| of isolated layer frequency response function

圖3 上部結構頻率響應函數模|Hx1(iω)|Fig.3 Calculation values of |Hx1(iω)| of the upper structure frequency response function

圖4 阻尼器受力頻率響應函數模|Hp(iω)|Fig.4 Calculation values of |Hp(iω)| of damper’s force frequency response function

5.2 算例3：隔震結構系統非均勻調幅地震響應分析

某10層框架隔震結構，上部結構參數如表2所示；結構第一陣型阻尼比ξ1=0.05。隔震層質量mb為375×103kg，隔震層等效圓頻率ωb為18 rad/s，等效阻尼比為ξb為0.20，數值離散時間步長Δt=0.02 s。

隔震層設置線性黏彈性液體阻尼器P(t)，平衡剛度kp=0 kN/m；松弛函數hp(t)的拉氏和傅氏變換取二次分式

其計算值取為ωp=[5.4 7.3 8.1 10.5] rad/s;d1=31.3 rad/s;e1=61.90 rad/s;e2=952.24 rad/s。

表2 耗能隔震結構的上部結構參數Tab.2 The upper structural parameters of energy dissipation isolated structure

其計算取值為：ωf=10.9 rad/s，ξf=0.96；S0=0.015 54 m2/s3。

調幅函數a(ω,t)分別取為Shinozuka-Sato型[48]均勻調幅和Spanos-Solomos型[49]非均勻調幅函數，計算參數取為

在Shinozuka-Sato型均勻調幅非平穩地震激勵作用下，隔震層、上部結構第五層及頂層的層間位移與速度響應方差如圖5～圖10所示；液體阻尼器P(t)的受力響應方差如圖11所示。

在Spanos-Solomos型非均勻調幅非平穩地震激勵作用下，隔震層、上部結構第五層及頂層的層間位移與速度響應方差如圖12～圖17所示；液體阻尼器P(t)的受力響應方差如圖18所示。

由計算結果可以看出：阻尼器受力響應對隔震結構系統響應影響較大；ωp越大，也即設置阻尼器越多，則阻尼器總的受力響應方差越大，結構的系統響應方差越小，也即減震效果越好。

圖5 Shinozuka-Sato型調幅函數 下隔震層位移響應方差Fig.5 Variance of displacement response of isolation layer with Shinozuka-Sato amplitude modulated function

圖6 Shinozuka-Sato型調幅函數下 第五層層間位移響應方差Fig.6 Variance of relative displacement response of fifth layer with Shinozuka-Sato amplitude modulated function

圖7 Shinozuka-Sato型調幅函數下 頂層層間位移響應方差Fig.7 Variance of relative displacement response of top layer with Shinozuka-Sato amplitude modulated function

圖8 Shinozuka-Sato型調幅函數下 隔震層速度響應方差Fig.8 Variance of velocity response of isolation layer with Shinozuka-Sato amplitude modulated function

圖9 Shinozuka-Sato型調幅函數下 第五層層間速度響應方差Fig.9 Variance of relative velocity response of fifth layer with Shinozuka-Sato amplitude modulated function

圖10 Shinozuka-Sato型調幅函數下 頂層層間速度響應方差Fig.10 Variance of relative velocity response of top layer with Shinozuka-Sato amplitude modulated function

圖11 Shinozuka-Sato型調幅函數下 隔震層阻尼器受力響應方差Fig.11 Variance of isolation layer damper’s response force with Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖12 Spanos-Solomos型調幅函數下 隔震層位移響應方差Fig.12 Variance of displacement response of isolation layer with Spanos-Solomos amplitude modulated function

圖13 Spanos-Solomos型調幅函數下 第五層層間位移響應方差Fig.13 Variance of relative displacement response of fifth layer with Spanos-Solomos amplitude modulated function

圖14 Spanos-Solomos型調幅函數下 頂層層間位移響應方差Fig.14 Variance of relative displacement response of top layer with Spanos-Solomos amplitude modulated function

圖15 Spanos-Solomos型調幅函數下 隔震層速度響應方差Fig.15 Variance of velocity response of isolation layer with Spanos-Solomos amplitude modulated function

圖16 Spanos-Solomos型調幅函數下 第五層層間速度響應方差Fig.16 Variance of relative velocity response of fifth layer with Spanos-Solomos amplitude modulated function

圖17 Spanos-Solomos型調幅函數下 頂層層間速度響應方差Fig.17 Variance of relative velocity response of top layer with Spanos-Solomos amplitude modulated function

圖18 Spanos-Solomos型調幅函數下 隔震層阻尼器受力響應方差Fig.18 Variance of isolation layer damper’s response force with Spanos-Solomos amplitude modulation function

6 結 論

為建立線性黏彈性阻尼器抗震動力可靠度分析法和基于反應譜的模態疊加抗震設計法，對隔震結構系統一般線性黏彈性液體阻尼器時域瞬態響應的模態疊加解析解和非平穩隨機地震響應分析法進行了系統研究，獲得了摘要所述結果。所獲得的結構整體系統(含阻尼器)的時域瞬態響應解析解具有明確物理意義，可視為現有黏滯阻尼非對稱定常結構的經典模態疊加解析解在線性非對稱頻率依賴結構的推廣，能揭示頻率依賴系統的振動機理，即頻率依賴結構系統的瞬態響應分析，歸結于其特征值和對應特征向量(模態)的分析；盡管頻率依賴耗能結構的模態不具有正交性，耗能結構方程不能用模態解耦，但耗能結構系統的各種響應(含結構位移、速度和阻尼器受力、受力速率)仍然可精確表示為物理意義明確的結構各模態響應的線性組合。此振動機理可為建立非對稱頻率依賴耗能結構整體系統的精確模態分解反應譜設計法提供分析路徑。

所建立的整體隔震系統的一般非平穩隨機地震響應(含結構位移、速度和阻尼器受力、受力速率)分析法可直接應用于隔震結構系統各構件基于泊松過程法的抗震動力可靠度分析；同時，也為建立考慮頻率影響的非線性隔震結構在非平穩地震激勵作用下非平穩響應的等效線性化分析法提供分析基礎。

(A1)

(A2)

式中：adj[D(s)]為D(s)的伴隨矩陣。

由正文式(11)，有

D(sj)adj[D(sj)]=adj[D(sj)]D(sj)=

Idet[D(sj)]=0

(A3)

式中：I為m階單位矩陣。比較正文式(13)和式(A3)，得

(A4)

式中：j=1～M；ai,bi均為常數。令

uj=[u1j,u2j,,umj]T

(A5)

從式(A4)知，伴隨矩陣adj[D(sj)]的每行各元素之比相等，即

(A6)

也即

(A7)

bi=kjuij,(i=1～m)

(A8)

式中：kj為比例常數，j=1～M。

將式(A8)代入式(A4)，得

(A9)

將式(A9)代入式(A2)，得

(A10)

(A11)

式中：j=1～M；ηj為常數。

下面求出ηj的表達式。由式(A1)和式(A10)，有

(A12)

(A13)

故有

ηi=1/γi

(A14)

(A15)

(A16)

式中：γi為常數；i=1～M；式(A16)由正文式(9)得出。

由式(A1)和式(A10)，H(s)的解析式為

(A17)

式中：常數ηj由式(A14)～式(A16)計算。

由式(A1)和式(A2)，sH(s)的解析式為

(A18)

(A19)

將式(A19)和式(A10)代入式(A18)，可得

(A20)

附錄B：g(t)傳遞矩陣Hg(s)解析式的推導

由于在附錄A的推導中，對結構位移動剛矩陣D(s)和其逆矩陣(亦稱傳遞矩陣)D(s)-1=H(s)的具體形式未作任何假設；故解析式(A17)和式(A20)具有普遍性，也即：任意動剛矩陣D(s)的逆矩陣D(s)-1=H(s)和sH(s)均可通過動剛矩陣D(s)的特征值和特征向量解析表示，即

(B1)

(B2)

(B3)

式中：sj,uj和vj分別是動剛矩陣D(s)的特征值和相應的特征向量，也即

det[D(sj)]=0,(j=1～M)

(B4)

(B5)

由于解析表達式(B1)～式(B3)對具有實際物理意義的任意動剛矩陣D(s)均成立。故對于g(t)的傳遞矩陣Hg(s)和sHg(s)，下列解析式均成立

(B6)

(B7)

(B8)

式中：sj是g(t)的動剛矩陣Dg(s)的特征值，其值與結構位移x(t)的動剛矩陣D(s)的特征值完全相同；ugj和vgj分別是動剛矩陣Dg(s)對應于特征值sj的右、左特征向量。

由正文式(16c)，可得

(B9)

將式(B9)代入式(B8)，可得

(B10)

將正文式(21)關于ugj和vgj的表達式代入式(B10)，可得

(B11)

由于uj是D(s)對應于特征值sj的右特征向量，故D(sj)uj=0，代入關系式(B3)，式(B11)可化簡為

(B12)

也即

(B13)

將正文式(21)和式(B13)代入式(B6)、式(B7)，最終可得

(B14)

(B15)