中低速磁浮車輛-軌道-橋梁垂向耦合振動仿真分析

任曉博,趙春發(fā),馮 洋,張宇生

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室,成都 610031)

中低速磁浮交通具有綠色環(huán)保、安全性高、線路適應(yīng)性強(qiáng)和乘坐舒適等優(yōu)點，近年來在中、日、韓等國得到快速發(fā)展。目前，我國已建成并開通運營長沙磁浮快線和北京地鐵S1線，廣東清遠(yuǎn)、成都和太原等地也正在規(guī)劃建設(shè)中低速磁浮線，中低速磁浮交通已進(jìn)入產(chǎn)業(yè)化和工程推廣應(yīng)用的關(guān)鍵期，急需針對其工程應(yīng)用中出現(xiàn)的問題開展深化研究[1]。例如，國際上已商用的中低速磁浮線上列車的運營速度不超過100 km/h，但在試運營期間都曾出現(xiàn)過強(qiáng)烈的車軌耦合振動問題。盡管后期通過調(diào)整懸浮控制參數(shù)或強(qiáng)化線路結(jié)構(gòu)等措施減緩了車軌耦合振動，但并沒有完全了解磁浮車軌耦合振動機(jī)理和特征，導(dǎo)致減振措施的制定和實施仍缺乏足夠的理論指導(dǎo)。

國內(nèi)外學(xué)者很早就開展了磁浮車軌耦合振動研究，文獻(xiàn)[2-4]回顧了20世紀(jì)后半葉國內(nèi)外磁浮車輛與軌道系統(tǒng)動力學(xué)研究工作，指出早期研究中簡化或忽略電磁懸浮控制系統(tǒng)，軌道梁采用簡單的伯努利-歐拉梁模型，研究成果為磁浮車輛與軌道結(jié)構(gòu)方案設(shè)計提供參考。21世紀(jì)以來，隨著磁浮交通工程化應(yīng)用開發(fā)，學(xué)者們建立了更細(xì)致的車輛與軌道動力學(xué)模型，用于預(yù)測和評估磁浮車軌耦合振動。文獻(xiàn)[5-6]采用等效線性化電磁力模型，開展了磁浮車軌耦合振動研究，分析了軌道梁跨度和剛度對列車動力性能的影響。文獻(xiàn)[7]考慮電磁懸浮反饋控制規(guī)律，建立了中低速磁浮車輛三維動力學(xué)模型，分析了磁浮車輛的曲線通過性能。文獻(xiàn)[8-9]完整考慮了包括濾波器、觀測器和控制器的電磁懸浮控制系統(tǒng)，建立磁浮車輛-控制器-軌道梁動力學(xué)模型，研究了磁浮車軌耦合振動響應(yīng)特性。文獻(xiàn)[10]分析了位置和速度時滯反饋控制條件下中低速磁浮車軌系統(tǒng)的分岔和共振行為。結(jié)合株洲中低速磁浮試驗線和長沙磁浮快線工程，文獻(xiàn)[11]建立磁浮列車-橋梁豎向耦合模型，對比了軌道梁仿真結(jié)果與實測結(jié)果；文獻(xiàn)[12]采用SIMPACK軟件和ANSYS軟件聯(lián)合仿真，分析了F軌對磁浮列車與橋梁耦合振動的影響。上述研究表明，電磁懸浮控制使得車輛與軌道形成既不接觸、又不分離的非線性動力系統(tǒng)，要準(zhǔn)確模擬工程中出現(xiàn)的磁浮車軌耦合振動現(xiàn)象，建立符合實際的車輛模型、懸浮控制模型和軌道結(jié)構(gòu)模型非常重要。然而，目前大多數(shù)已有研究沒有建立完整的懸浮控制模型，沒有考慮或簡化了軌道梁上部的軌排結(jié)構(gòu)，而這兩者對磁軌動力作用有直接而重要的影響，不可忽視。例如，軌排結(jié)構(gòu)中的F軌內(nèi)側(cè)翼板通過螺栓與軌枕連接，外側(cè)磁極面承受電磁力，這相當(dāng)于一個懸臂結(jié)構(gòu)，受彎矩作用后磁極面將出現(xiàn)明顯的豎向振動，并影響磁軌動力作用，需要在車軌耦合模型中進(jìn)行更細(xì)致的建模。

以長沙磁浮快線五轉(zhuǎn)向架磁浮車輛和25 m簡支梁為對象，采用ANSYS參數(shù)設(shè)計語言APDL，建立考慮F軌懸臂結(jié)構(gòu)和軌縫伸縮接頭的磁浮軌道和軌道梁上部結(jié)構(gòu)有限元模型，以及12個自由度的磁浮車輛垂向動力學(xué)模型和基于狀態(tài)觀測器的PD懸浮控制模型，編制了磁浮車輛-軌道-橋梁垂向耦合動力學(xué)數(shù)值仿真程序，計算車速80 km/h條件下磁浮車軌橋系統(tǒng)動力響應(yīng)，并與已有文獻(xiàn)的試驗結(jié)果進(jìn)行對比驗證，分析磁浮車軌橋垂向耦合振動響應(yīng)基本特征，為中低速磁浮交通技術(shù)的優(yōu)化與提升提供理論支撐。

1 車軌橋垂向耦合動力學(xué)模型

1.1 車輛動力學(xué)模型

圖1 中低速磁浮車輛轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)

長沙中低速磁浮列車每車安裝有5個轉(zhuǎn)向架單元。如圖1所示，轉(zhuǎn)向架主要由左右2個磁鐵模塊、2根側(cè)梁、2組定子繞組和4片防側(cè)滾梁組成，磁鐵模塊與側(cè)梁之間采用螺栓固結(jié)，防側(cè)滾梁通過鉸銷與側(cè)梁連接，4個空氣彈簧分別位于左右側(cè)梁的前后端部。每個磁鐵模塊包含了沿縱向分布的4個電磁鐵和位于前后端部的2組傳感器(檢測懸浮間隙和電磁鐵加速度信號)，磁鐵模塊的4個電磁鐵分成前后2組，分別由2個獨立的懸浮控制器控制其線圈電流，實現(xiàn)轉(zhuǎn)向架4點主動懸浮控制。

圖2 中低速磁浮車輛垂向動力學(xué)模型

本文主要分析磁浮車輛-軌道-橋梁系統(tǒng)的垂向動力學(xué)響應(yīng)，因此，將車輛簡化為由車體、轉(zhuǎn)向架組成的剛體系統(tǒng)，僅考慮車體和轉(zhuǎn)向架的垂向和點頭運動自由度，建立了圖2所示12個自由度的磁浮車輛垂向動力學(xué)模型。模型中空氣彈簧考慮為線性剛度-阻尼器，將連續(xù)分布的電磁力簡化為集中力。如果將每個磁鐵的懸浮力簡化為1個集中力，間距0.68 m的等間隔集中力將在F軌接縫處造成明顯的周期性沖擊，這會夸大F軌的中高頻振動響應(yīng)，故將每個電磁鐵的懸浮力等效為4個集中力，以16個集中力模擬長度2.72 m磁浮模塊的縱向連續(xù)分布力，如圖3所示。表1列出了中低速磁浮車輛動力學(xué)模型的主要參數(shù)。

圖3 等效電磁力分布示意

名稱參數(shù)車體質(zhì)量/t20轉(zhuǎn)向架質(zhì)量/kg2000車體點頭慣量/(kg·m2)4.11×105轉(zhuǎn)向架點頭慣量/(kg·m2)2.3×103空簧垂向剛度/(kN·m-1)160空簧垂向阻尼/(kN/m·s-1)12

1.2 電磁懸浮控制模型

中低速常導(dǎo)磁浮車輛利用U形電磁鐵與F型導(dǎo)軌之間的電磁吸力支撐車體，電磁懸浮力和懸浮間隙的平方成反比，與線圈電流的平方成正比，其計算公式為

(1)

式中，I為電磁鐵線圈電流；N為線圈匝數(shù)；A為有效磁極面積；δ為懸浮間隙；μ0為空氣磁導(dǎo)率。

開環(huán)的電磁懸浮系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，受到很小的外部干擾，系統(tǒng)都會失去平衡。為了實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，必需進(jìn)行主動反饋控制，采用了基于狀態(tài)觀測器的間隙、間隙速度和間隙加速度的反饋控制系統(tǒng)，其控制流程如圖4所示。首先，實時檢測磁鐵模塊端部的懸浮間隙信號δ和電磁鐵加速度信號a，經(jīng)濾波處理后輸入觀測器，狀態(tài)觀測器生成間隙變化量、間隙變化速度和加速度預(yù)測值，最后控制器利用預(yù)測值生成控制電流。

圖4 懸浮控制系統(tǒng)流程

懸浮控制器輸出的控制電流可表示為

(2)

1.3 軌排與軌道梁有限元模型

中低速磁浮的軌道結(jié)構(gòu)主要是指軌排結(jié)構(gòu)，它由F形導(dǎo)軌、工字形或箱形鋼枕、F軌和軌枕連接件、軌枕與承軌臺扣件系統(tǒng)等組成，如圖5所示。軌排單元長度一般與軌道梁跨徑相匹配，長沙磁浮快線標(biāo)準(zhǔn)軌道梁跨徑為25 m，每跨軌道梁上方鋪設(shè)2個長度為12.5 m的軌排單元。軌排中部9根軌枕的間距為1.2 m，端部軌枕間距為1.05 m。相鄰軌排之間采用了如圖6所示的Ⅰ型伸縮接頭，該結(jié)構(gòu)通過在F軌端部翼板和外腿處設(shè)置連接副，滿足軌排間可縱向相對伸縮的要求，同時還能限制軌排間橫向和垂向的錯位[13]。圖7所示是25 m跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁梁端和跨中處橫斷面圖。軌道梁主體為變截面混凝土箱型梁，現(xiàn)場澆筑承軌臺，鋼枕和承軌臺通過扣件相連。

圖5 軌排結(jié)構(gòu)示意

圖6 F形導(dǎo)軌Ⅰ型伸縮接頭

圖7 軌道梁橫斷面(單位：mm)

依據(jù)圖5～圖7所示軌排及軌道梁結(jié)構(gòu)形式，采用ANSYS參數(shù)設(shè)計語言APDL，建立了中低速磁浮軌道與橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型，如圖8所示。為了準(zhǔn)確模擬F軌的變形與變位，F(xiàn)軌采用三維8節(jié)點實體單元Solid185建模，在F軌端部設(shè)置了橫向和垂向連接彈簧，連接軌縫兩端F軌，模擬伸縮接頭對F軌端部的支撐作用，剛度數(shù)量級在1×108kN/m，軌縫處約束布置位置如圖9所示。為了減小有限元模型單元數(shù)量，提高車軌橋系統(tǒng)動力學(xué)計算效率，對F軌以下結(jié)構(gòu)不再使用實體單元建模，其中，軌枕采用了可承受平面內(nèi)荷載和法向荷載的殼單元Shell63，軌枕扣件采用Combin14彈簧單元，梁體采用Beam188單元建模。軌道-橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所列。

圖8 軌排及軌道梁有限元模型

圖9 F軌軌縫處約束布置

軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)值彈性模量/GPa206F軌泊松比0.2密度/(kg·m-3)7840彈性模量/GPa210軌枕泊松比0.2密度/(kg·m-3)7850彈性模量/GPa35.5混凝土梁泊松比0.2密度/(kg·m-3)2500

對建立的軌排和軌道梁整體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行了模態(tài)分析，圖10分別給出了整體結(jié)構(gòu)前三階垂彎模態(tài)和軌排局部垂向振動模態(tài)。整體結(jié)構(gòu)前三階垂向自振頻率分別為6.74、22.77 Hz和32.15 Hz，軌排局部垂向振動固有頻率分布在50～70 Hz。文獻(xiàn)[14]在長沙磁浮快線上開展了25 m軌道梁動力響應(yīng)測試，結(jié)果表明，軌道梁一階整體垂彎頻率約為7.0 Hz，這與本文有限元模態(tài)分析結(jié)果接近。本文計算值略大于實測值的原因是，長沙磁浮快線在左右軌道梁之間設(shè)置了5個橫隔板，而且實際預(yù)制軌道梁的剛度一般要大于其設(shè)計值。

圖10 軌排和軌道梁整體結(jié)構(gòu)及局部振動模態(tài)

2 車軌橋耦合振動數(shù)值模擬方法

針對建立的磁浮車輛-軌道-橋梁耦合振動模型，分別推導(dǎo)了車輛剛體動力學(xué)方程和電磁懸浮控制系統(tǒng)方程。軌排和橋梁結(jié)構(gòu)采用有限元法進(jìn)行建模，在ANSYS中生成了質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。為了快速求解車-軌-橋耦合振動響應(yīng)，采用了顯隱式混合積分的方法分別求解上述三類動力學(xué)方程，并通過積分步內(nèi)迭代求解獲得系統(tǒng)響應(yīng)。具體而言，采用文獻(xiàn)[15]提出的新型快速顯式積分方法求解車輛動力學(xué)方程，對于質(zhì)量矩陣對稱的二階微分方程，該方法無需進(jìn)行矩陣運算，具有計算速度快、精度高的特點。對于懸浮控制系統(tǒng)方程，采用了四階龍格庫塔法求解，軌道和橋梁系統(tǒng)動力學(xué)求解則采用Newmark-β隱式積分法，確保了有限元模型的計算穩(wěn)定性。

基于以上數(shù)值計算方法，利用ANSYS的APDL語言，編制了磁浮車軌橋耦合動力學(xué)仿真計算程序，限于篇幅，不再給出詳細(xì)的數(shù)值計算流程圖。

3 車軌橋耦合振動響應(yīng)分析

建立了三跨軌道梁模型，計算了磁浮車輛以80 km/h速度通過時車軌橋系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。仿真計算時，單節(jié)車輛總質(zhì)量為30 t(AW2定員工況)，采用了文獻(xiàn)[16]提出的中低速磁浮軌道不平順譜(有效波長0.5～50 m)經(jīng)反演得到軌道不平順空間樣本，如圖11所示。磁浮軌道的垂向不平順最大幅值為±2 mm，這與中低速磁浮交通設(shè)計規(guī)范中軌排的安裝精度要求是一致的。

圖11 磁浮軌道垂向不平順空間樣本

3.1 橋梁變形與振動響應(yīng)

圖12是單節(jié)磁浮車輛以80 km/h速度通過時，第二跨橋梁跨中截面處橋梁頂面和F軌頂部感應(yīng)板的垂向位移響應(yīng)時程曲線。由圖12可見，橋梁跨中垂向撓度最大值為2.66 mm，小于長沙磁浮快線設(shè)計規(guī)范中規(guī)定的簡支梁垂向撓度比限值L/4 600(L為橋梁跨徑)。跨中處F軌感應(yīng)板的垂向位移最大值為3.04 mm，大于橋梁跨中最大位移，說明F軌相對橋梁發(fā)生了約0.4 mm的垂向變形，占F軌垂向總位移的13%，F(xiàn)軌垂向位移主要由橋梁變形產(chǎn)生。需要指出的是，計算得到的橋梁跨中垂向撓度大于文獻(xiàn)[14]給出的實測值1.7 mm(列車空載)，但與文獻(xiàn)[11]中株洲磁浮試驗線20 m跨徑簡支梁的實測撓度值2.2 mm接近。

圖12 跨中處F軌和橋梁垂向位移響應(yīng)

圖13和圖14分別給出了橋梁跨中垂向加速度響應(yīng)時程曲線及其頻譜圖。由圖可見，橋梁跨中垂向加速度響應(yīng)很小，最大值僅為0.28 m/s2；橋梁垂向加速度響應(yīng)的優(yōu)勢頻率在30 Hz以內(nèi)，其中第一、二階主頻為8.0 Hz和6.74 Hz，前者對應(yīng)于車速與轉(zhuǎn)向架單元長度2.8 m之比，后者為軌排和橋梁結(jié)構(gòu)整體一階垂彎自振頻率。可見，雖然電磁懸浮力近似為縱向連續(xù)分布力，但間隙傳感器和磁鐵加速度傳感器均設(shè)置在磁鐵模塊端部，相當(dāng)于在磁鐵模塊端部存在兩個主動控制的“磁輪”，而且二系空氣彈簧也位于側(cè)梁的兩端，因此，類似于輪軌車輛轉(zhuǎn)向架軸距引起的橋梁沖擊，磁浮車輛的轉(zhuǎn)向架單元長度也會引起磁浮軌道梁的周期性振動。

圖13 橋梁跨中垂向加速度響應(yīng)

圖14 橋梁跨中垂向加速度頻譜

3.2 F軌變形與振動響應(yīng)

F軌是軌排結(jié)構(gòu)中最重要的功能件，其頂部感應(yīng)板與車載短定子相互作用，提供列車牽引力；底部磁極面與電磁鐵磁極面相互作用，提供車輛懸浮和導(dǎo)向力。F軌上下功能面的變形變位與振動對磁軌動力作用有直接的影響。圖15分別給出了橋梁跨中處F軌端部感應(yīng)板和翼板相對于橋梁頂面的垂向位移。當(dāng)車輛通過跨中軌縫時，F(xiàn)軌感應(yīng)板和翼板的垂向相對位移均值為0.37 mm和0.21 mm，兩者相差0.16 mm，這是F軌懸臂結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的位移，約占感應(yīng)板相對垂向位移的43%。

圖15 橋梁跨中處F軌相對垂向位移

進(jìn)一步分析車輛通過時F軌內(nèi)外磁極面的垂向位移變化，圖16給出了第二跨橋梁上前半跨右側(cè)F軌內(nèi)外磁極面垂向位移沿線路方向的分布圖。可以看出，在跨中(11號軌枕)附近，F(xiàn)軌磁極面的垂向位移較梁端處要大得多，這是因為橋梁跨中變形最大。沿線路方向F軌內(nèi)外磁極面垂向位移差變化不大，均小于設(shè)計規(guī)范規(guī)定的0.5 mm限值[17]；最大差值為0.31 mm，出現(xiàn)在了軌排中部第6～8號軌枕處，原因是中部軌枕的間隔要大于兩端。

圖16 F軌內(nèi)外磁極面垂向位移縱向分布

圖17給出了梁端、軌排中間和橋梁跨中處F軌的垂向振動加速度時程曲線。梁端和跨中處F軌最大垂向加速度達(dá)到20.7 m/s2和18.3 m/s2，遠(yuǎn)大于軌排中間F軌的最大加速度值4.6 m/s2。可見，雖然梁端和跨中伸縮接頭為F軌提供了一定的橫向和垂向限位剛度，但仍遠(yuǎn)小于F軌截面抗彎剛度，故F軌端部的垂向加速度幅值遠(yuǎn)大于中部。

圖17 F軌垂向加速度響應(yīng)

3.3 車輛系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

圖18和圖19分別為磁浮車輛車體質(zhì)心垂向位移和車體前端垂向加速度響應(yīng)曲線。可以看到，車體最大垂向位移為3.65 mm(向下為正)，3個峰值對應(yīng)于車輛通過三跨橋梁，磁浮車輛較好地跟蹤了橋梁垂向變形。車體前端垂向加速度(第一位轉(zhuǎn)向架上方車體處)幅值為0.338 m/s2，與文獻(xiàn)[14]給出的車體豎向加速度最大值0.335 m/s2接近，并遠(yuǎn)小于我國《高速鐵路設(shè)計規(guī)范》關(guān)于車體垂向加速度應(yīng)小于1.0 m/s2的限值；車體垂向加速度的主頻為1.0 Hz，與車輛二系懸掛頻率一致。

圖18 車體質(zhì)心垂向位移

圖19 車體前端垂向加速度

圖20和圖21分別為車輛頭部第一位控制點處的懸浮間隙與電磁懸浮力時程曲線。結(jié)果表明，懸浮間隙最大波動量為0.6 mm，小于設(shè)計規(guī)范中允許的間隙波動限值±4 mm；懸浮力平均值為7 369 N，標(biāo)準(zhǔn)偏差427 N，最大波動量1 766 N，約為平均值的24%。對比圖20和圖21曲線波形可知，兩者基本同步變化，即懸浮間隙增大時懸浮力也隨之增大，很好地體現(xiàn)了電磁懸浮控制的基本原理。

圖20 第一位控制點懸浮間隙

圖21 第一位控制點懸浮力

4 結(jié)論

建立了考慮完整電磁懸浮控制系統(tǒng)和細(xì)致軌排結(jié)構(gòu)的中低速磁浮車輛-軌道-橋梁垂向耦合動力學(xué)模型，采用APDL參數(shù)設(shè)計語言編制了數(shù)值仿真程序，模擬分析了車輛以80 km/h速度通過時車軌橋系統(tǒng)的振動響應(yīng)，得到以下主要研究結(jié)論。

(1)單節(jié)車輛通過25 m跨徑軌道梁時，橋梁跨中最大垂向位移為2.66 mm，最大垂向加速度為0.28 m/s2，均滿足長沙磁浮線軌道梁設(shè)計規(guī)范要求。跨中垂向加速度第一主頻為8 Hz，對應(yīng)于車速與懸浮架(磁鐵模塊)單元長度之比，第二階主頻6.74 Hz對應(yīng)于橋梁的一階垂向彎曲頻率。

(2)車輛通過時F軌的最大垂向位移為3.04 mm，出現(xiàn)在橋梁跨中F軌接縫處；跨中處F軌垂向位移主要來自于橋梁變形，軌排結(jié)構(gòu)變形使得F軌產(chǎn)生了約0.4 mm的垂向位移，占F軌垂向總位移的13%；F軌內(nèi)外磁極面最大垂向位移差為0.31 mm，小于設(shè)計規(guī)范中規(guī)定的0.5 mm限值。Ⅰ型伸縮接頭可以確保F軌端部不出現(xiàn)過大的垂向變形，但垂向加速度達(dá)到2g，這對伸縮縫連接可靠性提出了較高要求。

(3)磁浮車輛車體質(zhì)心的垂向振動位移最大值為3.65 mm，垂向加速度最大值僅為0.16 m/s2；磁浮車輛第一位控制點處電磁鐵的懸浮間隙波動量不超過0.6 mm，小于規(guī)范規(guī)定的±4 mm間隙波動限值；電磁鐵動態(tài)懸浮力不大，不超過其平均值的24%。總體上，中低速磁浮車輛振動小，懸浮間隙和電磁力波動幅度不大，說明中低速磁浮車輛運行安全，乘坐舒適性好。