常見不同模態信號分解方法探討

邢昀，榮劍

（西南林業大學大數據與智能工程學院，昆明 650224）

0 引言

在信號處理領域，從1882年傅里葉提出傅里葉級數，到1965年圖基和庫利發表“快速傅里葉變換算法”以來，該學科蓬勃發展。在經典的信號處理理論中，時域和頻域的關系是信號處理中的一個重要關系，傅里葉變換和傅里葉反變換在信號時域和頻域之間建立起了溝通的橋梁[1]。然而傅里葉變換只是一種全局意義上的變換，所以在分析平穩信號時候比較有效，但在實際應用中，大多數信號都是非平穩信號[2]。非平穩信號同平穩信號相比，其分布參數或分布律隨時間發生了變化。為了處理非平穩信號，人們在傅里葉變換的基礎上對其進行不斷的改進和拓展，其中時頻分析方法是重要分支之一。時頻分析思想是嘗試設計一個合適的表征時間和頻率聯合二維分布函數來分析和處理對非平穩信號。傳統的時頻分析方法有短時傅里葉變換[3]（STFT）、小波變換[4]（WT）等，它們都為時頻分析的發展做了一定的貢獻，但它們大都存在一定的局限性。

1 經驗模態分解

經驗模態分解（EMD）是由美國航空航天局的美籍華人Nordne E.Huang等人在1998年提出的信號分析方法[5-6]，它能夠將復雜的信號分解成為有限個本征模態函數IMF[7]之和的形式，可以理解為：將一個頻率不規則的波化為若干個單頻波+殘波的形式。即原波形=∑IMFs+余波。EMD從根本上擺脫了傅里葉變換的約束，而且吸取了小波變換多分辨率的優點，局部自適應性也變得更強。本征模態函數IMF需要滿足如下兩個條件：①在整個信號中，極值點和過零點的數量之差要小于等于1；②在任意時刻，上下包絡線相對于時間軸是局部對稱的，即上下包絡的均值為零。

對任一個信號X(t)進行EMD分解過程如圖1所示：

圖1 EMD分解過程圖

EMD算法缺少理論支撐，到目前為止，還沒有建立一個合適的EMD算法的數學模型。在分解過程中EMD方法會產生模態混疊和端點效應[8]，雖然很多學者針對此進行了研究，但沒有從根本上解決問題。

2 集合經驗模態分解

2005年Wu Z、Huang N E等人提出了集合經驗模態分解方法（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）[9]。集合經驗模態分解的實質就是在EMD方法的基礎上，向原信號中添加高斯白噪聲，依據高斯白噪聲均勻分布的頻譜特性，來抑制經驗模態分解中存在的模態混疊現象。EEMD分解過程圖如圖2所示：

圖2 EEMD分解過程圖

3 補充的集合經驗模態分解

2010年，Yeh J R等人提出補充的EEMD（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD）[10]通過添加成對的符號相反的白噪聲到目標信號，來保證信號分解具有真實的物理意義，大大減小了重構誤差。CEEMD分解過程圖如圖3所示：

圖3 CEEMD分解過程圖

4 改進的集合經驗模態分解

針對CEEMD與EEMD添加高斯白噪聲所致的計算量大的問題，2013年，鄭近德、程圣軍、楊宇提出了改進的集合經驗模態分解（Modified Ensemble Empirical Mode Decomposition，MEEMD）[11]。該算法結合 CEEMD和排列熵算法，利用排列熵算法對時間序列變化敏感的特性來檢測信號的隨機性。首先將待分解信號進行CEEMD分解；然后計算每個分量的排列熵值，根據熵值定義的閾值出去熵值較大的、不規則分量；最后對剩余信號進行EMD分解，將所得信號分量按照高頻到低頻進行排列。MEEMD分解過程圖如圖4所示：

圖4 MEEMD分解過程圖

5 VMD變分模態分解

為了克服上述EMD方法存在的IMF被淹沒在噪聲背景中，導致無法獲得信號特征分量的問題，Konstation Dragomiretskiy和Dominique Zosso在2014年提出了一種新的信號處理方法，稱之為變分模態分解[12]。VMD采用非遞歸的分解模式，其實質上是變分問題的構造和求解，假設信號是由模態函數疊加構成，每個模態函數具有不同中心頻率的AM-FM信號，通過迭代搜尋構造變分模型的極值，以此確定各模態函數的頻率中心以及帶寬，從而可以有效地實現信號頻域部分以及各分量的分離。

與EMD不同，IMF在VMD中被定義為一個調頻調幅信號，而不局限于窄帶信號。表示為：

其中瞬時幅值Ak(t)≥0，相位函數φk(t)是遞增函數。構造估計模態帶寬的約束變分問題如下：

通過引入二次懲罰參數α和拉格朗日乘法算子λ(t)，來解決上述約束變分問題，二次懲罰參數α使得變分離散問題具有高度非線性與非凸性，保證了信號在高斯噪聲干擾下能夠被精確分解。拉格朗日乘法算子λ(t)保證了獲得每個IMF帶寬最優解時的嚴格性。通過引入α和λ(t)將約束變分問題化為無約束變分問題。增廣拉格朗日函數如下：

式中：*表示卷積運算，<>表示內積運算。

用交替方向乘數法迭代更新uk、ωk及λ，求解上式增廣拉格朗日函數的鞍點，即約束變分模型的最優解，具體步驟如圖5所示：

圖5 VMD變分問題求解流程圖

6 實驗仿真

為了比較這五種算法在噪聲信號處理中的效果，分別采用五種算法對模擬噪聲信號進行處理，并對分解結果進行分析。

首先設置仿真信號 X(t)，X(t)由 x1，x2，x3 構成，x1 為周期信號，x2為調幅信號，x3為干擾的間歇信號，X(t)以及各種分解方法的分解結果如圖6所示：

圖6 原始信號分解結果圖

從EMD分解結果中可以看出，IMF1和IMF3的結合可以看作周期信號的組成部分，受到噪聲的影響，調幅信號的分解結果并不完整，在分解過程中出現了端點效應，使得分解結果嚴重失真。從EEMD分解結果中可以看出，IMF4可以作為周期信號的組成部分，IMF6非常勉強的可以作為調幅信號的組成，相比于EMD分解方法，調幅信號的以被分解，但調幅信號失真較為嚴重，并且也存在過多虛假分量。從CEEMD分解結果中可以看出IMF4為周期信號的組成部分，IMF5為調幅信號的組成部分，相對于EMD和EEMD來說，有用的周期信號和調幅信號都得以更好地分離。IMF1和IMF3是分解產生的偽分量，IMF6、IMF7和IMF8為平穩的分解余項。從CEEMD分解結果中可以看出IMF4為周期信號的組成部分，IMF5為調幅信號的組成部分，相對于EMD和EEMD來說，有用的周期信號和調幅信號都得以更好地分離。IMF1和IMF3是分解產生的偽分量，IMF6、IMF7和IMF8為平穩的分解余項。從圖VMD分解結果中可以看出，不管是周期信號還是調幅信號都得到了很好地還原，原始信號的成分被更好地分解了出來，說明VMD方法具有更好的噪聲魯棒性。

7 結語

本文基于EMD方法、EEMD方法、CEEMD方法、MEEMD方法和VMD方法對仿真的噪聲信號進行分析，結合分解分量的時域圖可以看出，EMD方法受噪聲干擾較大，有較嚴重的端點效應和模態混疊效應。EEMD方法在一定程度上抑制了EMD方法分解過程中產生的模態混疊現象，但因其在分解過程中添加了白噪聲，導致分解不具有完備性。CEEMD方法因為添加了成對符號相反的白噪聲，重構誤差大大減小，但計算量過于龐大，并且仍然存在了過多的偽分量。MEEMD結合了CEEMD和排列熵算法，相對于CEEMD能更好的去除分解中產生的偽分量。VMD方法能夠更好地把原始信號還原，具有更好的噪聲魯棒性。但由于在仿真信號中信號的組成層數已知，所以可以準確的確定VMD的分解層數K。但在真實信號中VMD分解層數K值并不知道，所以準確地選取K值是VMD分解在實際應用中的研究重點。