數形結合思想在小學數學教學中的應用

□文/重慶市南岸區天臺崗小學校 鄒冰秋

《數學課程標準（2011版）》指出：數學是研究數量關系和空間形式的科學。由此可見：數學研究的問題就是數與形這兩方面的問題，所以“數”與“形”是數學中最基本的兩個研究對象。他們分別是數量關系和空間形式的體現，兩者看似對立卻又相互統一，在一定的條件下還可相互轉化。數與形之間的關系叫做“數形結合”。“數形結合”既是一種重要的數學思想，也是一種重要的數學方法。主要包含了兩方面內容：“以形助數”和“以數解形”。利用“數形結合”的思想解決數學問題不僅能使復雜、抽象、枯燥、無味的數學問題變得簡單、直觀、有趣、生動，而且還助于學生理解題目的含義，有利于學生分析題目中顯性和隱性條件的聯系，有利于拓寬學生的解題的思路，所以運用“數形結合”的思想解決問題在數學中有著重要的指導意義。那么在現行的小學數學教材中哪些內容體現了“數形結合”思想？“數形結合”思想在教學中有什么作用？筆者認為可從以下幾個方面來分析：

一、 數形結合思想，讓“粗淺”變“深刻”

小學數學教材中的數學知識呈現方式大多以情景為主，許多學生在閱讀教材時被情景吸引，不能對情景背后所蘊含的知識本質進行分析和理解。通過數形結合可以將情景中的數學知識進行提煉，讓看似粗淺的問題變為深刻。

例如：在數學人教版教材六年級上冊《分數乘分數》時，由于學生在前一節課已經學習了《求一個數的幾分之幾是多少？》即整數乘分數的含義及方法，學生通過遷移、類推的方法能計算出分數乘分數的結果，但這僅僅只是計算方法的求解，對分數乘分數的含義及為什么要這樣計算并沒有真正的凸顯，所以教材把利用“數形結合”的方式對分數乘分數的含義進行了凸顯。

例題為：李伯伯家有一塊1/2公頃的地，其中的1/5種土豆，種土豆的面積是多少公頃？根據題意本題也就是1/2公頃的1/5是多少？列式為1/2×1/5=？根據整數乘分數的方法可得：

從上圖清晰的表達出：

通過“數形結合”我們可以清晰的知道：求1/2的1/5所表示的含義，通過含義我們理解了算理，有利于加深學生對分數乘分數含義和算理的理解，使原本粗淺的知識變得深刻。

二、數形結合思想，讓“模糊”變“清晰”

據研究表明：小學生的思維以具體形象思維為主，特別是小學一、二年級的學生，而且他們的已有認知有限，對于某些抽象的概念認識比較困難，而數學卻是以抽象為核心的學科，所以數學教材中的某些知識中對于小學生來說具有一定程度的模糊性和不易理解性。利用“數形結合”的思想和方法能使這些模糊的、難理解的知識轉化為清晰、具體的知識，便于學生理解與掌握。

例如，人教版教材在二年級（上冊）《認識乘法》一課中，教材出現了如下主題圖：

通過分析得出：教材調動了學生已有的知識經驗——看圖列式，并利用數形結合的思想直觀、形象、生動的展示出了情景，引導學生列出加數相同的算式：3+3+3+3+3=15由此讓學生初步感知乘法由來。教材運用數與形相結合的方式，降低了學生對知識理解的難度。在實際教學中教師運用多媒體技術連續展現一架小飛機上有三人，然后依次出現這樣的第二架飛機，第三架飛機……，一直到第五飛機，提問：一共有多少人呢？學生用同數相加的方法來列式。接著，教師繼續出示多架小飛機的畫面提問：“如果有6架飛機，10架飛機，甚至100架呢，怎么辦？”，學生驚呆了：啊！太多了，太難寫了，寫不完。”這時，建立乘法的概念水到渠成！教師順勢而導：我們可以用乘法來表示。然后揭示課題“認識乘法”。3+3+3+3+3=15也就是5個3相加，可寫成5×3=15，然后用形表示出5、3和15分別表示圖中哪些含義。在此數形結合不僅使學生理解了乘法的意義，體會到乘法產生的必要性，而且懂得了乘法就是求幾個相同加數的和的簡便運算。

由此可見整個數形結合的引導過程。首先，教材利用學生已有的知識經驗，利用數形結合的思想和方法使學生體會到“乘法”這個知識點形成過程；其次，教師對教學材料的加工（把5架飛機增加到6架、30架、100架……）使學生充分感悟到在加數相同且數量較多時，列加法算式的不便，促使乘法產生的必要性；最后，學生理解乘法的含義，且通過比較，感悟到乘法的簡便。從學生思維活動過程來看，經歷了從具體到抽象，一般到特殊的過程。由此證明：在教學中運用數形結合的思想，能夠把對學生比較模糊的數學知識變得讓學生看得見，摸得著，從而清晰、深刻理解知識的本質，讓看似模糊的知識變得清晰。

三、數形結合思想，讓“抽象”變“直觀”

在教學中，為了激發學生的學習興趣和讓學生感受到數學知識的有用，教師通常以實際生活中的問題進行教學，但通常現實生活中的問題都不易于理解，所以教師常常將生活問題進行數學化，將它們轉換成數學問題，再將數學問題轉換成用符號或其他圖形表示的題目，這樣易于理解題意，方便我們解題，并且還能拓寬我們解題的思路。所以教師要培養學生將實際問題轉化為數學問題，再將數學問題抽象為圖形或符號表達的形式，這樣當我們把實際問題數學化，再與形結合起來，很多問題就迎刃而解了。

例如：人教版小學數學教材五年級上冊內容（如下圖）：

像這樣借助直觀的線段圖把復雜的數學行程問題變得簡明、形象，有利于學生對題目含義的理解，能幫助學生能直觀地建立“小林走的路程+小云走的路程=4.5千米”這一數量關系，并在此基礎上拓寬了學生解決問題的思路。本題通過揚數之長，取形之優，使數量關系與空間形式相得益彰，使抽象的數學問題變得直觀、形象，加深了學生對知識的理解從而解決問題。

通過對教材的分析，可以看出數形結合的思想與方法幾乎貫穿于整個小學數學教材之中。數形結合通過“以形助數”或“以數解形”，將復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，讓數學知識由粗淺變得深刻，由模糊變得清晰，由抽象變直觀，從而使學生深刻的理解知識的本質，拓寬了學生解決問題的思路。