一道考試題引發的思考

王麗

摘 要：本文針對湛江幼兒師范?？茖W校2018年期中考試的一道題目：驗證兩直線相交，并求其所成夾角的角平分線方程，給出幾種不同的方法，并分析它們之間的聯系。由此針對解析幾何課程教學中存在的問題提出相應的解決方法。

關鍵詞：空間直線;相交;角平分線

【中圖分類號】G【文獻標識碼】B

【文章編號】1008-1216（2019）12B-0123-03

在湛江幼兒師范?？茖W校2018年期中考試中有一道題目：驗證兩直線l1：，l2： 相交，并求兩直線l1，l2所成交角的角平分線方程。

這是解析幾何中的一個題目，通過分析，發現涉及到的內容有兩個方面：（1）空間兩直線的位置關系;（2）相交直線所成角的角平分線。

分析：方法1是最基本的解法，從角平分線的性質入手，得到角平分線的一般方程。

方法2從題目先得到角平分線上的一固定點，然后設其標準方程形式，再根據角平分線的性質得到所求直線的兩個方向向量。方法2的計算量相對較少，也容易使用，但它有一缺點就是，給定直線的方向向量的選擇，容易使人忘記一條直線可以有兩個方向向量，例如，直線l1的方向向量可以取={0，1，1}，當然也可以取={0，-1，-1}，這兩個向量是互為反向量的。

方法3最簡單，它與我們熟悉的圖形——菱形結合起來，用特殊的性質解決問題。由此我們就得到一類題目的特殊解法：當涉及兩直線的夾角問題時，可以從選取適當的直線的方向向量入手，考慮由兩方向向量作鄰邊所組成的平行四邊形。例如，求兩直線所成夾角的角平分線，就可以選擇長度相等的兩個向量分別為兩直線的方向向量，考慮由這兩個方向向量作為鄰邊所組成的菱形，此時就可以用三角形法則得到兩直線所成夾角的角平分線的方向向量。

在中學階段進行學習的必要，所以很容易給學生造成認識上的誤區：不必過深地學習這門課程;還有，因為解析幾何的課時少，為完成教學任務，很多時候只是對照書本上的知識點進行純粹地講解，忽略了與其他課程的聯系，這些都是我們在解析幾何課程教學中存在的問題。要解決這些問題，我們就必須從認識上、從具體教學實踐中作一些改變：（1）教師通過查閱不同的教材、資料，適當調整教學內容，避免重復教學以及內容割裂;（2）使用多媒體輔助教學，用“圖、文、聲、像”的形式向學生展示多一些數學模型，避免學生過多地憑空想象。例如，對于圓柱螺線、柱面、錐面、旋轉曲面等學習內容，可以根據各個曲面所具有的集合特征，利用幾何畫板或其他教學軟件描繪曲面圖像，以動態的形式展現曲線和曲面的生成過程;（3）講課中多配備例題，盡可能通俗、具體地講解抽象的知識;（4）針對本校學生，由于培養目標是中小學教師，所以解析幾何的具體內容是用不上的，此時我們學習解析幾何的目的不僅僅是基本內容，更多的是關于數學方法、數學思維的學習;（5）加強與數學專業其他課程的聯系，例如，三個向量的共面問題可以轉化為行列式的計算;一個向量對于三個不共面向量的分解式的求法就是線性方程組的克萊默法則等。

參考文獻：

呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]呂林根.解析幾何學習輔導書[M].北京：高等教育出版社，2006.