位場歐拉反褶積方法適用性分析及其應用

羅 瀟， 王彥國， 張 瑾， 鄧居智， 吳姿穎， 陳姝霓

(東華理工大學 放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室,南昌 330013)

0 引言

重磁勘探具有經濟、快速、范圍大、探測深等優點，是進行大地構造劃分、地質填圖、礦產圈定等方面的重要方法[1-2]。位場反演是獲得地下場源位置及幾何形狀等信息的重要手段，其中歐拉反褶積是一種可以自動估算場源位置信息的常用位場反演方法，該方法具有較強的靈活性、易于實現、結果直觀，不需要較多的先驗信息等優點而得到了廣泛地研究與應用[3-6]。歐拉反褶積法是由Peters[7]最初提出，Thompson[3]進一步完善，Reid等[4]推廣至三維資料處理的一種方法。但是當地下地質情況復雜時，歐拉反褶積反演出的參數解非唯一且發散，甚至存在虛假解，從而降低了該方法的實用性[8-9]。因此，許多研究者根據常規歐拉反褶積方法所存在的問題提出了一系列的新方法，Salem等[10-11]將解析信號與歐拉反褶積結合起來提出AN-EUL反演法，利用解析信號的幅值估算場源深度及構造指數，此后又基于Tilt梯度提出Tilt-Euler法[12]，提高了反演解的穩定性和收斂性；馬國慶等[13]提出梯度反褶積法，利用梯度數據來反演場源體位置信息；Guo等[14]提出了基于垂向一階導數與解析信號比值的歐拉反褶積法，精準估計場源范圍及埋深；李麗麗等[15]把歸一化總水平導數應用到歐拉反褶積中，有效完成異常體水平位置和深度的估計。

然而歐拉反褶積還沒解決一個根本性問題：常規歐拉反褶積是如何推導而來的。這個問題決定了歐拉反褶積理論基礎是否正確，適用情況以及優化改進方向。基于這一基本問題，筆者從單一場源歐拉反褶積公式出發，分析推導出了在一定假設條件下的常規歐拉反褶積公式，同時指出對常規歐拉反褶積方程進行求導可以在一定程度上提高方法的適用性。通過模型試驗和實際資料處理，探討了方法適用性，分析了反演結果的可靠性，為歐拉反褶積法的有效使用提供了借鑒。

1 基本原理

對于單一場源，滿足歐拉齊次方程[3]時有

(1)

地下場源是非單一的，假設由M個地質體構成，對于其中的第i個地質體，則有：

(2)

那么M個地質體疊加的歐拉反褶積可寫為式(3)。

(3)

(4)

由式(4)可以看出，對于多源疊加異常，常規歐拉反褶積是難以精確求解出場源幾何參數和構造指數的。倘若第i個地質體上方的疊加異常導數值基本等于自身導數異常，即：

(5)

那么式(4)可被替換為式(6)。

(6)

式(6)還可進一步改寫為式(7)。

(7)

(8)

式(8)即為歐拉反褶積公式。

顯然，式(8)是在式(4)的假設條件下推導而來的，式(8)中B也并非是簡單的背景場，而且野外觀測數據大多是非齊次場。因此利用式(8)處理實際資料的結果很可能與真實情況存在較大偏差。為克服這一問題，可以利用高階導數來實現。事實上，基于高階導數的歐拉反褶積方法已有很多，例如AN-EUL法、Tilt-Euler法、梯度反褶積法[13]等。筆者則通過常規的和高階導數的歐拉反褶積來研究分析方法的適用性問題。這里給出的是Hsu提出的垂向n階導數的歐拉反褶積[16]，其形式為：

(9)

2 理論模型試算

為了分析常規歐拉反褶積和垂向導數的歐拉反褶積(文中均選用垂向一階導數的歐拉反褶積)在疊加場源中的應用效果，建立了由簡單到復雜、由齊次(球體)到非齊次(棱柱體)、由無噪到含噪的三個組合模型。文中所有模型體的剩余密度均為1.0 g/cm3。為了得到準確度更高的反演解，利用水平梯度濾波法、主體異常距離準則法和反演解聚散度準則法對反演結果進行篩選，去除錯誤或者孤立的反演解[8]。

圖1 球體組合模型反演結果Fig.1 Inversion results of sphere combination model

2.1 球體組合模型

該模型是由兩個大小相同，埋深不同的球體組合而成，球體1和球體2的中心坐標分別為(-2 km, -2 km, 2 km)、(2 km, 2 km, 1.5 km)，球體半徑均為1.0 km，所引起的重力異常見圖1(a)，網格間距為0.2 km×0.2 km。兩種方法選擇的移動計算窗口為5×5倍點距，圖1(b)和圖1(c)分別是常規歐拉反褶積和垂向一階導數歐拉反褶積的反演參數解的平面位置；圖1(d)、圖1(e)和圖1(f)分別是常規歐拉反褶積和垂向一階導數歐拉反褶積反演點的深度統計直方圖。從反演點水平位置可以看出，常規歐拉反褶積與垂向一階導數的歐拉反褶積都能有效反演地質體質心的水平位置，但常規方法存在一定發散；垂向一階導數的歐拉反褶積反演的水平位置與理論值吻合較好。從反演的埋深情況來看，常規歐拉反褶積方法在球體1、球體2上的反演誤差分別為12.5%和9.3%，反演深度均小于理論埋深；而垂向一階導數的歐拉反褶積在兩個球體上的反演誤差分別為3.5%和1.3%，均小于常規歐拉反褶積的反演誤差?？梢姡瑢τ诤唵文Ｐ?，兩種方法都可以有效反演場源位置，但相比之下，垂向一階導數歐拉反褶積的反演精度更高。

2.2 長方體組合模型

長方體組合模型是由四個長方體組合而成，長方體1、長方體2的中心平面坐標為(-4 km, -4 km)，上下面埋深分別為(2.5 km，12.5 km)、(0.5 km，2 km)；長方體3、長方體4的中心平面坐標為(5 km, 5 km)，上下面埋深分別為(0.5 km，2 km)、(2.5 km，12.5 km)。其中長方體2位于長方體1正上方，長方體3位于長方體4正上方。長方體1的邊長為8 km，長方體2、長方體3、長方體4的邊長均為2 km。長方體組合模型引起的疊加重力異常如圖2(a)所示，網格間距為0.2 km×0.2 km。圖2(b)和圖2(c)分別是常規歐拉反褶積和垂向一階導數歐拉反褶積的反演參數解的平面位置，兩種方法的移動計算窗口皆為9×9倍點距。圖2(d)、圖2(e)、圖2(f)和圖2(g)、圖2(h)、圖2(i)分別是常規歐拉反褶積和垂向一階導數的歐拉反褶積在四個長方體上反演點的深度統計直方圖。從反演點水平位置可以看出，由于異常疊加的影響，常規歐拉反褶積無法有效反演模型體2、模型體3或模型體4的邊界位置(圖2(b))，模型體2的反演解聚集于中心位置，模型體3或模型體4的反演解分布于模型體上、右邊界位置。另外，模型體1的邊界反演結果較發散，且在右上角產生少量虛假解；垂向一階導數削弱了疊加異常的影響，使得歐拉反褶積反演點匯聚度得到提高(圖2(c))，雖在模型體1右上角也產生少量虛假解，但依舊能有效反映模型體的邊界位置。反演點埋深(圖2(d)～圖2(i))表明，相比于常規方法，垂向一階導數歐拉反褶積反演點的深度值更集中，且接近模型體的上頂埋深；另外對于垂向疊加模型體3、模型體4，兩種方法反演結果都是接近于模型體3的上頂埋深，無法反演模型體4的埋深位置。通過長方體組合模型可以發現，垂向導數的歐拉反褶積可以更好地突出弱異常信息，獲得更為豐富的反演解，但不能識別規模相當、上下疊加的下方場源。

圖2 長方體組合模型反演結果Fig.2 Inversion results of cuboid combination model

圖3 含噪模型重力異常Fig.3 The gravity anomaly of noise model

2.3 含噪模型

含噪模型是由大小不同，埋深不同的三個長方體和一個球體組合而成。模型體1至模型體3為長方體，模型體4為球體，各個模型體的幾何參數見表1。含噪異常是在理論疊加異常的基礎上添加1%的高斯隨機噪聲，重力異常如圖3所示，網格間距為0.25 km×0.25 km，歐拉移動計算窗口為13×13倍點距。

圖4(a)和圖4(b)分別是常規和垂向一階導數的歐拉反褶積反演原始異常的水平位置。從反演結果來看，常規法反演的水平參數解十分的發散，無法準確圈定模型體的邊界位置，反演的深度解也遠小于模型體的實際埋深(表1)；垂向一階導數的歐拉反褶積無法反演各模型體的水平位置和埋深，反演結果失效。因此，基于高階導數的改進型歐拉反褶積比常規方法更容易受到噪聲的影響。對于這種情況，通常是利用降噪濾波或者適當的向上延拓來降低異常中噪聲的影響。作者選擇向上延拓三倍點距的優化異常(后文統稱延拓異常)測試兩種方法的反演效果。圖4(c)和圖4(d)分別是常規和垂向一階導數的歐拉反褶積反演延拓異常的水平位置，表1統計了反演解的埋深情況。反演結果表明，降噪處理可以明顯改善這兩種方法的反演效果。常規歐拉在反褶積反演埋深解的準確性得到提高，但其水平反演解依舊存在大量發散現象(長方體1的左邊界、下邊界以及球體4)，此外長方體2的邊界位置也無法得到有效圈定；垂向一階導數的歐拉反褶積雖球體4周圍產生少量發散解，但可以準確的反演長方體1、長方體2、長方體3的邊界位置和球體4的中心位置，此外，還可以有效反映模型體的埋深情況?？梢娤蛏涎油靥幚砜梢杂行岣邭W拉反褶積方法的反演效果和適用性。

圖4 含噪模型平面位置反演結果Fig.4 Horizonal location inversion results of noise model

表1 兩種方法反演的深度結果與理論值Tab.1 Depth inversion results of two methods and theoretical values

圖5 相山布格重力異常及其處理結果Fig.5 Bouguer gravity map of Xiangshan and inversion results of Euler deconvolution

3 實際資料應用

相山鈾多金屬礦田是我國目前發現的最大火山巖型鈾礦田[17]，相山盆地斷裂構造較為復雜，主構造方向為NE向，NS向、近EW向及NEE向斷裂同樣較為發育[17-18]。相山盆地中心部位地表巖性比較單一，主要以低密度的碎斑熔巖為主；盆地基底主要為高密度的青白口紀變質巖，盆地外圍四周均有出露；高密度的晚侏羅世砂巖砂礫巖呈現出明顯的環形條帶狀分布。

圖5(a)是網格點距為250 m的相山布格重力異常，圖5(b)是重力異常的垂向一階導數。由圖5可以看出，布格重力異常(圖5(a))整體上呈現的中心重力低、外圍重力高，與低密度的碎斑熔巖及高密度的變質巖表現出了良好的對應關系，但重力異常中局部細節特征受區域場影響較大，因而難以清晰識別；而垂向一階導數(圖5(b))則較好地展示出了較多的異常細節特征，這也表明了地下地質情況十分復雜。利用常規歐拉反褶積方法和垂向一階導數的歐拉反褶積對相山地區實測布格重力異常進行反演計算，反演結果分別疊置在圖5(a)和圖5(b)之中。其中為了降低噪聲的影響，對原異常延拓一倍點距處理，歐拉計算窗口選擇9×9倍點距。從結果來看，垂向一階導數的歐拉反褶積能夠有效壓制場源的疊加干擾，比常規法反演出更豐富的地下信息，但受到一定的噪聲影響，在局部地區出現發散現象；而常規法在異常特征變化明顯的地方具有更強的連續性。因此，綜合兩種方法的反演結果可以為劃分隱伏構造的位置、走向以及找礦工作提供借鑒作用。

4 結 論

歐拉反褶積方法是一種經濟、方便、快速的位場反演方法，通過理論分析可知，影響歐拉反褶積應用效果的主要因素是場源疊加干擾。為了進一步的研究分析歐拉反褶積方法的適用性，通過三組模型試驗和相山實測重力資料分別測試常規歐拉反褶積和垂向一階導數的歐拉反褶積。實驗結果表明，常規歐拉反褶積在齊次場源上方的反演結果較為理想，但在場源分布復雜，異常疊加干擾大時，反演效果較差；基于一階導數形式下的歐拉反褶積則在較大程度上改善了常規歐拉反褶積的缺陷，能反演出更多的地下地質信息，但基于導數形式下的歐拉反褶積對噪聲較敏感，需要采用諸如向上延拓技術的降噪處理才能獲得良好的反演結果。在實際資料處理中，建議利用常規的和基于導數形式的歐拉反褶積分別對位場異常進行相應處理，并進行綜合解釋，以此提高方法的實用性。