低信噪比信號相位差檢測算法優(yōu)化設計與實現(xiàn)

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(1. 上海機電工程研究所， 上海 201109；2. 上海空間電源研究所， 上海 200245)

0 引 言

導彈自動駕駛儀是導彈飛行控制系統(tǒng)的核心，對自動駕駛儀回路動態(tài)響應性能的測試通常是通過搖擺臺對導彈上的慣測裝置加動態(tài)的正弦激勵，然后測量導彈的舵面反饋，通過對激勵信號和反饋信號的比較實現(xiàn)對導彈駕駛儀動態(tài)響應性能的測試。動態(tài)響應中一項重要的指標便是測量激勵信號與反饋信號的相位差[1]。因此，對信號相位差的準確測量是實現(xiàn)導彈自動駕駛儀動態(tài)響應性能測試的關(guān)鍵。求取相位差的方法有多種，常用的有零點比較法、頻域分析法、相關(guān)分析法等。零點比較法是通過計算兩個同頻信號通過零點時刻的時間差，將時間差轉(zhuǎn)換為相應的相位差；頻域分析法是通過離散傅里葉變換對待檢測信號進行頻譜分析，得到信號的相頻特性，通過計算兩路信號在主頻率處的差值，即可求得兩個信號的相位差；相關(guān)分析法是利用信號的周期性和噪聲隨機性的特點，通過相關(guān)運算(自相關(guān)或互相關(guān))，達到去除噪聲的目的。采用相關(guān)技術(shù)可以提取淹沒在噪聲中的信號，得到信號的諸如頻率、幅度和相位差等參數(shù)值[2]。

1 零點比較法與頻域分析法

1.1 零點比較法原理及其算法實現(xiàn)

零點比較法的原理是：確定兩個同為上升趨勢(或下降趨勢)的同頻信號通過零點的時刻，計算其時間差，然后根據(jù)時間差來計算相位差[3]，其原理如圖1所示。

圖1 零點比較法原理Fig.1 Zero across method schematic

判斷兩路信號過零點時刻的時間間隔Δt，將時間差轉(zhuǎn)化為相位差，相位差計算公式為

(1)

式中，T為信號周期。

在實際計算時，由于實際信號是經(jīng)過采樣量化后的離散信號，故式(1)不能直接應用。設信號1(x(t))和信號2(y(t))首次經(jīng)過的零點分別對應為數(shù)組的第i元素和第j元素，采用式(2)計算相位差。

(2)

式中：f為被測信號頻率，fs為采樣頻率。

通常，在實際測量中直接測到經(jīng)過零點的數(shù)據(jù)的幾率較小，實際采集的是零點兩側(cè)的數(shù)據(jù)。如圖1(b)所示的第i和第i+1個采集點。這樣，可以通過插值的方法求出過零點的值，此時過零點時間采用式(3)計算。

(3)

式中：ti+1為第i+1個采樣點的采樣時間；ui和ui+1分別為第i和第i+1個采樣點對應的幅值。由式(4)可以得到兩同頻信號x(t)和y(t)的相位差為

Δφ=360°(tx-ty)f

(4)

在虛擬儀器編程時，搜索信號1中滿足ui>0且ui+1=0或ui+1<0的第i個采集點，同理搜索出信號2中對應的第j個采集點，即可求得兩信號的相位差。

1.2 零點比較法誤差分析

1.3 頻域分析法原理及其算法實現(xiàn)

頻域分析法是通過離散傅里葉法對被檢測信號進行頻譜分析，從而獲得信號的相頻特性，然后計算兩路信號在主頻率處的相位差值。

在有限區(qū)間(t,t+T)內(nèi)，絕對可積的任一周期函數(shù)x(t)的傅里葉級數(shù)展開式為

(5)

在實際計算中，實際信號x(t)為離散信號。設在周期函數(shù)x(t)和y(t)的一個周期內(nèi)有N個采樣點，則他們的基波傅里葉系數(shù)和初相位如式(6)所示。

(6)

則x(t)和y(t)的基波分量的相位差為

(7)

1.4 頻域分析算法誤差分析

一般來說，采樣點數(shù)越多，對信號做頻譜分析越能反映實際信號的幅頻和相頻特性。在實際仿真計算中，在噪聲幅值一定的情況下，采樣頻率越高，測得相位差誤差率越小，這與理論分析一致。在沒有噪聲的情況下，采樣頻率對測量誤差影響很小，用頻域分析法求出相位差的測量誤差為零，隨著噪聲幅值的增大，測得的相位差誤差也越大，當噪聲信號與有用信號幅值的比值為0.5時，誤差率達到了24.1%，算法已基本失效，算法在低信噪比情況下精度不高。

2 相關(guān)分析法

2.1 相關(guān)分析法原理及其虛擬儀器編程

相關(guān)分析法利用兩個同頻率正弦信號的延時τ=0時的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差。假如有兩個同頻信號，其描述如式(8)所示。

(8)

式中：Nx(t)，Ny(t)為噪聲信號；A、B為信號的幅值；ω為信號的角速度；φ1為信號x(t)的初始相位；φ2為信號y(t)的初始相位。兩信號的互相關(guān)函數(shù)的表達式為

(9)

式中：T為信號周期，當τ=0時有

(10)

理想情況下，噪聲和信號不相關(guān)，且噪聲之間也不相關(guān)，積分后可得

(11)

另外，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義可知，信號的幅值和在延時τ=0時的自相關(guān)函數(shù)值關(guān)系如式(12)所示。

(12)

實際處理的信號是經(jīng)過采樣后的離散點序列，式(13)～(15)是相應的離散時間計算公式，其中N為采樣點數(shù)[5]。

(13)

(14)

(15)

相關(guān)分析法計算原理如圖2所示，含改進后算法原理圖，Labview虛擬儀表編程的程序框圖不再列出。

圖2 相關(guān)分析法計算原理Fig.2 Correlation analysis schematic

2.2 仿真結(jié)果及分析

在仿真實驗1中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號(混合同頻0.2 V的均勻白噪聲)，采樣頻率為1 kHz、5 kHz、10 kHz和50 kHz的測量值如表1所示。

在仿真實驗2中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號，采樣頻率為5 kHz和50 kHz，正弦信號混合噪聲幅值分別為0 V、0.1 V、0.5 V、1 V、2 V和5 V的同頻均勻白噪聲，測量值如表2所示。

表1 相關(guān)分析法中信號采樣頻率對相位差測量結(jié)果影響的對比關(guān)系

表2 相關(guān)分析法中噪聲幅值對相位差測量結(jié)果影響的對比關(guān)系

續(xù)表2

從表1可以看出，在噪聲幅值一定的條件下，隨著采樣頻率的提高，測得相位差的誤差率隨之降低。同時，將相關(guān)分析法計算結(jié)果與零點比較法和頻域分析法結(jié)果進行對比，相關(guān)分析法對于信號中的直流偏移、噪聲等干擾有很強的抑制能力，相比零點比較法和頻域分析法有較高的測量精度[6]。

從表2可以看出，在沒有噪聲的情況下，采樣頻率對測量誤差影響很小，用相關(guān)分析法求出相位差的測量誤差為零，隨著噪聲幅值的增大，測得的相位差誤差隨之增大。當實際相位差為14.36°且噪聲信號與有用信號幅值的比值為0.2時，測得相位差為19.21°，誤差率達到了33.7%；當噪聲信號與實際信號幅值的比值為0.5時，測得相位差為34.56°，誤差率達到了140.7%，算法已經(jīng)失效。但是，當實際相位差為75.63°且噪聲信號與實際信號幅值比值為0.5時，測得相位差為79.32°，誤差率為4.88%。可見在低信噪比的情況下，該相關(guān)分析法仍然保持了較高的測量精度。經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，當信號相位差為70°～110°時，該相關(guān)分析法在低信噪的情況下，仍然能保持較高的測量精度；但當信號相位差為-20°～20°時，在噪聲比較小的情況下，該算法能保持較高的測量精度，在噪聲幅值比較大，即低信噪比的情況下，該算法誤差較大，因此需要對該相關(guān)分析法進行優(yōu)化與改進。

3 相關(guān)分析法改進及優(yōu)化設計

針對第二章中發(fā)現(xiàn)的問題，對相關(guān)分析法進行改進，由于在信號相位差較小(-20°～20°)且低信噪比的情況下，相位差誤差率較大。因此對式(8)中的信號x(t)做90°相移，經(jīng)過移相后，信號變?yōu)閤1(t)。

x1(t)=Asin(ωt+φ1+0.5π)+Nx(t)
=Acos(ωt+φ1)+Nx(t)

(16)

式(11)中的互相關(guān)函數(shù)表達式變?yōu)?/p>

(17)

在仿真實驗3中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號，采樣頻率為50 kHz，正弦信號混合同頻的均勻白噪聲，噪聲幅值分別為2 V和5 V的測量值如表3所示。

表3 移相后相關(guān)分析法噪聲幅值對相位差測量結(jié)果影響的對比關(guān)系

從表3可以看出：經(jīng)過移相后，當真實相位差為14.36°、噪聲幅值達到5 V時，測得相位差為12.73°，誤差為1.63°，仍能保持較高的測量精度；當真實相位差為75.63°、噪聲幅值為2 V時，誤差為4.85°，當噪聲幅值達到5V時，誤差達到了20.34°，誤差較大。因此，經(jīng)過移相后，雖然在計算較小相位差(-20°～20°)時算法精度有了很大提高，但在計算較大相位差時(70°～110°)，算法仍然有較大誤差，仍然有待改進。

將式(11)與式(12)對比，可得

(18)

(19)

4 算法應用與結(jié)果分析

對式(19)進行仿真計算與分析，在仿真實驗4中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號，采樣頻率為50 kHz，正弦信號混合同頻的均勻白噪聲，噪聲幅值分別為2 V和5 V的測量值如表4所示。

從表4可以看出，在實際信號幅值為10 V、噪聲幅值達到2 V和5 V的低信噪比情況下，改進后的算法仍然有較高的測量精度。噪聲幅值5V情況下，實際相位差為14.36°時，誤差為0.71°;實際相位差為44.28°時，誤差為-0.91°;實際相位差為75.63°時，誤差為-0.86°。

表4 改進后相關(guān)分析法噪聲幅值對相位差測量結(jié)果影響的對比的關(guān)系

圖3為某型號導彈駕駛儀回路測試中偏航回路速率測試的數(shù)據(jù)，紅色曲線表示搖擺臺輸出數(shù)據(jù)，白色曲線表示三號舵舵面反饋信號，使用未改進的相關(guān)分析法計算信號的相位差為14.52°，使用改進后的相關(guān)分析法計算信號的相位差為6.90°。通過實際觀察，搖擺臺輸出信號與三號舵舵面反饋信號的相位差為5°左右。因此，經(jīng)過仿真計算和實際應用分析，改進后的相關(guān)分析法能有效提高相位差的測量精度。

圖3 搖擺臺輸出信號與舵面反饋信號曲線Fig.3 Swing table output signal and the rudder surface feedback signal graph

5 結(jié)束語

本文針對導彈自動駕駛儀回路測試中相位差的測量，介紹和分析了目前常用的測量相位差的三種算法，即零點比較法、頻域分析法和相關(guān)分析法的原理，并運用Labview虛擬儀器技術(shù)分別對這三種算法進行了仿真與分析。

零點比較法適用于噪聲幅值較小，即高信噪比的情況。在使用該算法前，可先對過零點的數(shù)據(jù)進行適當擬合，這樣有利于抑制零點噪聲，提高測量精度。

頻域分析法對噪聲和干擾有一定的抑制能力，但在噪聲幅值比較大的情況下，該方法作用有限。因此，在低信噪比和信號不規(guī)則的情況下，該算法測量誤差較大。

相關(guān)分析法對于信號中的直流偏移、噪聲等干擾有很強的抑制能力，在相同條件下，相關(guān)分析法比零點比較法和頻域分析法有更高的測量精度。在對該算法進行改進和優(yōu)化后，在低信噪比的情況下，該算法仍然能保持較高的測量精度。同時，提高采樣頻率也可以提高測量精度。在對某型號導彈駕駛儀回路測試中記錄的數(shù)據(jù)進行分析和計算后，使用該算法計算相位差能有效提高測量精度且能夠滿足系統(tǒng)對相位差測試的精度要求。