求一類特殊曲面

樊雪雙 李云娟 嚴峰軍

摘?要：曲面面積的計算方法很多，例如可以用二重積分及第一型曲面積分都可以計算曲面的面積，而用二重積分計算還有兩種方法，這些用積分方法來求曲面面積都要求曲面方程是已知的才可以。而本文獨辟蹊徑主要采用了利用“分割，近似，求和，取極限”的思想并借助第一型曲線積分的計算方法求出了一類特殊柱面的面積。

關鍵詞：曲面;曲線;柱面面積;第一型曲線積分

在高等數學中，積分是其中一項重要的內容，而對于積分的應用其中一項就是用來求面積，而曲面的面積計算在高等數學中也是一個重要的考查方面，在生活生產實踐中，這個問題能否順利解決也顯得尤為重要，我們可以利用二重積分及第一型曲面積分的方法解決已知曲面方程求曲面面積的問題，而這些方法都要求必須已知曲面方程或通過已知條件可求出曲面方程才可以用，而這種要求就給現實的一些生產實踐的求曲面面積帶來了不便，而本文主要采用“分割，近似，求和，取極限”的思想方法在曲面方程未知而已知相關曲線方程的情況下來求一種特殊曲面——柱面的面積。

1?符合條件的一類曲面——柱面面積的計算

定理：若曲線C的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（z0）那么該曲線與它在xoy平面上的投影C′以及空間直線L1x=x（）

y=y（）與空間直線L2x=x（β）

y=y（β）所圍成的部分柱面的面積為S=（其中S表示所求柱面的面積，l表示C′上的弧長）

證明：設C在xoy平面上投影為C′

求上圖中彎曲柱面的面積的解決方法如下：

（1）分割：分割C′（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）成n段弧，第i段弧長記為Δli。

（2）近似：第i段弧上對應的圖形面積設ΔSi，在第i段弧任選一點（x（ti），y（ti），0）其對應于的C上一點（x（ti），y（ti），z（ti））。

ΔSi≈z（ti）Δli

（3）求和：所求面積為S則?S≈∑ni=1z（ti）Δli

（4）取極限：設λ=max{Δli）（1SymbolcB@

iSymbolcB@

n）

limλ→0∑ni=1z（ti）Δli=S

則所求柱面面積S=

該定理把這樣一類曲面—柱面面積的計算轉化為計算第一型曲線積分，通過計算第一型曲面積分就可以求出其面積，對于這樣類似的柱面我們也可以通過對上述解決問題思想方法的借鑒來求出相關類型柱面的面積，下面我們以推論的形式給出。

2?相關柱面面積的計算

推論1：若曲線C的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（zSymbolcB@

0）?在（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）連續，則該曲線與它在xoy平面上的投影以及空間直線L1x=x（）

y=y（）與空間直線L2x=x（β）

y=y（β）所圍成的部分柱面的面積為S=-（其中S表示所求柱面的面積，l表示C′上的弧長）

推論2：若曲線C1的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z1（t）（z0），曲線C2的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z2（t）（zSymbolcB@

0）?它們在（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）連續，則這兩條曲線與及空間直線L1x=x（）

y=y（）與空間直線L2x=x（β）

y=y（β）所圍成的部分柱面的面積為S=z1（t）-z2（t）dl（其中S表示所求柱面的面積，l表示C在xoy平面上的弧長）。

從上面的定理和推論的前提條件中可以看到，要用定理和推論的結論都需要把曲線投影到xoy平面上，有時也可根據實際需要把曲線投影到其它的坐標平面，這樣也可以得到類似的定理和推論。

3?結語

本文所采用“分割，近似，求和，取極限”方法證明出了特殊柱面的計算公式并給出相關推論，這些結論在解決相關問題時也具有一定重要意義。

參考文獻：

[1]謝克藻，冀永強.高等數學下冊.大連理工大學出版社，2012.

[2]華東師范大學數學分析下冊.高等教育出版社，2001.

作者簡介：樊雪雙（1980-），男，漢族，山西洪洞縣人，碩士，講師，研究方向：代數;李云娟（1981-），女，陜西戶縣人，本科，講師，研究方向：高等數學教學，教育心理學;嚴峰軍（1979-），男，漢族，山西運城人，碩士，講師，研究方向：應用數學。