《變化率問題》教學分析

孟瑩

（寧夏六盤山高級中學，寧夏 銀川 750000）

選自教材：普通高中數學教材人教A版《選修2-2》“1。1。1變化率問題”，我將主要從教學內容分析、學生情況分析、教學目標設計、教學策略設計，教學過程設計五個方面對這節課進行分析和說明。

一、教學內容分析

導數是微積分的核心概念，它是研究函數單調性、極值等問題的有力工具；導數既是對函數知識的補充和完善，也為今后進一步學習微積分奠定了基礎。

教材對導數內容的處理，沒有介紹極限形式的定義。而是按照平均變化率—瞬時變化率—導數的概念—導數的幾何意義這樣的順序來呈現，采用無限“逼近”的方法，從數形結合的角度定義了導數，代數上使區間長度趨近于零，幾何上使割線逐漸“逼近”于切線，這種建立概念的方式，形象、直觀而又容易理解，更為重要的是突出導數概念的本質。

本節課《變化率問題》是《導數及應用》這一章的第一課時，屬概念教學。平均變化率是反映函數變化快慢的基本概念，刻畫了函數在某一區間上的變化情況，它是研究函數在某一點處的瞬時變化率即導數的基礎，教材從學生熟悉的實例吹氣球、高臺跳水這兩個生活實例出發抽象出了函數的平均變化率，為學習下一節內容做了很好的鋪墊。

在本節教材的使用上，我秉著“尊重教材而不拘泥于教材”的原則將人教A版和蘇教版教材進行了比較，人教版所選實例貼近生活，學生比較熟悉，但數學計算較為復雜。而蘇教版的數學計算比較簡單，并輔助了圖形。為了幫助學生更好的理解概念，我將兩種教材進行了整合，調整了內容的的呈現順序, 補充了例題、練習。

鑒于此我認為本節課的教學重點：理解平均變化率的概念，了解平均變化率的幾何意義。

二、教學目標設計

結合《課程標準》對本節的要求，制定本節課的教學目標為：

1.理解平均變化率的概念；了解平均變化率的幾何意義；

2.通過具體實例，歸納、抽象出平均變化率的定義;

3.利用變化率的有關知識解釋生活現象，體會數形結合的思想方法。

三、學生情況分析

（一）學生已有的認知基礎：在學習本節內容之前，學生已在物理中學習了平均速度、瞬時速度、加速度等概念，在數學中學習了函數知識和直線的有關知識，另外學生也學習過一些研究問題的方法比如特殊到一般、數形結合法等。這為學習本節內容變化率問題做好了知識和方法上的鋪墊。

（二）可能遇到的困難：本節內容是從生活實例出發，引導學生歸納抽象出平均變化率的定義，并利用變化率的有關知識解釋生活的中一些現象。這就需要學生具有一定抽象概括能力和應用數學語言表達問題的能力。對高中生而言，抽象概括能力和應用數學語言的能力還有待提高。利用一個新的數學概念解釋生活現象對學生來說有一定的困難。

鑒于此我認為本節課的教學難點：通過具體實例，抽象出平均變化率的定義；利用變化率的有關知識解釋生活現象。為了突破本節課的教學難點，我調整了內容呈現順序，由于蘇教版教材的生活實例配有圖形，并且數學計算比較簡單，我將這一實例安排在了本節內容的開頭。同時我將難點分散，分散在三個地方。

四、教學策略設計

根據本節課的教學內容，我采用了“情景—問題—歸納—應用”的教學模式，采用了“合作探究和講授相結合”的教學方法； 在教學材料上，我選擇了吹氣球、高臺跳水等學生比較熟悉的生活實例； 在教學過程中，我以問題為線索，以問題鏈的形式引領學生主動學習；在教學過程中，對于學有困難的學生及時地給予幫助。

五、教學過程設計

（一）分析實例

實例1。回憶吹氣球的過程，可以發現，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得

越來越慢。從數學的角度，如何描述這一現象？氣球的體積V（單位：L）和半徑r（單位：dm）之間函數關系

問題1：從數學的角度，如何描述這一現象？引導學生分解問題：

①你能將半徑r表示成體積V的函數嗎？

②當體積從0增加到1升時，氣球的平均膨脹率如何表示？計算出它的大小。

③當體積從1增加到2升時，請計算出氣球的平均膨脹率。

④結合以上計算結果，你能解釋隨著體積的增加，為什么半徑增加的越來越慢嗎？

⑤當體積從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？

實例2：在高臺跳水運動中，t s時運動員相對于水面的高度是

問題2：

思考：運動員在這段時間內是靜止的嗎？

你認為平速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

（二）抽象概念

問題3：根據上面的具體例子，你能說出它們的共同特點嗎？請給出一般函數的平均變化率的定義。

問題4：平均變化率有什么幾何意義呢？

基于以上的教學分析，我將完成《變化率問題》的教學設計。