數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程課程教學(xué)研究與實(shí)踐

王彬

（白城師范學(xué)院，吉林 白城 137000）

常微分方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系的重要橋梁，許多學(xué)校在《常微分方程》課程教學(xué)中，將時(shí)間和精力過(guò)多集中于強(qiáng)調(diào)微分方程的解法及理論的嚴(yán)密性，淡化了理論知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生利用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力培養(yǎng)不足，許多學(xué)生學(xué)習(xí)了這門(mén)課程之后不知有什么作用，一定程度上也降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)理論知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用緊密聯(lián)系起來(lái)，是數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用之間的橋梁，因此將數(shù)學(xué)建模思想融入到常微分方程課程教學(xué)過(guò)程中是十分必要的。

一、當(dāng)前微分方程數(shù)學(xué)中存在的問(wèn)題

我國(guó)大學(xué)常微分方程課程體系以及教材內(nèi)容、教學(xué)方法的研究和改革遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)高等教育迅速發(fā)展的形勢(shì)和培養(yǎng)21世紀(jì)創(chuàng)新人才的需要，主要表現(xiàn)在內(nèi)容多、課時(shí)少。傳統(tǒng)教學(xué)方式注意演繹證明、運(yùn)算技巧，忽視了理解應(yīng)用及學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。而該門(mén)課程理論偏強(qiáng)，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，從而不可避免地使一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生了畏難情緒，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱忱和興趣。近幾年的跨越式發(fā)展己使我國(guó)高等教育由“精英”教育轉(zhuǎn)變?yōu)椤按蟊姟苯逃瑸樘岣呷褡逅刭|(zhì)進(jìn)行的高校大擴(kuò)招所導(dǎo)致的一個(gè)必然后果就是生源的差距，這是無(wú)法回避的。

二、為什么要在常微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

在常微分方程課程中融入數(shù)學(xué)建思想方法，配合數(shù)學(xué)典型模型，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又利于提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力和科研能力。學(xué)生的綜臺(tái)素質(zhì)得到提高，因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程課程教學(xué)中收到了事半功倍的效果。

（一）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)是按部就班的逐一介紹常微分方程理論，學(xué)生僅僅是處于接受的狀態(tài)，不知其然更別談知其所以然了。數(shù)學(xué)理論都是從現(xiàn)實(shí)具體何題中抽象出來(lái)的，如果直接將抽象理論灌輸給學(xué)生，容易使學(xué)生更加迷惑，更談不上激發(fā)學(xué)生能夠?qū)W習(xí)興趣從而很難營(yíng)造一個(gè)積極的教學(xué)氛圍，然面數(shù)學(xué)建模的思想和方法是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，尋求解決方案，如果我們?cè)诮虒W(xué)中增加實(shí)際應(yīng)用的例子，龍其是天體力學(xué)中的二體問(wèn)題，讓學(xué)生重新體會(huì)能量守恒和動(dòng)、勢(shì)能轉(zhuǎn)換的基本原理。因此我們講授常微分方程理論時(shí)，首先提出該理論的一個(gè)應(yīng)用背景，讓學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)理論知識(shí)，再將所學(xué)的理論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，這樣學(xué)生就很自然地體會(huì)到了學(xué)以致用的樂(lè)趣。

（二）增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。每個(gè)教師講投新課程的第一節(jié)課時(shí)都會(huì)介紹這門(mén)課程的起源，發(fā)展和應(yīng)用，然而隨著課程的展開(kāi)，由于課時(shí)有限，部分教師就忽略了強(qiáng)調(diào)具體的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用以及讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。將數(shù)學(xué)建模的思想融入常微分方程教學(xué)以后，在教學(xué)中結(jié)合所要講投的理論知識(shí)適當(dāng)引入典型模型，學(xué)生帶有目的性學(xué)習(xí)，并且學(xué)以用之。

（三）提高大學(xué)生的創(chuàng)新能力。過(guò)去幾十年的常微分方程傳統(tǒng)教學(xué)模式的主要特征就是整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程都是以教師為主體。尤其近幾年由于不斷壓縮專業(yè)課的學(xué)時(shí)，習(xí)題課的學(xué)時(shí)大大縮水了，因此教師滿堂的教學(xué)現(xiàn)象更為嚴(yán)重。在這種教學(xué)模式下，學(xué)生處于被動(dòng)狀態(tài)，不參與教學(xué)活動(dòng)，對(duì)該門(mén)課程的興趣自然就大打折扣。我們將數(shù)學(xué)建模的思想融入常微分方程后，這種現(xiàn)象幾乎不存在了。

三、將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的具體措施

（一）充分利用常微分方程教材中的應(yīng)用素材

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，首先教師就可以充分利用教材中所含有的數(shù)學(xué)建模素材來(lái)進(jìn)行案例分析。這些教材上的數(shù)學(xué)模型案例一般都是具有很典型的研究意義，通俗易懂具有趣味性，并且與我們現(xiàn)代生產(chǎn)生活都有著密切的聯(lián)系。教師通過(guò)教材當(dāng)中的數(shù)學(xué)模型素材來(lái)積極引導(dǎo)學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的認(rèn)識(shí)與理解，讓學(xué)生能夠分析研究抽象意義上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而也可以讓學(xué)生能夠進(jìn)一步利用常微分方程數(shù)學(xué)建模思想來(lái)解決日常生活中所遇到的實(shí)際問(wèn)題。這樣不僅鍛煉了學(xué)生們的專業(yè)數(shù)學(xué)知識(shí)，還提高了學(xué)生的相關(guān)應(yīng)用能力，并且還在很大程度上激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣與積極性。

（二）結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用案例教學(xué)

為了能夠強(qiáng)化學(xué)生們對(duì)在課堂書(shū)本當(dāng)中所學(xué)習(xí)到的理論知識(shí)的理解，鍛煉學(xué)生們運(yùn)用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)來(lái)解決生活實(shí)際中問(wèn)題的能力，老師在日常的常微分方程教學(xué)當(dāng)中，要帶有目的性地將常微分方程理論專業(yè)知識(shí)與生活實(shí)際中形成的具體案例進(jìn)行緊密相連，并且還要讓學(xué)生能夠自發(fā)主動(dòng)的把社會(huì)實(shí)際中的問(wèn)題抽象化之后構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型。這種結(jié)合生活應(yīng)用案例教學(xué)的方法，既可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維能力，還可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的直觀認(rèn)識(shí)，并且提高了學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力。

（三）改變考核方法，將學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力納入考核體系

一般來(lái)說(shuō)，我們要檢驗(yàn)一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果都是通過(guò)考試的方式來(lái)進(jìn)行。就目前而言，大多數(shù)高校的考試方法還是屬于閉卷類理論考試為主，這種方法從理論考核本身來(lái)說(shuō)并沒(méi)有什么弊端，但是如果從應(yīng)用性方面來(lái)考慮的話就存在缺失了。所以在常微分方程考核試卷中應(yīng)該多增加一些應(yīng)用性思維較強(qiáng)的題型，還可以將數(shù)學(xué)建模思想給融合到試卷當(dāng)中讓學(xué)生進(jìn)行分析解答，這樣就進(jìn)一步鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

總而言之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能カ，需要一個(gè)長(zhǎng)期的引導(dǎo)和鍛煉的過(guò)程。將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)，不是簡(jiǎn)單的添加，而需要找到合理的切入點(diǎn)，將具體的社會(huì)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并與常微分方程的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行緊密結(jié)合，最后通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決。此外，要特別注意在將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的過(guò)程中，要避免出現(xiàn)流于形式的現(xiàn)象，應(yīng)該充分的注意循序漸進(jìn)的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生把握理論學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用之間的平衡，絕不能產(chǎn)生喧賓奪主的效果。