談化歸思想在高中數學函數學習中的應用

賀俊丞

（四川省廣安花橋中學校，四川 廣安 638500）

轉化與化歸思想的實質是揭示聯系，實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。轉化與化歸思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化，超越式向代數式的轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。

一、化歸思想在高中數學函數學習中的典型案例

（一）常量與變量的轉化

在處理多變元的數學問題時，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元。由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊地抓住主元不放，這在很多情況下是正確的，但在某些特定條件下會行不通。這時若能變更主元，轉移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。

本題看上去是一個不等式問題，但經過等價轉化，把它化歸為關于一次函數，利用一次函數的單調性求解，解題的關鍵是轉換變元的角色。

（二）化復雜為簡單

數學問題在處理中，如果感到困難且問題復雜棘手，可轉化問題的結構形狀，化歸為一個相對簡單，便于處理的問題。如本例不等式的系數比較復雜，我們采用了換元的辦法，轉化成了一個一元二次不等式問題，起到了化復雜為簡單的效果。

（三）化一般為特殊

當面臨一般性難以解決的數學問題時，可以將一般情況轉化為易于解決的特殊情況，如特殊的圖形和數值，然后再從特殊得到一般的解答。將一般問題特殊化是轉化與化歸思想的重要體現，有時既簡單快捷，又準確無誤。

解：教師可利用特殊化的思想，考慮不等式等號成立的條件，只要令，可得于是可以考慮取

二、化歸思想在高中數學函數學習中的反思

1.轉化與化歸應遵循的基本原則：(1)熟悉化原則。將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決。(2)簡單化原則。將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據。(3)和諧化原則。化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律。(4)直觀化原則。將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。(5)正難則反原則。當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。2．熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是歸化的基礎；豐富的聯想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁；培養訓練自己自覺的化歸意識，需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發現事物之間的本質聯系。“抓基礎，重轉化”是學好中學數學的金鑰匙。3．為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論；既可以變換問題的內部結構，也可以變換問題的外部形式；既可以從代數的角度去認識問題，也可以從幾何的角度去認識問題。

化歸思想就是轉化和歸結的思想，是數學學科一種特有的數學思想方法，化歸思想的核心是對未解決的問題作等價與非等價轉化，解題的過程實質上就是一個縮小已知與求解差異的過程，一個生題變熟題的過程。因此，解每一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸，平常所見的化歸有空間向平面化歸，多元向少元化歸，高次向低次化歸，復雜向簡單化歸，一般向特殊化歸，隱性向顯性化歸等等，達到化繁為簡，化難為易，變正面強攻為側翼進擊，從而找到有效解決問題的方法。