例談與數列有關的綜合問題的解題技巧

江蘇省昆山第一中等專業學校 徐 義

通過對近幾年的數學高考題目進行一定的觀察和總結，發現有關數列的題目出現頻率比較高，不僅僅和函數、不等式等數與代數的部分相結合，有時還涉及三角形、立體幾何等圖形方面的知識。數列是一種比較特殊的函數，需要教師熟練掌握相關概念，聯想題目的特征，聯想自身做題經驗，找到解題方向，提高做題的效率。

數列就是按照一定的排序方式排列的一列數字，數列中每一個數都是這個數列的項。數列也是一定定義域為正整數集的函數，而且數列所對應的數列通項公式也就是其函數的解析式。對于高中生來說，數列的學習是一個重要部分，其中蘊含著多種多樣的數學思想和數學方法，數列中涉及的問題也比較考查學生的歸納能力和邏輯能力，反映了學生對數列學習的深度，表現著學生的技巧性，所以數列的相關內容經常出現在每年的高考題目中，成為一道必考題。數列作為特殊函數，在實際中也有廣泛的應用，比如銀行的信貸、養老保險等，這就需要學生不僅僅能夠熟練掌握有關數列的相關問題，還要能夠善于觀察題目的特點，結合原有解題經驗，迅速鎖定解題的方向，提高解題的效率。下文筆者就將針對數列題目來歸納一般的解題方式和思路。

一、與不等式知識結合

在不等式和數列結合的題目中，主要考查的是數列的定義和等差數列的定義，題目上一般是已知Sn求an的基本題目，其中涉及的數學思想和數學方法為歸納法或者是利用放縮法去證明不等式。

比如題目：已知數列{an}，其中a=a1，b=b1，正整數m，n，p，q 滿足等式m+n=p+q，而且如果求數列{an}的通項公式。

解答這道題，首先要明確這道題考查的內容，出現了不等式，所以說明是不等式和數列相結合，對數列定義熟悉，并進行巧妙化解的題型。需要求通項公式，此題跟通項公式唯一相關的是條件所以可以將公式中涉及的m，n，p，q 利用數字1，2 表達出來，經過處理，得到從而得到題目中已知的代入公式，并進行化簡可以得到通過仔細觀察，再聯想等差、等比數列的定義，可以化解得到觀察并且結合等比數列的定義可以知道：數列為等比數列，所以得出結論到化簡得出將結果進行驗證，可以知道滿足題意。

二、與函數知識相結合

數列與函數知識結合主要是為了考查學生對數列定義的熟悉程度，其中一般會涉及已知Sn求an的基本題目，引導學生利用函數的解題方式來構建幾者之間的函數關系模型，并且利用函數的相關性質和定理來解決相關的問題。這樣的問題結合了數列和函數的知識，考查學生對知識的綜合應用能力。

比如題目：已知數列{an}為等比數列，設其前n 項和為Sn，對任意的n 來說，點（n，Sn）都在函數的圖像上，這個函數的解析式為y=bx+r，其中，b＞0 但是b ≠1，b 和r 都是常數。（1）求其中r 的值。（2）當b=2 時，求數列{bn}的前n 項和Tn，bn記為,其中n 屬于。

在這道題的解答中，題目中出現r 的地方只有條件：點（n，Sn）在函數y=bx+r 的圖像上，所以滿足Sn=bx+r，當n 為1 時，S1=b+r=a1。當n ≥2 時，an=Sn-Sn-1=bn+r-（bn-1+r），進一步化簡得an=（b-1）bn-1。由于該數列{bn}為等比數列，所以解得r=-1，公比是b，所以代入原式得an=（b-1）bn-1。在第二問中，已知b=2，所以可以得出數列an=（b-1）bn-1=2n-1，化簡得：所以數列{bn}的前n 項和學生發現可以利用前n 項和的二分之一倍數相減來化簡該公式，通過相減得出

這種函數和數列相結合的題目在高考中考到的幾率比較大，學生應該多多掌握求出前n 項和的各種方式，比如通過相加、相減或者相乘的方式來化簡，從而提高解題的效率。

三、與最值、極限相結合

數列和最值結合的題目主要就是考查學生對不等式和最值定義性質、數列性質等知識的掌握，大多數題目都會給出Sn和an之間的關系，并且要求出相應的通項公式，然后再構造出一個不等式來使之恒成立，其中涉及某個未知數的值，一般會要求學生求出未知數的最大值或者最小值。

對于數列和極限知識結合的題目，一般考查學生對數列性質和定義、極限定義的了解。首先題目都會給出相應數列的性質，等差或者等比，告訴公差或公比，給出某一項的具體值，再給出某個構造函數的極限值，最后求出其構造函數其中的一個未知數。這樣的問題需要學生化簡，然后再代入式子求出未知數。

綜上所述，數列的相關題目類型是數不勝數的，而且利用題目條件求出數列的通項公式的方法也靈活多變，需要學生對題目進行一定的加工和處理，轉化為等差數列和等比數列進行解決。在高考的題目中，經常會將極限、導數和函數等知識和數列結合在一起，一般常見的題型有：（1）將數列和其他函數或者導數等知識交匯，考查學生恒等變形、推理等能力；（2）給出Sn和an的關系，求出通項公式，考查學生轉化的數學思想；（3）以解析幾何知識作為載體，定義新數列，考查學生的知識綜合能力和遷移能力。數列對學生來說是學習的重點和難點，所以學生要積極對數列相關問題進行歸納總結，提高解題效率和能力。