復變函數的應用及發展史

北京交通大學海濱學院 楊慧賢

近些年來，數學的快速發展使復變函數變得越來越重要，這也使越來越多的專家與學者投入到復變函數的研究中。復變函數在各個領域中發揮著重要作用，通過復變函數的應用，有助于對實際生活中所遇到的各種問題進行有效解決，從而大大推動各個領域的技術發展。隨著人們對復變函數研究的不斷深入，復變函數的重要性也日益凸顯出來，人們更加迫切地需要解決復變函數研究中存在的問題。為此，以下便對復變函數的相關應用及其介紹進行了闡述與分析。

一、復變函數介紹

復數這一概念是人們在求解方程根時無意中發現的，長期以來，人們一直無法理解復數，不過，隨著數學學科的不斷發展，復數在各個領域中的重要性也逐漸凸顯出來，這也使人們將復數的形式通常定義為a+bi，在該定義中，虛數單位由i 表示。單復變函數起源于數學中的多復分析，由于多復分析過于復雜，而且分析難度較大，這也使人們在多復分析中所研究出的方法和單復變函數存在很大差異，這是因為定義區域所具有的拓撲性質與幾何性質會在很大程度上影響多復變全純函數的性質。因此，人們在研究過程中，需要從局部性質逐漸向著整體性質轉移，并利用微分幾何學、拓撲學等學科中的方法及概念，從而為復變函數的發展拓寬道路。在20 世紀90 年代，復變函數論得到了高速的發展，并在當時成為重要的研究熱門，在那時，大多數數學家都認為復變函數論具有廣闊的研究前景，并將其譽為抽象科學中和諧性最強的數學理論。歐拉達朗貝爾最早創建了復變函數論，在隨后的幾年里，拉普拉斯也投入到復變函數積分的研究中，從而為復變函數學科的發展做出了卓越的貢獻。

二、復變函數的應用

部分學者在研究函數時，已經不再對個別函數進行考慮，而是將其當作某種具有特定性質的族函數來進行統一的研究。P·蒙泰爾提出的解析函數正規族便是采用上述方法來進行的，這也使復變函數的發展得到了很大突破。例如，Hp 空間就和很多數學分支都有著緊密的聯系，而復變函數則是從一個變數向多個變數進行自然推廣，多變數會大幅增加定義域的復雜性，其函數性質相比于單變數有著很大區別，在對多變數進行研究時，需要通過近代數學工具才能實現。自柯西以來，復變函數論已經歷經了一個半世紀的發展，其理論與技巧的不斷完善，使復變函數成為數學中不可或缺的組成部分，復變函數論促進了許多學科的發展，其經常被人們當作工具來解決實際問題，其內容更是理工專業所必須掌握的。目前，復變函數論在研究過程中仍舊有許多問題亟需解決，因此復變函數的不斷發展必將進一步拓寬其應用范圍。

除了在數學領域，復變函數在流體力學、航空力學等物理學科中也有著重要應用，復變函數在數論及微積分等學科中的融入程度也越來越高，并帶動了這些學科的發展。目前，在復變函數研究中仍舊有許多問題亟需研究，隨著越來越多學者的不斷研究，復變函數論的發展前景必將變得無比廣闊，并在更多領域中得到應用。例如，茹柯夫斯基便通過復變函數論的應用優化了飛機的機翼結構，其通過復變函數有效解決了航空與流體力學中存在的問題，為航空領域的發展做出了巨大的貢獻。

復變函數憑借其完善的理論與技巧，使其成為數學中不可分割的一部分，并帶動了諸多學科的進步與發展，是對實際生活中各種問題進行有效解決的有力工具，其基礎內容更是成為理工科專業所必須掌握的。

三、復變函數的發展史

在16 世紀中期，意大利數學家卡爾丹在求解三次方程時發現了復數開平方這一數學思想，在17 至18 世紀，人們試圖從幾何層面來解釋函數，并將其和平面向量進行相互對應，以此解決實際生活中存在的問題。在18 世紀，復變函數論發展起來，并在19 世紀得到了全面的發展，至20 世紀起，復變函數已經能夠在彈性物理、理論物理以及天體力學等多個領域中得到廣泛的應用。此外，我國在數學研究中，也在復變函數的研究基礎上取得了碩果累累的成就，并在當時位于世界先進水平。多復變函數論是19 世紀末被正式創立的，哈托格斯、庫辛等人的研究更是對多復變全純函數的性質進行了揭示。在20 世紀30 年代，人們對多復變函數的研究正式全面展開，并研究出著名的全純自同構唯一性定理，日本也針對多復變中心問題進行了有效的研究，從而為多復變函數的后續發展帶來了深遠影響。

總而言之，復變函數已經成為當代數學中的重要組成部分，復變函數的發展史更是帶動了諸多學科的發展與進步，在實際生活中有著巨大的應用價值。與此同時，在復變函數發展中仍舊有許多課題有待更進一步的研究，這便需要更多的專家與學者投身其中，不斷解決研究過程中遇到的各種問題，以此促進復變函數的應用與發展。