“割補”術在數學例題教學中的應用

浙江省樂清市智仁鄉中學 黃瑞華

所謂例題的“割補”教學，是指教師在充分理解和尊重教材的前提下，運用個人智慧，創造性地對課文例題的教學內容、方式、成果等進行大膽增減、調整和加工，從而更好地適應學生的實際需求和特定的教育情境。它既以教材為依托，基于教材，又超越教材。

一、“豐盈”教材，增強內涵，注重過程與方法，提高學生思考能力——補法：拓展渠道，重視過程

教學的核心任務是引導、促進學習者的學習活動，而課本例題是有效的教學載體，作為教師，要深挖例題的潛在功能，多渠道拓展方法，要充分關注學生的學習過程，展現多樣化的思維品質。現舉浙教版八下《一元二次方程的應用（1）》中例1 來進行簡單闡述。

例1 某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株樹構成一定的關系。每盆植入3 株時，平均單株盈利3 元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1 株，平均單株盈利就減少0.5 元。要使每盆的盈利達到10 元，每盆應該栽多少株？

師：本題涉及哪些量？這些量之間又存在著怎樣的數量關系？

生1：主要數量有每盆株數、平均單株盈利、每盆盈利。主要數量關系有：平均單株盈利×株數=每盆盈利；平均單株盈利=3-0.5×每盆增加的株數。

師：很好！那這個問題如何去解決呢？（沉默了一段時間，沒人舉手。師及時干預啟發）

師：那假設每盆增加2 株，誰能求出每盆盈利？

生2：答案是10 元。因為每盆增加2 株，每盆株數就是（3+2）株，由于每盆每增加1 株，平均單株盈利就減少0.5 元，所以增加后平均單株盈利就是（3-2×0.5）元，所以每盆盈利就是（3+2）×（3-2×0.5）=10 元。

生3：由剛才這位同學的思路，我想到了方法：若設每盆增加x 株，我就可以列出如下方程：（3+x）（3-0.5x）=10。

我及時表揚了兩位同學，并指出在解決一個有難度的問題時，我們不妨運用從數到字母、從特殊到一般的思想方法去獲得解題思路，從而進行有效遷移。

師：剛才我們運用了間接設元的方法建立方程。誰還有新的解題思路嗎？

生4：我用直接設元的方法。設每盆應栽y 株，則與原來相比，每盆增加了（y-3）株，相應的單株盈利就變成[3-0.5（y-3）]元。因此我建立的方程是：y[3-0.5（y-3）]=10。

由于應用題題意難懂，數量關系隱蔽難以揭示，成為學生學習的“攔路虎”。而在此題中，教師善于啟發學生用從特殊到一般、由淺入深、逐步推進的方法去尋求對問題的解決，學生在思考的過程中積極運用類比方法，由易到難實行正遷移，并引發聯想、激活思維，運用直接設元和間接設元兩種方法獲得了對問題的順利解決。

二、“瘦削”教材，化簡求精，注重差異與開放，提升學生思維品質——割法：巧減條件，因勢利導

在處理教材時，如果教師善用智慧，精心編制一些美麗的“錯誤”，再順水推舟、因勢利導，充分發揮學生主體意識，注重動態生成，常會收到出其不意的效果。就我個人而言，一次巧減條件的教學之旅，讓我對它有了更為深刻的認識，那是在教學浙教版八上《探索勾股定理（1）》時。

原題：已知在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求AB 的長。

實際：已知在△ABC 中，BC=1，AC=2，求AB 的長。

例題一呈現，學生立即抗議：“老師，AB 的長沒辦法求，只能知道它的范圍啊。”此時，我“仔細”打量題目，旋即爽快地承認了自己的“粗心大意”，也順勢提出：那請你先說說它的范圍吧！如果用勾股定理做，那你們幫老師加個條件吧！（這下，學生思維活躍了）

生3：已知∠A=90°……（此時學生卡住了，我再引導學生畫圖，學生恍然大悟，此題不符合題意）

課后，我認真反思，深有感觸，覺得至少有以下幾方面的好處：一是教師在全體學生面前爽快承認了自己的“失誤”，消除了師道尊嚴的居高臨下之感，使師生關系更加平等和融洽，創造了良好的學習氛圍；二是讓學生“幫老師加個條件”，例題呈開放狀態，鼓勵學生主體建構，更好地激發了學生的參與意識和創新思維；三是教師用心傾聽學生發言，善用課堂生成，在良性互動中，學生的情感得到呵護，成果得到認可，增強了學習信心。同時，在交流的過程中，教師及時啟發學生畫圖分析，滲透了數形結合和分類討論思想，從而進一步完善和提升了學生的數學素養。

實踐表明，教師對例題進行“割補”，教師所付出的心血和流淌著智慧的教學，不僅是為了個性化創造性地使用教材，更是為了讓每一道“例題”都能伴隨教師“關注學生”的目光，化為促進學生發展的又一個新起點，而最終獲得了更好的教育教學效果。