探究式教學在高中數列應用課堂中的實踐探索

□吳浚含

基于對高中數列應用難點和重點內容的高度重視，我們需要盡可能找到更加適合高中數列應用課堂教學的方法，由此促使學生更好地掌握與吸收相關知識。本文主要闡明探究式教學在高中數列求和課堂中的運用價值與實踐意義。

一、明確數列應用在高中數學課堂教學中的重要地位

隨著時代不斷發展，數學教育也在不斷開拓創新，為了使數學更好地與時代相融合，現代數學教學不斷提倡創新、提倡探索，鼓勵學生獨立思考、發掘真相，由此提出探究式教學。高中數學課堂中的探究式教學就是要求教師在高中數學課堂教學中只給學生提供事例或問題，需要教師不斷地進行引導，讓學生自己去發現、觀察、思考，最后獲取問題解決的過程。在高中數學課堂中，教學重點和難點之一是數列求和等應用問題，學生很難將所學相關知識活學活用，而通過探究式教學則可以更好地解決上述問題。

二、高中數學課堂教學中的數列應用分析

現實生活中很多問題的解決都會用到數列知識，可是學生不一定能夠發現其中的數列規律，教師如何引導學生發現實際生活中蘊含的數列問題呢？舉個例子，四名同學一起踢足球，A 同學發球，A將足球發出去為第一次傳球，A 同學可以將足球踢給B 同學、C 同學、D 同學三人中的任意一個，其他人也是如此，以此類推。問題：足球第十次被踢出時，踢到A同學腳下的球數。很多同學遇到這個題目時，往往摸不到頭腦，不知從何下手——這就要求老師給予指導與啟發，若運用探究式教學方法，面對上述問題，又該如何呢？首先，幫助學生認真審題，充分理解題意，球每次被踢出都存在三種可能性；然后逐步引導，記踢n 次回到A 同學腳下的種數為an，讓學生自己思考，在上述十次傳球中，足球到A 同學腳下最可能有幾次，因為第一次是由A同學發球，足球不能傳給自己，所以足球在十次踢球過程中，除了第十次定要踢給A 同學外，其余九次都是隨機的，若單純用數的方法怕難得到答案，容易出錯且浪費時間。學生用最普通的方法遇到困難，此時是教師引導運用數列解決問題的最佳時機：已知足球不能傳給自己，每次傳球有三個隨機選擇，概率為1/3；當學生由教師的引導推到這一步時，善于思考的學生應當想到可以運用數列知識來解決，由上述分析引導學生推出公式an=2an-1+3an-2，化簡得an+an-1=3（an-1+an-2）——這是隱藏的數列問題，其中的數列規律不易被發現，很多同學在做這類題目時容易誤入歧途，所以教師平時訓練學生時應該多加這類題目，讓學生學會分析題型、尋找思路，能夠提取題目中的隱藏條件，由此以最快速度找到正確的解題方法。為了培養學生的上述能力，可以從簡單日常生活實例開始，舉一些較簡單的例子。比如，出租車打表，起步價為7 元，每走一公里跳表一次，增加6 元，以此類推，便形成簡單的等差數列7、13、19、25、31、37……問題：十公里路程該付多少車費？再比如，一名同學登山時一步并作兩步走，一次邁兩級臺階，假設一級臺階的高度為30 厘米，這名同學走50步，可以到達多少海拔高度？教師可以從類似上述簡單問題開始訓練學生，讓學生準確感受數學的現實意義，由此促使學生對數學產生興趣、樂于思考、形成數學思維，然后逐漸加大難度——上述做法符合高中數學課堂教學中的螺旋上升原則。

數列知識是高中數學課堂教學中的難點與重點，且在高考中占有大量分值，它的運用還與理科數學中排列組合存在聯系，因此要求教師不僅在新授課中使用探究式教學，而且在復習課或總結知識以及運用知識時亦可選擇探究式教學，從而促使學生自己思考，把知識變成自己的東西，由“聽明白”變成“學明白”。

除了數列實際應用中使用探究式教學法，可以起到事半功倍的效果，在普通數列練習中教師亦可運用探究式教學法來引導學生，比如列項相消、分組求和法、錯位相減法等常用數列求和方法，都屬于數列知識教學中的難點與重點，不過在實際習題過程中，很多學生面對較復雜數列時，并不能發現可以運用裂像相消法、錯位相減法或分組求和法。

舉例：已知等差數列 {an}，首項為a，公差為d，n 為正整數，且不等式ax2-3x+2＜0 的解集為（1，d）。

（1）求數列 {an} 的通項公式an。

（2）若bn=3an+an-1,n 為正整數，求數列{bn} 的前n 項和Tn。

思路分析：（1）由不等式ax2-3x+2＜0 的解集為（1,d），可知d，1 是方程ax2-2x+1=0 的兩根，由根與系數的關系可列出方程組，求出a 和d 的值，從而得數列{an}的通項公式。

（2）利用（1）的結果，表示出bn，然后運用分組求和法，可得結果。

解題：（1）易知a≠0，根據題意可以知道，1+d=2/a 與1⊙d=1/a.解得：a=1，d=1。所以，{an} 的通項公式為an=1+（n-1）⊙1=n。

（2）根據（1）我們可以知道bn=3n+n-1，則Tn=3+(32+1) +…+（3n+n-1）=31+32+…+3n，則可以運用分組求和法，將其中的3，32，33，34…3n先提出來——這明顯是等比數列。運用等比數列求和公式，設這部分的和為Tn1=-31（1-3n）/2，然后再將后面一部分求和，后面明顯是d 為1 的等差數列，首相為0。則設剩下部分的和為Tn2=0+（n-1）⊙1=n-1，最后將兩者相加，得到Tn=-31（1-3n）/2+n-1。

在很多情況下，當等差數列通過系列變換變成另一復雜數列之后，教師要引導學生主動探究，發現新數列的特征和規律，引導學生用簡單、省時的方法來解決問題。教師要讓學生首先跳出固有思維，不再從數列整體去尋找規律，而是學會將數列分成幾個部分，分別求和、然后相加，用靈活方法來求解，并讓學生多做練習，讓學生熟練地掌握裂項相消法、錯位相減法和分組求和法等基本的數列求和方法。

三、探究式教學在高中數列應用課堂中的實際生成

高中數列應用課堂實行探究式教學時，就算教師之前把課備足、備充分，實際生成中也難免會出現諸多預料不到的情況，因為學生是獨立的個體。教師講授新知識時，學生出于好奇或個人思考，難免會提出諸多問題。面對上述情形，若教師給予解答，難免耽誤時間，影響教學進度，但若不予解答，可能打擊學生自尊心，甚至有些同學可能一直在心里思考上述疑問，而不能集中精力聆聽教師講解后面知識內容，影響學習成效，所以如何處理實際生成也是一門學問——可以考察教師的教育機制。怎樣做才能既可消除學生疑問，又可保證教學進度不受影響？比如，學習等差數列求和公式推導過程中，學生往往會產生系列問題鏈：為什么要對和式分組配對；為什么要“倒序相加”；為什么“倒序相加”能夠轉化為相同數求和等。在講授新課過程中，學生可能會提出類似上述問題，雖然都非常簡單，但對初學者而言并不見得好理解，所以上課之前教師要盡可能把所有的知識包括細節點理清，只要學生提出的問題與本節知識相關，都能幫助學生解釋清楚，并且言簡意賅、條理清晰、符合邏輯。

高考最容易在數列知識中出難題，且題型多，因此高中數列應用課堂教學不適合使用題海戰術，探究式教學應是最適合的方法：引導學生做道題，讓學生自己“悟”，好過機械訓練十道題，即授之以魚不如授之以漁——這部分內容的教學應該重在方法，學生掌握了方法，就會少走許多彎路；高考中無論怎么出題，學生由此都能找到突破口。由上可見，探究式教學是高中數列應用課堂中教師應該采用的正確方法。