直線方程中的錯解剖析

■徐彩娥

求過定點的直線方程,主要是利用待定系數法求解的。同學們在具體解題時,由于對直線方程的適用范圍認識不清,對解題過程考慮不周,對解題方法使用不當,往往會導致錯解或漏解。下面剖析幾例,以期對同學們的學習有所幫助與提高。

例1求經過兩直線7x+8y-38=0和3x-2y=0的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程。

錯解：由可解得交點坐標為(2,3)。因為所求直線在兩坐標軸上的截距相等,所以可設直線方程為1。由此直線經過交點(2,3),可得a=5。

故所求的直線方程為x+y-5=0。

剖析：直線的截距式方程只適用于截距不為0 的情形,上述解法忽略了截距為0的情形,即此解法產生了漏解。

正解：當直線過原點時,設直線方程為y=kx。因為直線過交點(2,3),所以3=2k,即,此時直線方程為3x-2y=0。

綜上可得,所求直線方程為3x-2y=0或x+y-5=0。

例2求過點P(2,-1)且與點A(-3,-1)和點B(7,-3)的距離相等的直線方程。

錯解：設所求直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0。

由題意可知點A(-3,-1),B(7,-3)到直線kx-y-2k-1=0的距離相等,所以,即,解得。故所求直線方程為x+5y+3=0。

剖析：由于上述解法所設的直線方程是點斜式,故默認了直線的斜率一定存在。事實上,當直線的斜率不存在時,過點P(2,-1)的直線方程為x=2也滿足題意,因此上述解法產生了漏解。

正解1：當所求直線過點P(2,-1)且斜率不存在時,直線方程為x=2,這時點A(-3,-1)和點B(7,-3)到這條直線的距離都是5,因此x=2滿足題意。當所求直線過點P(2,-1)且斜率存在時,設直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由上述錯解可得直線方程為x+5y+3=0。

綜上可得,所求的直線方程是x+5y+3=0或x=2。

正解2：把點P(2,-1)看作是直線x=2與y=-1的交點,這時可設所求直線方程為y+1+λ(x-2)=0,即λx+y-2λ+1=0。

因為點A(-3,-1)和點B(7,-3)到直線λx+y-2λ+1=0的距離相等,所以由點到直線距離公式可得,即得|5λ|=|5λ-2|,所以5λ-2= -5λ或5λ-2=5λ。 由5λ-2=-5λ,解得;由5λ-2=5λ,可知λ無解,即λ不 存 在。 當時,直線方程為x+5y+3=0,當λ不存在時,通過對直線x-2=0進行畫圖檢驗,可知符合題意。

故所求直線方程為x+5y+3=0或x=2。