直線方程的“關系學”

■隋俊禮

直線方程怎么求? 利用 “關系”是關鍵。平行關系,垂直關系,相交關系等都是求解直線方程的突破口,下面舉例說明。

一、利用平行關系求直線方程

例1求過點A(1,-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程。

解法1：因為已知直線的斜率為,所求直線與已知直線平行,所以所求直線的斜率也是-。根據點斜式,可得所求直線的方程為2x+3y+10=0。

解法2：設與直線2x+3y+5=0平行的直線方程為2x+3y+λ=0(λ≠5)。由于此直線過點A(1,-4),所以2×1+3×(-4)+λ=0,解得λ=10,可得所求的直線方程為2x+3y+10=0。

說明：一般地,與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+λ=0(λ≠C),其中λ為待定系數。

二、利用垂直關系求直線方程

例2求過點A(2,-3)且與直線2x+y-3=0垂直的直線方程。

解法1：由直線2x+y-3=0的斜率為-2,可得其垂線的斜率為,所以所求直線的方程為x-2y-8=0。

解法2：設所求垂線的方程為x-2y+c=0。因為此直線過點A(2,-3),所以2+6+c=0,即c=-8。故與2x+y-3=0垂直的直線方程為x-2y-8=0。

說明：解法1采用的是直接法,解法2采用的是待定系數法,這兩種方法同學們都必須熟練掌握。

三、求經過兩條直線交點的直線方程

例3直線l經過原點,且經過另外兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點,求直線l的方程。

解法1：由題意可得由此解得交點為(-1,-2)。又該直線過原點(0,0),所以所求直線l的方程為y=2x。

解法2：設經過兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0 交點的直線系方程為(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0。該直線過原點,將點(0,0)代入可得λ=8。故所求直線l的方程為2x-y=0。

說明：已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 相交,經過兩條相交直線的交點的直線系(不含l2)方程為,當λ=0時表示直線l1,注意此方程不能表示直線l2。

四、利用距離公式求直線方程

例4過A(-4,0),B(0,-3)兩點作兩條平行線,求滿足下列條件的兩條直線方程:兩條平行線間的距離為4。

解：當兩條直線的斜率不存在時,直線方程分別為x=-4,x=0,這時滿足題意;

當兩條直線的斜率存在時,設直線方程分別為y=k(x+4),y=kx-3,即kx-y+4k=0,kx-y-3=0。由題意可得,解得,可知所求的直線方程分別為

說明：求直線方程,往往會忽視斜率不存在這種 “特例”而產生漏解,數形結合法可幫助我們突破這個思維誤區。