最小二乘擬合法在超聲波測厚技術中的應用

再麗娜，伍衛平，范欽紅

（1.水利部綜合事業局，北京，100053；2.水利部水工金屬結構質量檢驗測試中心，河南鄭州，450044；3.鄭州辰維科技股份有限公司，河南鄭州，450001）

超聲波測厚方法通常利用發射信號與接收信號的時間差來檢測試樣的厚度。互相關函數法［1-2］是一種既適合于低信噪比信號，又適合于采用低采樣速率的最佳算法。但如何利用相關法來計算互相關函數，并精確確定超聲波發射信號和回波信號之間的時程差是測厚技術的關鍵。筆者提出了一種基于最小二乘曲線擬合的方法來確定相關函數曲線的峰值點，可以更好地抵抗噪聲的影響，達到更高的時間差測量精度。

目前，處理超聲回波信號的方法有互相關法和小波變換法。當信號噪聲為高斯白噪聲，接收信號與參考信號一致時，互相關法比較適合。小波變換［3］在處理超聲信號時用得比較廣泛，但是低頻信號時，它的時間測量精度低，高頻信號時，它的頻率精度低。此外，在應用小波變換處理超聲信號時，選擇小波基函數相當麻煩。

1 超聲測厚技術的基本原理

采用縱波直探頭進行板厚的測量，探頭與工件表面通過機油進行耦合，超聲波測厚示意圖如圖1所示，工件板厚為T，一次底波～三次波分別用B1～B3表示。

圖1 縱波直探頭測厚示意圖Fig.1 Schematic diagram of thickness measurement by longitudinal wave probe

聲波在探頭楔塊中的傳輸時間和耦合劑中的傳輸時間之和為t0，從發射聲波到接收第i次（i=1～6）底面反射波所需的時間ti可以表示為：

為了減小楔塊延時測量及耦合層厚度不均勻導致的時差測量誤差對厚度測量的影響，一般采用第i次底波和第i+1次底波傳輸時間差Δt來進行板厚的計算，則板厚可以表示為：

特定工件中，縱波聲速是一定的，因此時間差Δt的測量直接影響厚度測量的精度。

2 基于相關分析時間差估計方法

同一過程中產生的不同信號之間具有相似或相關性。在信號分析中，常用相關系數來描述兩個信號波形的相似程度。假設s1(t)和s2(t)是能量有限的信號，其相關系數記為R12：

在超聲波測厚技術中，通過檢測多次底面回波信號傳播的時間差，可分析計算出被測工件的厚度。時間差的估計精度直接決定著厚度測量的精度和準確度。

在數字信號處理中，設采樣頻率為fs，采樣周期τ0=1/fs，對超聲波信號進行截取、濾波后，用寬度為n的矩形窗函數去截取s1(t)的前n個離散數據點s1(1)～s1(n)和s2(t)的前n個離散數據點s2(i)～s2(n+i-1)，進行相關計算。計算的步長為τ0，循環得到相關系數的系列，最大相關系數Rmax對應的時間步長記為I，Iτ0即為聲波的傳播時間差τ。

3 算法的計算機模擬驗證

3.1 超聲信號的相關法模擬驗證

實際工程測量中，接收到的超聲信號都是含有噪聲的，可以在模擬生成的超聲波信號中加入隨機分布的高斯白噪聲進行仿真。時移信號中加入信噪比為22 dB的高斯白噪，則其與原始信號間的相關系數曲線大致與圖2（b）一致，但是局部放大后，在相關系數較大的一個局部區域，如圖2（d）所示，較難確定峰值位置，因此時差測量誤差較大。

3.2 相關系數擬合法提高分析精度

所謂擬合法是指對相關系數進行曲線擬合［4-6］的方法，即對相關系數序列中最大相關系數Rmax及其周圍一個小區域內的相關系數值進行曲線擬合，確定擬合曲線的峰值，將時間步長I精確到小數級別，從而提高相關計算的精度，一般采用多項式擬合模型進行曲線擬合。

如多項式階數為2階，則擬合曲線方程形式為：y=ax2+bx+c，有3個待求參數a、b、c；利用9個數據點(tm-4,R(tm-4))、(tm-3,R(tm-3))、…、(tm+3,R(tm+3))、(tm+4,R(tm+4))，構造得到9個方程，利用最小二乘原理，確定方程系數，則極值點坐標在處。其他高階多項式擬合，原理一樣。

原始信號與帶高斯噪聲的時移信號間進行相關計算，圖3為采用MATLAB軟件［7］，多項式階數分別為2、3、4、6階所對應的相關系數擬合曲線。

從圖3曲線中可以發現，2、3、4、6階多項式擬合，其最大相關數值（峰值）分別為0.930 8、0.930 8、0.930 8和0.930 9，所對應的時差估算值分別為0.252 8 μs、0.252 7 μs、0.252 9 μs和0.253 0 μs。計算所得的回波時間差精度比較接近，抗噪聲性能很好，為了減少計算量，可以采用階數較低的二次多項式進行擬合。

4 相關分析法用于測量金屬板材的厚度

利用上面介紹的相關系數擬合法來估計回波在試件中傳播的時間差，測量金屬材料的厚度。

圖2 模擬超聲信號及相關系數曲線Fig.2 Simulating ultrasonic signals and curves of correlation coefficients

圖3 相關系數多項式擬合曲線Fig.3 Polynomial fitting curves of correlation coefficients

4.1 設備和儀器

測量時用到的儀器主要有：超聲發生器、數字記憶示波器、5 MHz縱波探頭及連線、游標卡尺、耦合劑、溫度計。

采用塊狀試件，材料為Q235B鋼，尺寸100 mm×100 mm×15 mm，上下表面打磨，具有良好光潔度。

測量系統的組成如圖4所示。

圖4 實驗系統原理圖Fig.4 Schematic diagram of testing system

4.2 測量計算

縱波聲速取5 920 m/s，通過相關系數二次多項式擬合法，得到1次波和2次波傳輸時間差為5.041 μs，則按公式（2）可以計算出板厚為14.92 mm，誤差為0.08 mm。相對誤差η為：

由上述計算結果可以看出，板厚測量精度很高。

5 結語

通過對超聲波信號的模擬計算和試驗分析，可以得到如下一些成果和結論：

（1）相關法對回波時間差估計精確，可以有效應用于板厚的測量。

（2）在回波時間差的估計方面，相關系數二次擬合法具有較好的抗噪性能，可以兼顧計算精度和計算復雜度。